朱翠濤，楊凡，汪漢新，李中捷

(中南民族大學(xué) 智能無(wú)線通信湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430073)

1 引言

在認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)中，動(dòng)態(tài)頻譜共享機(jī)制分為覆蓋式（overlay）、共存式（underlay）和混合方式[1]。在這些共享機(jī)制中，除了對(duì)授權(quán)頻譜的使用情況進(jìn)行檢測(cè)外，有關(guān)授權(quán)用戶的其他信息，如發(fā)送功率、位置、個(gè)數(shù)等也應(yīng)及時(shí)、準(zhǔn)確感知，才能避免對(duì)授權(quán)用戶造成干擾，實(shí)現(xiàn)頻譜安全共享。然而，在感知過(guò)程中，認(rèn)知用戶接收的信號(hào)可能經(jīng)歷了深衰落、陰影效應(yīng)、噪聲等影響，使得單個(gè)認(rèn)知用戶無(wú)法準(zhǔn)確地對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行感知。于是，協(xié)同感知引起學(xué)者們的關(guān)注。文獻(xiàn)[2]在平均一致框架下，以相鄰節(jié)點(diǎn)的觀測(cè)作為約束通優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)協(xié)同頻譜感知，利用約束條件迫使網(wǎng)絡(luò)中各認(rèn)知用戶的頻譜感知結(jié)果達(dá)到全局最優(yōu)。這種方法在協(xié)同用戶數(shù)目較多時(shí)會(huì)造成較大的網(wǎng)絡(luò)計(jì)算和通信開(kāi)銷(xiāo)。為了克服此問(wèn)題，文獻(xiàn)[3]在壓縮采樣的框架下，提出了一種基于一致優(yōu)化的分布式寬帶頻譜壓縮感知算法，并引入加權(quán)的一致平均約束減少約束的數(shù)量，由此降低計(jì)算開(kāi)銷(xiāo)及提高算法的收斂速度。為了改善協(xié)同頻譜檢測(cè)性能，文獻(xiàn)[4]結(jié)合一階馬爾可夫過(guò)程，通過(guò)貝葉斯推理及利用因子圖中的消息傳遞實(shí)現(xiàn)協(xié)同檢測(cè)任務(wù)。這些研究工作從不同角度對(duì)授權(quán)頻譜感知方法進(jìn)行了深入探索。而在未來(lái)的認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)中，多種頻譜共享機(jī)制會(huì)同時(shí)存在，為了避免相互干擾，授權(quán)用戶的其他信息也應(yīng)及時(shí)感知。為此，文獻(xiàn)[5]提出了基于稀疏貝葉斯壓縮感知的聯(lián)合頻譜感知與定位算法，融合中心利用各認(rèn)知用戶的壓縮測(cè)量值直接對(duì)授權(quán)用戶的信息進(jìn)行估計(jì)。但是，基于相關(guān)向量機(jī)的稀疏貝葉斯壓縮感知算法復(fù)雜度較高，收斂速度慢。針對(duì)此問(wèn)題，筆者在前期工作中[6]，提出了一種變分稀疏貝葉斯壓縮感知方法，改善協(xié)同感知性能。由于該工作是基于集中式協(xié)同感知，通信負(fù)載比較大，且頑健性較差。

基于此，本文在前期工作的基礎(chǔ)上，提出了一種基于因子圖[7]的分布式變分稀疏貝葉斯頻譜感知算法。該方法將聯(lián)合頻譜感知問(wèn)題映射為因子圖模型，通過(guò)認(rèn)知用戶鄰居間的置信傳播實(shí)現(xiàn)“軟融合”，且傳遞的信息非壓縮觀測(cè)值或本地決策值，而是前一次迭代過(guò)程中的融合信息。鄰居間傳遞的信息具有時(shí)間和空間相關(guān)性，充分利用這種二維相關(guān)性，提高認(rèn)知用戶在低信噪比下的檢測(cè)性能。并將變分方法[8]用于稀疏貝葉斯框架中，簡(jiǎn)化推理過(guò)程。同時(shí)，為了降低通信負(fù)載，算法在迭代過(guò)程中自適應(yīng)地刪除不收斂的超參數(shù)及對(duì)應(yīng)的基函數(shù)，從而減少分布式迭代過(guò)程中的通信量。

