姚雪 都進(jìn)學(xué) 王全武

(重慶科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，重慶 401331)

利用光的干涉、衍射原理進(jìn)行光波波長測量實(shí)驗(yàn)時(shí)，通常誤差較小，一般能控制在3%以內(nèi)。目前菲涅爾雙棱鏡干涉測鈉黃光的波長實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)誤差卻偏大，一般只能控制在5%以內(nèi)。本次研究目的是提高測量精度，降低實(shí)驗(yàn)誤差，改該實(shí)驗(yàn)效果。

1 菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)測波長原理

菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)測波長作為大學(xué)物理的基本光學(xué)實(shí)驗(yàn)之一，簡單易懂，實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象良好。菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)是利用雙棱鏡界面的兩次折射，將單縫s發(fā)生的光波陣面分成沿不同方向傳播的兩束光，這兩束光相當(dāng)于由虛光源s1、s2發(fā)生的兩束相干光，在它們相重疊的空間區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生干涉。該區(qū)域中均可得到明暗交替的干涉條紋。實(shí)驗(yàn)原理如圖1所示。

圖1 菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)原理圖

圖2 菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)簡化光路圖

根據(jù)干涉理論Δ=Kλ，為亮條紋，因此可推得亮條紋位置滿足以下關(guān)系:

暗條紋位置則滿足關(guān)系:

由式(1)、(2)可看出，任何兩條相鄰的亮條紋(或暗條紋)之間的距離即干涉條紋間距為:

所以計(jì)算光波波長的原理公式為:

只需要測出l、D和σx，就能根據(jù)式(4)來計(jì)算光波波長。

2 菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)測波長的不足

計(jì)算光波波長的原理公式非常經(jīng)典，簡單可測。大多數(shù)高校在該實(shí)驗(yàn)中采用一次成像法計(jì)算l，平值法測σx，對(duì)D采用了近似相等的取值，無疑增大了系統(tǒng)誤差。

(1)D采用近似間接測法。以狹縫平面代替虛光源平面，以狹縫底座上的標(biāo)線代替狹縫平面位置，用狹縫平面與觀察屏的距離代替D。這種近似方法存在狹縫與虛光源并不共面的系統(tǒng)誤差。即使D自身足夠大時(shí)，狹縫平面與虛光源平面相差很小，所含系統(tǒng)誤差可忽略。但狹縫與其底座上的標(biāo)線也不共面。另外觀察屏位置無法直接測量，具體計(jì)算D時(shí)，用狹縫平面與目鏡距離減去廠家所設(shè)目鏡到觀察屏距離，進(jìn)行間接計(jì)算，同樣會(huì)增大其系統(tǒng)誤差。

(2)l的數(shù)值一般采用一次成像法計(jì)算。即保持狹縫、雙棱鏡和測微目鏡位置不動(dòng)，在雙棱鏡和觀察屏之間放上透鏡L，調(diào)節(jié)L使得在讀數(shù)顯微鏡中出現(xiàn)清晰的像 s′1、s′2，記下縫、雙棱鏡、透鏡 L 以及測微目鏡的位置。測出 s′1、s′2之間的距離 l′。根據(jù)透鏡成像光路得，故只要求出 a、b 值，讀數(shù)顯微鏡測出l′，就可算出l。此方法簡單，但同樣用狹縫到透鏡距離代替物距a，使a、b的值仍然存在較大的近似性，導(dǎo)致l的測量出現(xiàn)誤差。

(3)測量干涉條紋間距σx，采取連續(xù)讀出8σx或者10σx的寬度，然后求出平均值的方法計(jì)算。滿足D＞4f時(shí)，干涉條紋清晰可見，但光強(qiáng)原因?qū)е铝炼容^暗，在連續(xù)數(shù)多條條紋間距時(shí)非常容易出錯(cuò)，會(huì)導(dǎo)致較大的系統(tǒng)誤差。

3 實(shí)驗(yàn)優(yōu)化措施

針對(duì)以上產(chǎn)生誤差的原因，通過大量翻閱資料并進(jìn)行推算，找出減小誤差的具體理論計(jì)算公式及相應(yīng)的測量方法。

(1)兩虛光源間的距離l以及虛光源到屏的距離D理論計(jì)算公式推導(dǎo)。圖3所示為凸透鏡二次成像的光路圖，其中透鏡處于I位置時(shí)成像物距為u1，像距為v1，處于Ⅱ位置時(shí)成像物距為u2，像距為v2，透鏡焦距為f，透鏡I、Ⅱ位置的距離為D1。下面利用二次成像推導(dǎo)的虛光源間距離l的計(jì)算公式。

