徐峰

知道兩個(gè)圓的半徑及圓心距就可以求出這兩個(gè)圓的外公切線的長.如圖1，圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2，圓心距O1O2=d，兩圓的一條外公切線為PQ，P、Q為切點(diǎn)，則不難求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.

如圖2，PQ為圓O1和圓O2的外公切線，P、Q為切點(diǎn)，過O1和O2的直線分別交圓O1于A、B，交圓O2于C、D，則可以證明如下性質(zhì)：PQ2=AC·BD.

證明：設(shè)兩圓半徑分別為r1和r2，O1O2=d，則

PQ2=d2-（r2-r1）2

=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]

=（d-r2+r1）（d+r2-r1）

=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）

=AC·BD.

上面的證明在兩圓相交或外切時(shí)也是成立的.（圖3、圖4）

如圖4，當(dāng)兩圓外切時(shí)，上述性質(zhì)變?yōu)椋篜Q2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.

利用上面的性質(zhì)可以很方便地解決某些與兩圓外公切線長有關(guān)的問題，試舉幾例.

例1如圖5，圓O2和圓O1及圓O3都外切，三個(gè)圓的圓心在一條直線上，它們的半徑分別是r1，r2，r3.若三個(gè)圓有一條外公切線，切點(diǎn)為P、Q、R，則有r22=r1r3，或r2=r1r3.

證明由本文所述性質(zhì)，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=

2（r1+r2）（r2+r3），因?yàn)镻Q+QR=PR，

從而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），兩邊平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.

例2如圖6，A、B兩個(gè)半圓外切，C是以A和B的外公切線為直徑所作的半圓，D是以A和B的圓心連線為直徑所作的半圓，若四個(gè)半圓的面積仍記為A、B、C、D，求證：4D=A+B+2C.

證明設(shè)A、B的半徑分別為r1和r2，由本文性質(zhì)，C的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，而D的半徑為r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，從而結(jié)論成立.

例3如圖7，半圓O1和半圓O2外切，它們的一條外公切線為為PQ，P、Q為切點(diǎn)，分別以AO2和O1C為直徑作兩個(gè)半圓，這兩個(gè)半圓的外公切線為MN，M、N為切點(diǎn)，求證：MN=12PQ.

證明設(shè)半圓O1和O2的半徑分別為r1和r2，由本文性質(zhì)，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.

例4如圖8，半圓B和半圓A及半圓C都外切，它們的圓心都在一條直線上，這三個(gè)半圓有一條公切線，分別以切點(diǎn)所連線段為直徑再作兩個(gè)半圓D和E，顯然D和E也外切，再以D和E的外公切線為直徑作半圓F，求證：F半徑等于B的半徑.

證明設(shè)半圓A、B、C的半徑分別為r1，r2，r3，則由例1的結(jié)論有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性質(zhì)，D的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，E的直徑為2r2r3，半徑為r2r3，從而F的直徑為2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.證畢.endprint

知道兩個(gè)圓的半徑及圓心距就可以求出這兩個(gè)圓的外公切線的長.如圖1，圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2，圓心距O1O2=d，兩圓的一條外公切線為PQ，P、Q為切點(diǎn)，則不難求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.

如圖2，PQ為圓O1和圓O2的外公切線，P、Q為切點(diǎn)，過O1和O2的直線分別交圓O1于A、B，交圓O2于C、D，則可以證明如下性質(zhì)：PQ2=AC·BD.

證明：設(shè)兩圓半徑分別為r1和r2，O1O2=d，則

PQ2=d2-（r2-r1）2

=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]

=（d-r2+r1）（d+r2-r1）

=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）

=AC·BD.

上面的證明在兩圓相交或外切時(shí)也是成立的.（圖3、圖4）

如圖4，當(dāng)兩圓外切時(shí)，上述性質(zhì)變?yōu)椋篜Q2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.

利用上面的性質(zhì)可以很方便地解決某些與兩圓外公切線長有關(guān)的問題，試舉幾例.

例1如圖5，圓O2和圓O1及圓O3都外切，三個(gè)圓的圓心在一條直線上，它們的半徑分別是r1，r2，r3.若三個(gè)圓有一條外公切線，切點(diǎn)為P、Q、R，則有r22=r1r3，或r2=r1r3.

證明由本文所述性質(zhì)，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=

2（r1+r2）（r2+r3），因?yàn)镻Q+QR=PR，

從而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），兩邊平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.

例2如圖6，A、B兩個(gè)半圓外切，C是以A和B的外公切線為直徑所作的半圓，D是以A和B的圓心連線為直徑所作的半圓，若四個(gè)半圓的面積仍記為A、B、C、D，求證：4D=A+B+2C.

證明設(shè)A、B的半徑分別為r1和r2，由本文性質(zhì)，C的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，而D的半徑為r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，從而結(jié)論成立.