2 信號(hào)模型及問(wèn)題提出

在認(rèn)知無(wú)線網(wǎng)絡(luò)中，假定某檢測(cè)區(qū)域內(nèi)有 Nch個(gè)授權(quán)信道，有 Np個(gè)處于活動(dòng)狀態(tài)的授權(quán)用戶（簡(jiǎn)稱(chēng)PU），且 Np＜＜Nch。PU隨機(jī)分布在一定的區(qū)域里，其位置坐標(biāo)表示為分別是橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)上的位置分辨率，表示位置識(shí)別精度。同時(shí)，檢測(cè)區(qū)域中存在 Nc個(gè)認(rèn)知用戶（簡(jiǎn)稱(chēng)CR），其位置坐標(biāo)分別表示為。任意CR通過(guò)無(wú)線信道接收任意授權(quán)用戶發(fā)射的信號(hào)，信號(hào)經(jīng)過(guò)無(wú)線信道的路徑損耗為[9]

其中， Pt為發(fā)射功率， Pr為接收功率。路徑損耗與頻率、距離間的關(guān)系為[9]

其中， P0為一常量， n0為路徑損耗指數(shù)，由式（1）和式（2）可得接收功率與發(fā)射功率、距離及頻率之間的關(guān)系為

依據(jù)式（3），第k個(gè)認(rèn)知用戶通過(guò)第i個(gè)信道接收在位置(xm, yn)的授權(quán)用戶發(fā)射的信號(hào)功率為

其中， Pt(m,n,i)表示在位置(xm, yn)處的授權(quán)用戶經(jīng)過(guò)信道i發(fā)射信號(hào)的功率， fi表示第i個(gè)信道所對(duì)應(yīng)的頻率，d(m,n,k)表示授權(quán)用戶與認(rèn)知用戶k之間的距離，由式得到。那么，第k個(gè)認(rèn)知用戶通過(guò)第i個(gè)信道接收可能來(lái)自各授權(quán)用戶的總信號(hào)功率為

其中， P(i)表示經(jīng)第i個(gè)信道接收可能來(lái)自各授權(quán)用戶發(fā)射信號(hào)功率組成的列向量， LT(k,i)表示各授權(quán)用戶發(fā)射信號(hào)的功率經(jīng)信道i到達(dá)第k個(gè)認(rèn)知用戶的路徑損耗組成的行向量。第k個(gè)認(rèn)知用戶可能通過(guò)各信道接收的信號(hào)功率表示為由式（5）可得認(rèn)知用戶對(duì)授權(quán)用戶進(jìn)行感知的問(wèn)題模型，用矩陣表示為

其中，矩陣 Lk中的第 i行表示為0表示1×MN的0向量。

3 壓縮感知模型

式（6）中包含了授權(quán)用戶的相關(guān)信息，本文采用全分布式的協(xié)同感知方法對(duì)授權(quán)用戶的相關(guān)信息進(jìn)行感知。由于授權(quán)頻段的利用率低，認(rèn)知用戶所接收的信號(hào)在頻域具有稀疏性。因此，利用壓縮感知理論，降低對(duì)寬帶信號(hào)采樣壓力。設(shè)第k個(gè)認(rèn)知用戶在時(shí)域內(nèi)檢測(cè)到的信號(hào)為 rk，根據(jù)傅立葉變換理論，可得