圖3 二次成像光路圖

當(dāng)透鏡處于Ⅰ位置成像時(shí)，有:

根據(jù)空氣中的高斯公式得:

當(dāng)透鏡處于位置Ⅱ成像時(shí)，有u2=D-v2，根據(jù)空氣中的高斯公式可得二次成像時(shí)的焦距:

同一透鏡焦距f相同，由式(5)、(6)可得

對(duì)于虛光源s1，結(jié)合式(7)，有

對(duì)于虛光源s2，有:

由式(8)、(9)兩式相乘可得:

下面利用以上結(jié)論推導(dǎo)D確切計(jì)算公式

由式(8)、(9)兩式相除可得:

結(jié)合式(7)(10)可得

由此可見，采用二次成像法，只要測出 l1，l2，D1，便能較為準(zhǔn)確地求出l和D。

3.2 逐差法計(jì)算σx

條紋間距為等間距，實(shí)驗(yàn)中都能調(diào)出15個(gè)左右的條紋間距。為了克服連續(xù)多個(gè)條紋間距容易數(shù)錯(cuò)的問題，我們可以采用逐差法計(jì)算以減小誤差。具體做法是:克服回程差后，向著同一個(gè)方向每2個(gè)條紋讀一次其位置坐標(biāo)，連續(xù)讀出6組數(shù)據(jù)，記為k1，k2，k3，…，k6。用逐差法計(jì)算:

4 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)例對(duì)比分析

當(dāng)調(diào)試好滿足條件的干涉條紋后，固定狹縫、雙棱鏡、測微目鏡的位置分別分別為133.00、122.30、32.63 cm。二次成像的透鏡位置分別為76.25、47.78 cm。虛光源間距離l以及條紋間距σx的測量數(shù)據(jù)分別如表1、表2、表3。

表1 二次成像法測量數(shù)據(jù) mm

顯然，根據(jù)改進(jìn)前的計(jì)算方法，由表1、表2可得:

表3 逐差法測量條紋間距σx mm

根據(jù)改進(jìn)后的推導(dǎo)公式及二次成像法，由表1、表3可得:

根據(jù)改進(jìn)后的公式和方法多次進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)誤差均較改進(jìn)前小，并且改進(jìn)后誤差基本能控制在1%以內(nèi)。由此可見，該方法對(duì)減小誤差有一定的參考意義。

5 結(jié)論

(1)采用二次成像法，可直接用讀數(shù)顯微鏡較準(zhǔn)確地測量l1、l2，根據(jù)公式計(jì)算兩虛光源間距離l，從而可提高l的精確度。

(3)多次讀數(shù)，用逐差法計(jì)算σx，可有效降低讀數(shù)誤差。

將以上理論分析應(yīng)用到實(shí)驗(yàn)當(dāng)中，測出l、D和σx，代入原理公式計(jì)算出光波的波長。經(jīng)多次測量，相對(duì)誤差均可以控制在1%以內(nèi)。

實(shí)驗(yàn)中，在二次成像法成放大像時(shí)測量像距，遇到了困難，像找不到。分析發(fā)現(xiàn)其原因，D大于4f雖然都能二次成像，但當(dāng)D過大，會(huì)導(dǎo)致成放大像時(shí)兩虛光源成像的距離l2過大，超出了讀數(shù)顯微鏡的范圍，不便測量。D過小，兩次成像的透鏡距離過小，不便測量，且增大了D1的誤差。經(jīng)過反復(fù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，D只略大于4f就行了。當(dāng)透鏡焦距等于190 mm時(shí)，狹縫和顯微鏡的距離為100～110 cm時(shí)效果較好，不會(huì)出現(xiàn)上述問題。

［1］葛松華，唐亞明.菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中虛光源位置的討論［J］.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011(2):56－57.

［2］唐海燕.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2010:192－196.

［3］洪麗.菲涅耳雙棱鏡干涉實(shí)驗(yàn)中凸透鏡的成像［J］.海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007(1):48－49.