鄭會(huì)英

摘要：數(shù)列的基本性質(zhì)、通項(xiàng)及求和是高考考查的基本內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題，一般情況下客觀題型小而巧，主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，難度中等。熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念、公式與性質(zhì)，這是解決數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題的基礎(chǔ)。對(duì)于常見(jiàn)的數(shù)列的求通項(xiàng)、求和的類(lèi)型題要善于分類(lèi)歸納整理，掌握各種類(lèi)型的通解通法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列性質(zhì) 通項(xiàng) 求和

類(lèi)型一：數(shù)列性質(zhì)

（一）等差數(shù)列性質(zhì)

例1.已知a■為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因?yàn)閍1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)。

變式：設(shè)等差數(shù)列a■的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=10，S10=30，則S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因?yàn)閿?shù)列a■為等差數(shù)列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差數(shù)列，設(shè)S15=x，則10，20，x-30成等差數(shù)列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)。

變式：已知兩個(gè)等差數(shù)列a■和b■的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且■=■，則使得■為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

因?yàn)椋瑑蓚€(gè)等差數(shù)列a■和b■的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，為使■為整數(shù)，需n+1為2，3，4，6，12，共5個(gè)，故選D。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公式。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。本題較為典型。

（二）等比數(shù)列性質(zhì)

例2：在正項(xiàng)等比數(shù)列a■中，lga3+lga6+lga9=3，則a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因?yàn)閘ga3+lga6+lga9=3，同底對(duì)數(shù)相加得a3a6a9=103，用等比數(shù)列的性質(zhì)得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列的性質(zhì)。

變式：等比數(shù)列a■的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3+a8+a5+a6=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…loga3a10應(yīng)為log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故選B。

考點(diǎn)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題是利用等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特別地，當(dāng)m+n=2k，則am·an=a■■，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可。

類(lèi)型二：數(shù)列通項(xiàng)與求和的應(yīng)用

例3：已知等比數(shù)列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，

（1）求數(shù)列a■的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列na■的前n項(xiàng)的和。

解析：（1）根據(jù)a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，建立公比q的方程，確定得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）較為典型。應(yīng)用“錯(cuò)位相減法”確定數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列a■的公比為q，a2=2q，a3=2q2，由題設(shè)知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）設(shè)數(shù)列na■的前n項(xiàng)的和為Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考點(diǎn)：等差數(shù)列，等比數(shù)列，“錯(cuò)位相減法”求和。

變式：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值為8。

（1）確定常數(shù)k，求an；

（2）求數(shù)列■的前n項(xiàng)和Tn。

解析：（1）當(dāng)n=k∈N*時(shí)，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，從而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題首先由Sn，an的關(guān)系，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵。求和過(guò)程中應(yīng)用了“錯(cuò)位相減法”。在數(shù)列問(wèn)題中，“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”也常?？嫉健?/p>

（責(zé)編 金 東）

摘要：數(shù)列的基本性質(zhì)、通項(xiàng)及求和是高考考查的基本內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題，一般情況下客觀題型小而巧，主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，難度中等。熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念、公式與性質(zhì)，這是解決數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題的基礎(chǔ)。對(duì)于常見(jiàn)的數(shù)列的求通項(xiàng)、求和的類(lèi)型題要善于分類(lèi)歸納整理，掌握各種類(lèi)型的通解通法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列性質(zhì) 通項(xiàng) 求和

類(lèi)型一：數(shù)列性質(zhì)

（一）等差數(shù)列性質(zhì)

例1.已知a■為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因?yàn)閍1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)。

變式：設(shè)等差數(shù)列a■的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=10，S10=30，則S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因?yàn)閿?shù)列a■為等差數(shù)列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差數(shù)列，設(shè)S15=x，則10，20，x-30成等差數(shù)列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)。

變式：已知兩個(gè)等差數(shù)列a■和b■的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且■=■，則使得■為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

因?yàn)?，兩個(gè)等差數(shù)列a■和b■的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，為使■為整數(shù)，需n+1為2，3，4，6，12，共5個(gè)，故選D。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公式。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。本題較為典型。

（二）等比數(shù)列性質(zhì)

例2：在正項(xiàng)等比數(shù)列a■中，lga3+lga6+lga9=3，則a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因?yàn)閘ga3+lga6+lga9=3，同底對(duì)數(shù)相加得a3a6a9=103，用等比數(shù)列的性質(zhì)得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列的性質(zhì)。

變式：等比數(shù)列a■的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3+a8+a5+a6=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…loga3a10應(yīng)為log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故選B。

考點(diǎn)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題是利用等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特別地，當(dāng)m+n=2k，則am·an=a■■，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可。

類(lèi)型二：數(shù)列通項(xiàng)與求和的應(yīng)用

例3：已知等比數(shù)列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，

（1）求數(shù)列a■的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列na■的前n項(xiàng)的和。

解析：（1）根據(jù)a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，建立公比q的方程，確定得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）較為典型。應(yīng)用“錯(cuò)位相減法”確定數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列a■的公比為q，a2=2q，a3=2q2，由題設(shè)知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）設(shè)數(shù)列na■的前n項(xiàng)的和為Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考點(diǎn)：等差數(shù)列，等比數(shù)列，“錯(cuò)位相減法”求和。