其中， F-1為離散傅立葉逆變換矩陣。由式（6）、式（7）可得

其中，kΦ為測(cè)量矩陣，它確定kr與kP之間關(guān)系。由于kL表示無(wú)線信道的路徑損耗，具有非常強(qiáng)的隨機(jī)性，kΦ滿足RIP[10]性質(zhì)。在實(shí)際的傳播環(huán)境中存在噪聲干擾，式（8）變換為

其中，kε表示均值為0，方差為2σ的高斯噪聲向量。針對(duì)問(wèn)題（9），可以將其轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解[11]，但是，算法的復(fù)雜度較高。本文充分利用貝葉斯推理的優(yōu)勢(shì)，不需要恢復(fù)原始信號(hào)，直接依據(jù)觀測(cè)值kr及先驗(yàn)信息進(jìn)行相關(guān)參數(shù)的估計(jì)，并通過(guò)因子圖和變分方法將全局問(wèn)題轉(zhuǎn)換為分布式的局部問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化求解。

4 變分稀疏貝葉斯推理

4.1 本地稀疏貝葉斯模型

稀疏貝葉斯壓縮感知過(guò)程實(shí)質(zhì)上是基于概率圖模型的統(tǒng)計(jì)推理過(guò)程[12]。因此，可構(gòu)造一個(gè)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型描述線性回歸問(wèn)題（9）的推理過(guò)程，如圖1所示。

圖1 貝葉斯網(wǎng)絡(luò)模型

式（9）中，變量kε服從高斯分布，可推導(dǎo)出未知參量kP的似然函數(shù)服從均值為kkPΦ，方差為2σ的高斯分布，即

由于授權(quán)用戶隨機(jī)選擇一個(gè)信道進(jìn)行數(shù)據(jù)發(fā)送，且大部分授權(quán)信道是空閑的，所以 Pk具有稀疏性。依據(jù)稀疏貝葉斯模型[12]，向量 Pk中的任意元素Pj服從均值為0，方差為αj的高斯分布，即

其中，jα為超參數(shù)，其物理意義是表示本地子信道的占用情況。當(dāng)jα的數(shù)值變得很大時(shí)，根據(jù)高斯分布曲線特性，jα對(duì)應(yīng)的jP會(huì)迅速衰減為0。又由于關(guān)于jα后驗(yàn)分布大數(shù)據(jù)出現(xiàn)的概率非常大，這就決定了kP中大部分元素為0，即jα決定jP的稀疏性。由于超參數(shù)是變量，而且高斯分布方差的倒數(shù)的共軛概率分布為Gamma分布，因此，為超參數(shù)jα引入一個(gè)Gamma分布，即

4.2 變分逼近

便于問(wèn)題分析，在稀疏貝葉斯架構(gòu)下，先形成協(xié)同頻譜感知的全局問(wèn)題，然后逐步推導(dǎo)出分布式變分稀疏貝葉斯模型。為此，定義全局未知變量的集合為，觀測(cè)值集合，由式（9）可以得全局觀測(cè)值為

依據(jù)變分理論[8]，在式（14）中引入了一個(gè)關(guān)于變量P、α的q分布，其表達(dá)式為

然后對(duì)式（15）兩邊取對(duì)數(shù)，又由于(,)qPα∫dd 1Pα= ，所以，式（15）可以轉(zhuǎn)換為

將式（16）簡(jiǎn)記為

變分貝葉斯方法是通過(guò)最小化 KL散度尋找關(guān)于變量 P ,α的q分布，而KL散度依賴(lài)于難以求解的后驗(yàn)分布。根據(jù)KL散度的特性可知，由式（17）可以推導(dǎo)出