例3如圖7，半圓O1和半圓O2外切，它們的一條外公切線為為PQ，P、Q為切點(diǎn)，分別以AO2和O1C為直徑作兩個(gè)半圓，這兩個(gè)半圓的外公切線為MN，M、N為切點(diǎn)，求證：MN=12PQ.

證明設(shè)半圓O1和O2的半徑分別為r1和r2，由本文性質(zhì)，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.

例4如圖8，半圓B和半圓A及半圓C都外切，它們的圓心都在一條直線上，這三個(gè)半圓有一條公切線，分別以切點(diǎn)所連線段為直徑再作兩個(gè)半圓D和E，顯然D和E也外切，再以D和E的外公切線為直徑作半圓F，求證：F半徑等于B的半徑.

證明設(shè)半圓A、B、C的半徑分別為r1，r2，r3，則由例1的結(jié)論有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性質(zhì)，D的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，E的直徑為2r2r3，半徑為r2r3，從而F的直徑為2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.證畢.endprint

知道兩個(gè)圓的半徑及圓心距就可以求出這兩個(gè)圓的外公切線的長.如圖1，圓O1和圓O2的半徑分別為r1和r2，圓心距O1O2=d，兩圓的一條外公切線為PQ，P、Q為切點(diǎn)，則不難求得：PQ2=d2-（r2-r1）2，即PQ=d2-（r2-r1）2.

如圖2，PQ為圓O1和圓O2的外公切線，P、Q為切點(diǎn)，過O1和O2的直線分別交圓O1于A、B，交圓O2于C、D，則可以證明如下性質(zhì)：PQ2=AC·BD.

證明：設(shè)兩圓半徑分別為r1和r2，O1O2=d，則

PQ2=d2-（r2-r1）2

=[d-（r2-r1）][d+（r2-r1）]

=（d-r2+r1）（d+r2-r1）

=（O1O2-CO2+AO1）·（O1O2+O2D-O1B）

=AC·BD.

上面的證明在兩圓相交或外切時(shí)也是成立的.（圖3、圖4）

如圖4，當(dāng)兩圓外切時(shí)，上述性質(zhì)變?yōu)椋篜Q2=2r1·2r2=4r1r2或PQ=2r1r2.

利用上面的性質(zhì)可以很方便地解決某些與兩圓外公切線長有關(guān)的問題，試舉幾例.

例1如圖5，圓O2和圓O1及圓O3都外切，三個(gè)圓的圓心在一條直線上，它們的半徑分別是r1，r2，r3.若三個(gè)圓有一條外公切線，切點(diǎn)為P、Q、R，則有r22=r1r3，或r2=r1r3.

證明由本文所述性質(zhì)，PQ=2r1r2，QR=2r2r3，PR=AC·BD=2（r1+r2）·2（r2+r3）=

2（r1+r2）（r2+r3），因?yàn)镻Q+QR=PR，

從而有2r1r2+2r2r3=2（r1+r2）（r2+r3），兩邊平方并整理得：2r2r1r3=r22+r1r3，即（r2-r1r3）2=0，所以r2=r1r3，或r22=r1r3.

例2如圖6，A、B兩個(gè)半圓外切，C是以A和B的外公切線為直徑所作的半圓，D是以A和B的圓心連線為直徑所作的半圓，若四個(gè)半圓的面積仍記為A、B、C、D，求證：4D=A+B+2C.

證明設(shè)A、B的半徑分別為r1和r2，由本文性質(zhì)，C的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，而D的半徑為r1+r22，A+B+2C=12πr21+12πr22+2·12π（r1r2）2=12πr21+12πr22+πr1r2=12π（r1+r2）24D=4·12π（r1+r22）2=12π（r1+r2）2，從而結(jié)論成立.

例3如圖7，半圓O1和半圓O2外切，它們的一條外公切線為為PQ，P、Q為切點(diǎn)，分別以AO2和O1C為直徑作兩個(gè)半圓，這兩個(gè)半圓的外公切線為MN，M、N為切點(diǎn)，求證：MN=12PQ.

證明設(shè)半圓O1和O2的半徑分別為r1和r2，由本文性質(zhì)，PQ=2r1r2，MN=AO1·O2C=r1r2，所以，MN=12PQ.

例4如圖8，半圓B和半圓A及半圓C都外切，它們的圓心都在一條直線上，這三個(gè)半圓有一條公切線，分別以切點(diǎn)所連線段為直徑再作兩個(gè)半圓D和E，顯然D和E也外切，再以D和E的外公切線為直徑作半圓F，求證：F半徑等于B的半徑.

證明設(shè)半圓A、B、C的半徑分別為r1，r2，r3，則由例1的結(jié)論有r22=r1r3，r2=r1r3，再由本文性質(zhì)，D的直徑為2r1r2，半徑為r1r2，E的直徑為2r2r3，半徑為r2r3，從而F的直徑為2r1r2·r2r3=2r2·r1r3=2r2r2=2r2.證畢.endprint