史格非, 方群

(西北工業(yè)大學(xué) 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710072)

0 引言

在空間機(jī)動(dòng)過(guò)程中,發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小有限,推進(jìn)并非瞬間完成,特別是對(duì)于容許過(guò)載比較小的航天器進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)時(shí),沖量假設(shè)不再成立,必須研究連續(xù)推力軌道機(jī)動(dòng)。對(duì)于連續(xù)推力機(jī)動(dòng)軌道的描述有很多[1],本文所研究的共振軌道就是一種新型的連續(xù)推力軌道。

共振是自然界的一種普遍現(xiàn)象,航天器在連續(xù)推力作用下的運(yùn)動(dòng)在參數(shù)平面內(nèi)可以視為一種受迫振動(dòng),也會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象。因此,可以利用共振原理來(lái)研究航天器的運(yùn)動(dòng),稱這樣一類非開(kāi)普勒軌道為共振軌道(值得注意的是,這里的共振軌道與天體力學(xué)中定義的共振軌道有本質(zhì)的不同[2])。航天器的共振軌道實(shí)質(zhì)上是一種建立在新型坐標(biāo)系下的非開(kāi)普勒軌道,它是一種可以應(yīng)用于軌道機(jī)動(dòng)的過(guò)渡軌道。航天器共振軌道理論提出時(shí)間不長(zhǎng),國(guó)內(nèi)外在這方面的研究還很少。

本文是在文獻(xiàn)[3]提出的共振軌道理論的基礎(chǔ)上深入研究共振軌道的軌道特性。通過(guò)對(duì)共振軌道在典型任務(wù)中的應(yīng)用與傳統(tǒng)軌道機(jī)動(dòng)模式進(jìn)行仿真對(duì)比分析,闡述了單段共振軌道在航天器軌道機(jī)動(dòng)中應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)與不足。

1 航天器共振軌道模型的建立

1.1 共振軌道模型

航天器在平方反比中心引力和推力作用下的平面運(yùn)動(dòng)方程為:

(1)

引入新的時(shí)間尺度s(廣義偏近點(diǎn)角),它和物理時(shí)間t的關(guān)系為[3]:

(2)

式中,E為航天器單位質(zhì)量具有能量的負(fù)數(shù)。

由Levi-Civita變換[4]可得:

r=L(u)u

(3)

在此基礎(chǔ)上引入準(zhǔn)推力加速度[3]:

q=Mp

(4)

準(zhǔn)推力可以視為對(duì)推力進(jìn)行坐標(biāo)變換的一種推廣。準(zhǔn)推力與航天器質(zhì)量的比稱為準(zhǔn)推力加速度。其中:

(5)

利用式(2)～式(4)可以將式(1)轉(zhuǎn)化為線性方程:

該方程即為平面Y-C方程[3]。

假設(shè)準(zhǔn)推力加速度為簡(jiǎn)諧激勵(lì),即準(zhǔn)推力加速度具有如下形式:

(6)

式中,A1,A2為幅值;ω為準(zhǔn)推力加速度的角頻率;φ1,φ2為初始相位。令:

(7)

則式(6)可以寫(xiě)為:

q(s)=acos(ωs)+bsin(ωs)

(8)

將式(8)代入平面Y-C方程(ω=1/2),解得平面共振軌道的軌道方程為:

(9)

1.2 物理坐標(biāo)系與參數(shù)坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換

物理坐標(biāo)系即地心坐標(biāo)系,其參數(shù)為通常使用的位置、速度矢量。參數(shù)坐標(biāo)系是一個(gè)通過(guò)對(duì)物理坐標(biāo)系參數(shù)進(jìn)行L-C變換而得到的新的坐標(biāo)系,其參數(shù)皆為無(wú)量綱參數(shù)。

文獻(xiàn)[3]中的L-C變換為數(shù)學(xué)上的變換,沒(méi)有考慮計(jì)算機(jī)仿真應(yīng)用。為了便于計(jì)算機(jī)仿真,避免仿真過(guò)程中會(huì)因出現(xiàn)奇異點(diǎn)而引起仿真失敗,本文將物理平面與參數(shù)平面上的點(diǎn)用參數(shù)的形式表示:

x=rcosθ,y=rsinθ

根據(jù)L-C變換的定義并結(jié)合幾何意義,可以得到一個(gè)物理平面上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)參數(shù)平面上的點(diǎn):

(10)

在得到物理-參數(shù)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換后即可以利用L-C速度轉(zhuǎn)換式[4]:

(11)

得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的速度矢量。

1.3 參數(shù)描述

由于共振軌道模型是建立在參數(shù)坐標(biāo)系下的,因此應(yīng)用共振軌道時(shí)始終存在軌道參數(shù)在參數(shù)坐標(biāo)系和物理坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化。物理坐標(biāo)系下的位置矢量可以表示為:

(12)

將式(9)代入上式,可以得到x和y關(guān)于s的表達(dá)式,帶入式(11)可以得到速度矢量關(guān)于s的表達(dá)式。從而得到以廣義偏近點(diǎn)角s為自變量的軌道與速度(x(s),y(s),vx(s),vy(s))方程。

2 利用共振軌道進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的仿真分析

2.1 仿真模型的建立

將能量的表達(dá)式改寫(xiě)為:

(13)

利用式(5)和式(13)可以求出任意s值所對(duì)應(yīng)的M和E。由式(8)則可以得到任意s下的準(zhǔn)推力矢量。利用式(2)和式(4)可以將參數(shù)坐標(biāo)系下的時(shí)間尺度(廣義偏近點(diǎn)角)和準(zhǔn)推力轉(zhuǎn)化為其在物理平面上所對(duì)應(yīng)的時(shí)間和推力。利用式(12)即可得到物理坐標(biāo)系下任意時(shí)刻的位置矢量。利用式(11)可以得到物理坐標(biāo)系下任意時(shí)刻的速度矢量。

2.2 仿真算例

2.2.1 仿真條件

航天器的初始運(yùn)行軌道為8 000～16 000 km的橢圓軌道;目標(biāo)軌道為7 000～21 000 km的橢圓軌道;目標(biāo)軌道相對(duì)于航天器初始運(yùn)行軌道的拱線間夾角為25°(逆時(shí)針)。

通過(guò)單段共振軌道將初始軌道上的航天器機(jī)動(dòng)到目標(biāo)軌道上從而實(shí)現(xiàn)變軌。由于無(wú)法確定最省燃料的軌道初始位置和到達(dá)位置,因而采用窮舉法對(duì)初、末位置和時(shí)間尺度(廣義偏近點(diǎn)角)進(jìn)行篩選和分析。將航天器初始運(yùn)行軌道和目標(biāo)軌道分別等分為36份從而得到36×36組出發(fā)/到達(dá)點(diǎn),對(duì)每一組出發(fā)/到達(dá)點(diǎn)之間轉(zhuǎn)移所經(jīng)過(guò)的s進(jìn)行窮舉和篩選,得到每一組點(diǎn)的最佳時(shí)間尺度。在得到每一組的最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道后,對(duì)36×36條軌道進(jìn)行橫向比較,選出最省燃料的軌道并進(jìn)行分析。

2.2.2 仿真結(jié)果及分析

仿真得到的燃料最省機(jī)動(dòng)軌道參數(shù)結(jié)果為:航天器出發(fā)位置(x0,y0)=(6 509,5 462)km,航天器變軌到達(dá)位置(xf,yf)=(-14 005,-14 005) km,變軌速度增量ΔV=989.212 1 m/s,變軌飛行時(shí)間Δt=11 195 s,參數(shù)時(shí)間尺度sf=3.752 rad。航天器初始、目標(biāo)及機(jī)動(dòng)軌道如圖1所示。

圖1 共振機(jī)動(dòng)軌道示意圖Fig.1 Resonance transfer orbit

在本文的算例中,采用傳統(tǒng)的軌道機(jī)動(dòng)策略,即在兩條軌道交點(diǎn)處通過(guò)施加脈沖進(jìn)行變軌所需的速度增量為1 504 m/s[5],而利用共振軌道進(jìn)行機(jī)動(dòng)變軌所需的速度增量為989.211 2 m/s,這個(gè)數(shù)值大約為傳統(tǒng)單脈沖法的2/3?？梢?jiàn)相比于單脈沖的軌道轉(zhuǎn)移方法,共振機(jī)動(dòng)軌道是節(jié)省燃料的。因而在不考慮機(jī)動(dòng)時(shí)間約束的情況下,利用共振機(jī)動(dòng)軌道進(jìn)行有交點(diǎn)軌道的變軌要優(yōu)于單脈沖變軌。

本算例的推力曲線如圖2所示。由圖2可以看出,在整個(gè)機(jī)動(dòng)飛行階段,推力峰值沒(méi)有超過(guò)0.35 N,即任意時(shí)刻的速度增量均在0.05～0.35 N之間,遠(yuǎn)小于應(yīng)用Lambert轉(zhuǎn)移時(shí)所需的最小速度增量(最小脈沖),這意味著應(yīng)用共振軌道進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的航天器不必使用大推力火箭發(fā)動(dòng)機(jī),即可產(chǎn)生的推力大小不再成為一種主要限制。

圖2 共振軌道推力曲線Fig.2 Resonance orbit thrust curve

在消耗相同時(shí)間的情況下,利用雙脈沖,通過(guò)Lambert轉(zhuǎn)移進(jìn)行變軌得到的結(jié)果為:轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt=11 195 s;第一次脈沖的速度增量ΔV1=659.7 m/s;第二次脈沖的速度增量ΔV2=222.6 m/s,總的速度增量ΔV=882.3 m/s。