依據(jù)文獻(xiàn)[13]可以求得關(guān)于變量 P ,α的q分布的迭代優(yōu)化更新表達(dá)式為

式（18）和式（19）中的 const表示與 P ,α獨(dú)立的部分。求解式（18）和式（19），可以得到關(guān)于變量 P ,α的q分布為

其中，

5 因子圖及置信傳播

5.1 因子圖表示

分布式的首要任務(wù)是將全局問(wèn)題下的式（18）和式（19）轉(zhuǎn)換為分布式形式。如果已知認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中的全局 q(P)分布，即參數(shù)u,∑為已知，那么可以根據(jù)式（21）在本地計(jì)算 q(α)中的參數(shù)，根據(jù)可以計(jì)算超參數(shù)α。這就意味著，只要每個(gè)認(rèn)知用戶獲得了 q(P)，就可在本地更新計(jì)算q(α)。因此，只需將式（18）分解為分布式形式即可。為此，本文引入因子圖模型，通過(guò)和積算法實(shí)現(xiàn)鄰居間消息傳遞。引入 Nc個(gè)超參數(shù)向量分別與認(rèn)知節(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，通過(guò)消息傳播使，即獲得 q(P)。

因子圖是一種用來(lái)描述如何將多變量的全局函數(shù)分解成多個(gè)局部函數(shù)乘積形式的雙向圖。利用因子圖模型刻畫(huà)式（18）的分布式形式，通過(guò)在相應(yīng)的因子圖上分布地進(jìn)行消息傳遞，實(shí)現(xiàn)q(Pk) = q (P)。相應(yīng)的因子圖模型，如圖2所示。

圖2 分布式稀疏貝葉斯因子

圖2 由節(jié)點(diǎn)（用圓表示）和因子（用黑方塊表示）組成，節(jié)點(diǎn)表示變量，因子表示節(jié)點(diǎn)之間的概率約束關(guān)系。其中，節(jié)點(diǎn)分為3個(gè)層次，最頂層是包含了所有認(rèn)知用戶中的超參數(shù)集合，中間層是由未知參量集合組成，最下層由觀測(cè)向量的集合組成。其中，認(rèn)知用戶間通過(guò)耦合因子 fkl進(jìn)行信息交互。在因子圖中，對(duì)于任意認(rèn)知用戶k，節(jié)點(diǎn)αk與節(jié)點(diǎn)Pk間的因子定義為[14]

其中， Ak是由超參數(shù)組成的對(duì)角矩陣。節(jié)點(diǎn) Pk與節(jié)點(diǎn) rk間的因子定義為

為了實(shí)現(xiàn)相鄰認(rèn)知用戶間進(jìn)行信息交互，在相鄰認(rèn)知用戶間定義耦合因子為

其中，β為耦合參數(shù)，β值越大，相鄰節(jié)點(diǎn)間的耦合性越強(qiáng)。

5.2 置信傳播及q(Pk)分布式求解

依據(jù)圖2消息傳播過(guò)程為：首先，從節(jié)點(diǎn)αk到因子發(fā)送消息δ(αk-αk)為二元指示函數(shù)，即

根據(jù)和積算法，關(guān)于 Pk的邊緣分布可以表示為接收到所有消息的乘積并歸一化，即

依據(jù)式（26）可推出 q(Pk) 的分布為高斯分布，即

從節(jié)點(diǎn) Pk到其他鄰節(jié)點(diǎn) Pl發(fā)送的消息定義為

由此可以推導(dǎo)出相鄰節(jié)點(diǎn)間傳遞消息的均值和方差為

5.3 算法總結(jié)

各認(rèn)知用戶在計(jì)算邊緣分布 q (Pk) 時(shí)，消息在鄰居之間相互傳播會(huì)形成環(huán)，為了使算法能夠收斂，本文采取的主要措施為：1）各節(jié)點(diǎn)同步更新消息；2）尋找合適的收斂條件。依據(jù)式（27），第k個(gè)認(rèn)知用戶所對(duì)應(yīng)的邊緣參數(shù)在第I次迭代中的表達(dá)式為

