張凱　桑芝芳　高雷

法國物理學家德布羅意受光的波粒二象性理論的啟發(fā)，在1924年提出物質波假說，即實物粒子也具有波粒二象性：一個質量為m的微觀粒子，以速度v做勻速運動，一方面可以用能量E和動量p來描述其粒子性，另一方面又可以用頻率ν和波長λ描述其波動性.其能量E和動量p與頻率v和波長λ之間的關系為

E=hν（1）

p=h/λ（2）

學生在學習過程（甚至一些教輔資料）中常常出現(xiàn)以下問題：

（1）往往把粒子的運動速度v和德布羅意波的波長和頻率聯(lián)系起來，得到λ=v1ν；

（2）直接將光的波粒二象性規(guī)律遷移到德布羅意波關系式中，得到E=hν=hc1λ.

這里涉及到微觀粒子的運動速度，波傳播的相速度和群速度，這些問題學生容易混淆，本文將對物質波的相速度、群速度以及它們與粒子運動速度之間的關系進行討論，以便學生能更好地理解物質波的內(nèi)涵.

1相速度

相速度是波在傳播過程中相同相點的移動速度，即對于一個以頻率為ν和波長λ運動的平面波的運動方程為

ψ（x，t）=Acos（2πνt-kx），

其中k=2π/λ為波數(shù).相同相點位于同一等相面上，等相面的表達式為：

2πνt-kx=const，

兩邊對t求導得vp=dx1dt=λν（3）

根據(jù)德布羅意關系可得

vp=λν=E/p（4）

（3）、（4）式為相速度vp的表達式，即將物質波的頻率ν和波長λ聯(lián)系起來的是相速度.根據(jù)（4）式，結合E=mc2，p=mv可得它和粒子運動速度v之間的關系為

vp=E1p=c21v（5）

可見物質波的相速度是可以大于光速的，它并不是粒子的運動速度，也不是光速.若對于光子v=c，則有vp=c，故光波相速度為c.

2群速度

事實上，在討論微觀粒子的波粒二象性時，既不是經(jīng)典物理意義下的粒子，也不是經(jīng)典物理意義下的波，它既不是代表介質運動的傳遞過程，也不是代表經(jīng)典的場量，而是一種比較抽象的幾率幅波.在量子力學中，不可能任意精確地同時測量微觀粒子的坐標和相應的動量.如果粒子x坐標的不確定范圍是Δx，粒子相應動量分量的不確定范圍是Δpx.那么，根據(jù)不確定關系，有

ΔxΔpx≥h12π.

因此，與粒子相聯(lián)系的波不可能是在空間上無限擴展的單色平面波，而應該是有限擴展的波包.波包越小，粒子的位置就越準確，而動量的不確定范圍就越大；反之，若波包越大，粒子的位置不確定范圍就越大，而動量的不確定范圍就越小.可以證明，波包是由很多頻率相接近的單色平面波疊加而成的.現(xiàn)考慮兩列振幅A相同，角頻率相差小量Δω，波數(shù)相差小量Δk的正弦波疊加的情形，它們疊加后形成周期性波包，波包（包絡）的傳播速度就是群速度.兩列波的波函數(shù)分別為

ψ1（x，t）=Asin（ωt-kx），

ψ2（x，t）=Asin[（ω+Δω）t-（k+Δk）x]，

進行疊加后得

ψ（x，t）=Asin[（ω+Δω12）t-（k+Δk12）x]cos（Δωt-Δkx）（6）

其中，正弦部分的相位與原來相近，稱為載波；余弦部分稱為調制波，它的傳播速度就是群速度，要計算某個狀態(tài)下的群速度，需滿足在時間變化Δt，位移變化Δx時相位保持不變，即Δωt-Δkx=const，兩邊對t求導即可得

vg=dω1dk=dE1dp.

此即群速度的表達式.

根據(jù)E2=（pc）2+E20，其中E0為靜能量，兩邊求導得

vg=dE1dp=pc21E=mvc21mc2=v（8）

可以看出整個波包移動的群速度等于粒子運動速度.若對于光子v=c，則有vg=c，故光波群速度也為c.

3結論

綜上所述，與自由運動粒子相聯(lián)系的德布羅意波以波包的形式和粒子運動速度相等的群速度前行.而波包則是由一系列頻率相近的單色平面波疊加而成，單色平面波的運動速度表現(xiàn)為相速度，相速度可以大于光速.對于光子v=c，則有vp=vg=c，即對于光波恒有λv=c，無論頻率值多大，相速度c為常數(shù)，各種頻率不同的波疊加，其波包前行的速度（傳遞速度）當然為c.因此，對于靜質量不為零的微觀粒子的德布羅意關系（1）和（2）式雖然和光子的波粒二象性公式形式上相同，但在波長和頻率的聯(lián)系方式上有重要差別.

【基金項目：江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃2013年度課題（D/2013/01/105），中國教育學會物理教學專業(yè)委員會2013-2016年全國物理教育科研重點課題和蘇州大學大學生課外學術項目的研究成果之一.】