將共振機(jī)動(dòng)軌道與Lambert軌道進(jìn)行對(duì)比可見(jiàn),在時(shí)間相同的條件下,應(yīng)用共振機(jī)動(dòng)軌道進(jìn)行變軌所消耗的燃料要略多于Lambert軌道。

3 共振軌道周期性和時(shí)間尺度分析

3.1 共振軌道周期特性分析

由共振軌道方程式(8)可知,在無(wú)推力的情況下，共振軌道是一種周期軌道。在有推力的情況下(以上文的算例為例),盡管共振軌道不是周期軌道,但也呈現(xiàn)出一種準(zhǔn)周期性質(zhì)。圖3表示對(duì)于同一組初始和到達(dá)參數(shù),等效速度增量隨參數(shù)時(shí)間尺度變化量sf(廣義偏近點(diǎn)角改變量)的改變而發(fā)生的變化。這種變化帶有明顯的周期性。通過(guò)分析軌道參數(shù)與等效速度增量可知,等效速度增量的下峰值隨廣義偏近點(diǎn)角sf變化量的變化而有規(guī)律的出現(xiàn),大約每4π rad出現(xiàn)一次。

圖3 等效速度增量隨sf的變化曲線Fig.3 Changing of equivalent velocity with sf

由物理學(xué)知識(shí)可知:物體振動(dòng)周期為2π/f。由于本文所建立的共振軌道方程其頻率為0.5,因此在理論上,共振軌道周期應(yīng)該為4π?？梢?jiàn)下峰值周期的出現(xiàn)是符合共振軌道的物理性質(zhì)的。

3.2 共振軌道參數(shù)時(shí)間尺度特性分析

對(duì)于推力為0的共振軌道方程,共振軌道形式的線性開(kāi)普勒軌道方程為:

(14)

在開(kāi)普勒共振軌道方程下,s即對(duì)應(yīng)為物理平面內(nèi)航天器的偏近點(diǎn)角。在非開(kāi)普勒軌道方程下,根據(jù)式(10),由于推力不再為0,因此a1,b1,a2,b2不再都等于0。共振軌道不再是式(12)所表示的簡(jiǎn)諧振動(dòng)軌道,sf與Δθ的嚴(yán)格對(duì)應(yīng)關(guān)系也不再存在。

圖4中的曲線表示2.2節(jié)的仿真算例中，各組出發(fā)和到達(dá)參數(shù)所對(duì)應(yīng)的最小等效速度增量所對(duì)應(yīng)的sf值與物理平面內(nèi)航天器所轉(zhuǎn)過(guò)的實(shí)際偏近點(diǎn)角的比值。圖中，橫坐標(biāo)n為仿真結(jié)果序號(hào)。

圖4 sf/Δθ曲線Fig.4 sf/Δθ curve

由圖4可知,sf/Δθ≠1,這說(shuō)明在由式(9)所描述的有推力共振軌道中,廣義偏近點(diǎn)角s的變化量與物理平面上的偏近點(diǎn)角改變量沒(méi)有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這意味著對(duì)于有推力的共振軌道,無(wú)法通過(guò)研究物理平面偏近點(diǎn)角的改變量來(lái)得到任務(wù)所需的最佳廣義偏近點(diǎn)角改變量sf。因此對(duì)最適合的航天器始軌道變軌和目標(biāo)軌道到達(dá)點(diǎn)以及相應(yīng)的sf的選擇目前只能應(yīng)用窮舉法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)頻率為0.5的典型共振軌道,從模型和參數(shù)描述以及轉(zhuǎn)換等方面進(jìn)行了分析和補(bǔ)充,提出了共振軌道物理平面方程的直接參數(shù)描述方法。通過(guò)對(duì)共振軌道在典型任務(wù)中的應(yīng)用與傳統(tǒng)軌道機(jī)動(dòng)模式進(jìn)行仿真對(duì)比分析,闡述了單段共振軌道在航天器軌道機(jī)動(dòng)中應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)與不足。同時(shí),通過(guò)仿真計(jì)算對(duì)共振軌道周期特性進(jìn)行了研究。

研究結(jié)果表明，在不考慮飛行時(shí)間約束的情況下,應(yīng)用單段共振軌道作為轉(zhuǎn)移軌道要比傳統(tǒng)轉(zhuǎn)移軌道更節(jié)省燃料;在時(shí)間相同的情況下,共振轉(zhuǎn)移軌道消耗的燃料比Lambert軌道略多,但對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力要求很低;對(duì)于共振軌道的周期特性,廣義偏近點(diǎn)角s的變化量與物理平面上的偏近點(diǎn)角改變量沒(méi)有固定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

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