同樣，根據(jù)式（28）定義在第I次迭代中相鄰2個(gè)節(jié)點(diǎn)k、l間傳遞消息的均值與方差為

算法的具體步驟如下。

4) 計(jì)算邊緣參數(shù)∑k、uk，更新超參數(shù)αk,j。如果超參數(shù)大于門(mén)限值thθ時(shí)，刪除此超參數(shù)及相應(yīng)的基函數(shù)。根據(jù)變分稀疏貝葉斯收斂條件判斷變分貝葉斯學(xué)習(xí)算法是否收斂，若不收斂跳轉(zhuǎn)到步驟2）。

5) 用循環(huán)可信度傳播算法計(jì)算最后的邊緣參數(shù)，結(jié)束算法。

6 算法性能分析

6.1 收斂性

根據(jù)式（20）和式（22）迭代尋找變量P的q分布時(shí)，會(huì)導(dǎo)致不相關(guān)的超參數(shù)α不收斂。為了簡(jiǎn)化計(jì)算以及算法快速收斂，本文對(duì)超參數(shù)α設(shè)置門(mén)限值，算法在迭代過(guò)程中刪除不收斂的超參數(shù)以及相應(yīng)的基函數(shù)。在分布式變分稀疏貝葉算法中引入了循環(huán)可信度傳播，為了確保算法的收斂性，本文采取同步工作機(jī)制，各CR同步更新消息。同時(shí)，通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，尋找最佳的收斂條件，具體為：第I次迭代計(jì)算的邊緣參數(shù) uk(I)和 ∑k(I)與前一次計(jì)算結(jié)果的絕對(duì)值差小于 1 0-3作為算法收斂的收斂條件。

6.2 算法復(fù)雜度

算法復(fù)雜度與迭代次數(shù)、相鄰節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)及消息大小有關(guān)。假定認(rèn)知用戶k的相鄰用戶有N(k)個(gè)，傳播消息大小為H，那么節(jié)點(diǎn)k接收的總消息大小為 H N(k)。節(jié)點(diǎn)k加上自身的檢測(cè)消息大小為假定迭代次數(shù)為I，則算法總的復(fù)雜度為

6.3 通信負(fù)載

相鄰節(jié)點(diǎn)間互相傳遞消息，實(shí)現(xiàn)消息共享。但是隨著消息傳播，網(wǎng)絡(luò)負(fù)載也會(huì)增加。本文在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，相鄰CR之間傳遞估計(jì)值，而不是原始的觀測(cè)數(shù)據(jù)。同時(shí)為了進(jìn)一步降低網(wǎng)絡(luò)負(fù)載，本文在算法的迭代過(guò)程中自適應(yīng)地逐步刪除不收斂的超參數(shù)以及基函數(shù)，減小相鄰用戶間的通信量，從而降低網(wǎng)絡(luò)負(fù)載。

7 實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證算法的有效性，在MATLAB仿真平臺(tái)上進(jìn)行了數(shù)字仿真實(shí)驗(yàn)。在后繼的所有仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)定認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)中待感知的頻率范圍為[0,…,800] MHz，分為 20個(gè)子信道。并假設(shè)存在8個(gè)授權(quán)用戶分布在10×10區(qū)域內(nèi)，，每個(gè)授權(quán)用戶的發(fā)射功率定義在[10,30] mW區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取值。在此區(qū)域里分布了3個(gè)認(rèn)知用戶，分別設(shè)置在(6.1, 8.2)，信噪比為-5 dB。耦合參數(shù)，門(mén)限值利用本文提出的分布式變分稀疏貝葉斯算法進(jìn)行頻譜檢測(cè)，認(rèn)知用戶CR1檢測(cè)的結(jié)果如圖3所示。其他認(rèn)知用戶CR2和CR3也有類(lèi)似的檢測(cè)結(jié)果。通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)，算法迭代次數(shù)平均為4次。