變式：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值為8。

（1）確定常數(shù)k，求an；

（2）求數(shù)列■的前n項(xiàng)和Tn。

解析：（1）當(dāng)n=k∈N*時(shí)，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，從而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題首先由Sn，an的關(guān)系，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵。求和過(guò)程中應(yīng)用了“錯(cuò)位相減法”。在數(shù)列問(wèn)題中，“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”也常常考到。

（責(zé)編 金 東）

摘要：數(shù)列的基本性質(zhì)、通項(xiàng)及求和是高考考查的基本內(nèi)容，屬于基礎(chǔ)題，一般情況下客觀題型小而巧，主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，難度中等。熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)概念、公式與性質(zhì)，這是解決數(shù)列通項(xiàng)與求和問(wèn)題的基礎(chǔ)。對(duì)于常見(jiàn)的數(shù)列的求通項(xiàng)、求和的類(lèi)型題要善于分類(lèi)歸納整理，掌握各種類(lèi)型的通解通法。

關(guān)鍵詞：數(shù)列性質(zhì) 通項(xiàng) 求和

類(lèi)型一：數(shù)列性質(zhì)

（一）等差數(shù)列性質(zhì)

例1.已知a■為等差數(shù)列，若a1+a5+a9=8π，則cos（a3+a7）的值為（ ）。

A.■ B.-■ C.■ D.-■

解析：因?yàn)閍1+a5+a9=8π，所以a5=■π，所以a3+a7=2a5=■π，所以cos（a3+a7）=cos■π=-■。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)。

變式：設(shè)等差數(shù)列a■的前n項(xiàng)和為Sn，且S5=10，S10=30，則S15=（ ）。

A.60 B.70 C.90 D.40

解析：因?yàn)閿?shù)列a■為等差數(shù)列，所以S5，S10-S5，S15-S10成等差數(shù)列，設(shè)S15=x，則10，20，x-30成等差數(shù)列，所以2×20=10+（x-30），所以x=60，即S15=60。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差中項(xiàng)。

變式：已知兩個(gè)等差數(shù)列a■和b■的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且■=■，則使得■為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。

因?yàn)?，兩個(gè)等差數(shù)列a■和b■的前n項(xiàng)和分別為An和Bn，且■=■，所以，■=■=■=■=■=■=7+■，為使■為整數(shù)，需n+1為2，3，4，6，12，共5個(gè)，故選D。

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的求和公式。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。本題較為典型。

（二）等比數(shù)列性質(zhì)

例2：在正項(xiàng)等比數(shù)列a■中，lga3+lga6+lga9=3，則a1a11的值是 （ ）。

A.10000 B. 1000 C. 100 D. 10

解析：因?yàn)閘ga3+lga6+lga9=3，同底對(duì)數(shù)相加得a3a6a9=103，用等比數(shù)列的性質(zhì)得，a63=103，所以a6=10，所以a1a11=a62=100。

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算，等比數(shù)列的性質(zhì)。

變式：等比數(shù)列a■的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a3+a8+a5+a6=18，則log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）。

A.12 B.10 C.8 D.2+log35

解析：∵a3+a8+a5+a6=18，∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=9，∴l(xiāng)og3a1+log3a2+…loga3a10應(yīng)為log■a■■a■■...a■=log■9■=10。故選B。

考點(diǎn)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算。

點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題是利用等比數(shù)列的性質(zhì)m+n=p+r，故a■·a■=a■·a■，特別地，當(dāng)m+n=2k，則am·an=a■■，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可。

類(lèi)型二：數(shù)列通項(xiàng)與求和的應(yīng)用

例3：已知等比數(shù)列a■中，a1=2，且a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，

（1）求數(shù)列a■的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列na■的前n項(xiàng)的和。

解析：（1）根據(jù)a1，a2+1，a3成等差數(shù)列，建立公比q的方程，確定得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）較為典型。應(yīng)用“錯(cuò)位相減法”確定數(shù)列的前n項(xiàng)的和。

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列a■的公比為q，a2=2q，a3=2q2，由題設(shè)知，a1+a3=2（a2+1）∴2+2q2=4q+2，q=2或0，∵q≠0，∴q=2，an=2n 。

（2）設(shè)數(shù)列na■的前n項(xiàng)的和為Sn，

sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n（1）

2sn=1×22+2×23+…+（n-1）2n+n×2n+1（2）

（1）—（2）得：-sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=■-n×2n+1

sn=（n-1）×2n+1+2

考點(diǎn)：等差數(shù)列，等比數(shù)列，“錯(cuò)位相減法”求和。

變式：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=-■n■+kn（k∈N*），且Sn的最大值為8。

（1）確定常數(shù)k，求an；

（2）求數(shù)列■的前n項(xiàng)和Tn。

解析：（1）當(dāng)n=k∈N*時(shí)，Sn=-■n■+kn取最大值，即8=-■k■+k2=■k■，故k=4，從而an=Sn-Sn-1=■-n（n≥2），又a1=S1=■，所以an=■-n。

∵bn=■=■，Tn=b1+b2+…+bn=1+■+■+…+■+■，

∴Tn=2Tn-Tn=2+1+■+…+■-■=4-■-■=4-■。

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式，數(shù)列的求和。

點(diǎn)評(píng)：典型題，本題首先由Sn，an的關(guān)系，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵。求和過(guò)程中應(yīng)用了“錯(cuò)位相減法”。在數(shù)列問(wèn)題中，“分組求和法”“裂項(xiàng)相消法”也常?？嫉?。

（責(zé)編 金 東）