圖3 認(rèn)知用戶CR1重構(gòu)結(jié)果與原始信號(hào)比較

在相同的設(shè)置環(huán)境下，利用三維坐標(biāo)對(duì)授權(quán)用戶的位置信息，以及相應(yīng)信道的占用情況進(jìn)行了檢測(cè)。圖4為CR1檢測(cè)到的有關(guān)授權(quán)用戶信息，圖中星號(hào)代表授權(quán)用戶在地理坐標(biāo)上實(shí)際的信道使用情況，圓圈代表CR用戶能夠檢測(cè)到的授權(quán)用戶在地理坐標(biāo)上實(shí)際的信道使用情況。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，CR1用戶能檢測(cè)出授權(quán)用戶的位置信息及占用的信道。同樣，其他CR用戶也有類(lèi)似的檢測(cè)結(jié)果。

圖4 CR1用戶檢測(cè)的授權(quán)用戶信息

在此基礎(chǔ)上，又驗(yàn)證了所提算法在不同采樣率，不同信噪比下的檢測(cè)性能。信噪比分別設(shè)為0 dB、5 dB、-5 dB下，采樣率分別為0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8。各認(rèn)知用戶的檢測(cè)概率和誤檢測(cè)概率，其中，CR1檢測(cè)概率結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 不同采樣率下的檢測(cè)概率

圖6 不同采樣率下的誤檢概率

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，隨著采樣率增加，檢測(cè)概率隨著增加，誤檢測(cè)概率隨著降低。為了減輕對(duì)寬帶信號(hào)采樣壓力，本文在協(xié)同感知算法中引入了壓縮采樣，由此導(dǎo)致了感知算法性能的退化。

同時(shí)，在SNR=5 dB，壓縮比為50%，3個(gè)協(xié)同認(rèn)知用戶，耦合參數(shù)β和門(mén)限值thθ取不同值情況下，從均方誤差 MSE和 ROC(receiver operating characteristic)2個(gè)方面，將本文提出的基于因子圖的分布式變分稀疏貝葉斯壓縮感知(DVSBL)算法與集中變分稀疏貝葉斯壓縮感知(CVSBL)算法[6]，以及基于相關(guān)向量機(jī)的集中式稀疏貝葉斯感知(CSBL)算法[5]進(jìn)行了對(duì)比分析，如表1和圖7所示。

在基于因子圖的分布式變分稀疏貝葉斯算法中存在β和thθ2個(gè)參量，取值的大小會(huì)影響算法的感知精度，而在集中式算法中只存在參數(shù)thθ。當(dāng)thθ相同，β取不同值時(shí)，CVSBL算法的MSE相同，DVSBL算法有所變化。當(dāng)β和thθ增大時(shí)，DVSBL算法的性能趨于最優(yōu)。表1中的數(shù)值為多次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值。

表1 不同β和thθ情況下2種算法的MSE比較/dB

圖7 3種感知算法的ROC比較

從圖7實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，CVSBL感知方法的效果最好，但由于所有認(rèn)知節(jié)點(diǎn)要將本地的觀測(cè)值傳給融合中心，通信負(fù)載大，頑健性差。CSBL算法具有較高的計(jì)算復(fù)雜度，并擁有CVSBL算法的缺陷。本文提出的DVSBL方法，在沒(méi)有融合中心的前提下，它的ROC 性能近似最優(yōu)，且算法復(fù)雜度和通信負(fù)載較低。

8 結(jié)束語(yǔ)

在未來(lái)的認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)中，多種共享機(jī)制會(huì)并存。要實(shí)現(xiàn)安全的頻譜資源共享，必須對(duì)授權(quán)用戶及頻譜的占用情況及時(shí)、準(zhǔn)確感知。但是，由于無(wú)線信道的復(fù)雜性和不確定性，使得相關(guān)信息的準(zhǔn)確感知面臨許多困難。針對(duì)此問(wèn)題，本文探索性地將因子圖引入到分布式頻譜感知模型中，并采用變分近似降低計(jì)算復(fù)雜度。同時(shí)算法在計(jì)算過(guò)程中，不需要稀疏參數(shù)間交叉調(diào)整，進(jìn)一步提高計(jì)算速度。

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