陳 柘， 陳 海

（1.長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064；2.西安交通大學(xué) 軟件學(xué)院，陜西 西安 710049）

基于稀疏表達(dá)的圖像去噪方法研究

陳 柘1， 陳 海2

（1.長安大學(xué) 信息工程學(xué)院，陜西 西安 710064；2.西安交通大學(xué) 軟件學(xué)院，陜西 西安 710049）

提出一種基于混合字典的圖像稀疏分解去噪方法。使用小波包函數(shù)和離散余弦函數(shù)構(gòu)成混合字典，采用匹配追蹤算法對圖像進(jìn)行稀疏分解，提取含噪圖像中的稀疏成分，最后利用稀疏成分進(jìn)行圖像重構(gòu)，達(dá)到去除圖像中噪聲的目的。實(shí)驗(yàn)中與單一字典稀疏分解去噪算法進(jìn)行了對比，結(jié)果表明，所提出的混合字典稀疏去噪算法可有效提取圖像中的稀疏結(jié)構(gòu)，改善重構(gòu)圖像的主客觀質(zhì)量。

圖像去噪；稀疏表達(dá)；混合字典；匹配追蹤

人類大腦視覺皮層神經(jīng)元在響應(yīng)自然圖像信號時(shí)，只有個(gè)別神經(jīng)元處于活躍狀態(tài)，大部分神經(jīng)元沒有響應(yīng)。這一特點(diǎn)啟發(fā)人們提出了圖像的稀疏表示方法[1-2]，即用一組基函數(shù)來模擬人類大腦視覺皮層的神經(jīng)元。該方法類似于傅里葉分析和小波分析，圖像被表示為基函數(shù)的線性組合，但有所不同的是，圖像在這組基函數(shù)上的展開系數(shù)大部分為零，只有少部分為非零系數(shù)。這里，基函數(shù)被稱為原子，原子的集合稱為字典。為了實(shí)現(xiàn)稀疏表示，用于表達(dá)圖像的字典通常是超完備的。

稀疏分解能夠?qū)⑿盘柕哪芰考性谏贁?shù)系數(shù)上，這不僅有利于信號的壓縮、編碼，同樣也適用于從圖像中去除噪聲。其原因在于：由于圖像信號中存在的自相似性，理想非含噪信號可以稀疏表示，而噪聲由于不具有結(jié)構(gòu)性，無法稀疏表示。所以，對含噪圖像而言，若將其進(jìn)行稀疏分解，那么稀疏成分將對應(yīng)于理想信號，含噪圖像與稀疏成分的殘差則對應(yīng)于噪聲[3]。利用這個(gè)特點(diǎn)，通過稀疏分解提取含噪圖像中的稀疏成分，而后利用稀疏成分重構(gòu)圖像，就可以達(dá)到去除噪聲的目的。

目前，在基于稀疏表達(dá)的圖像去噪方法研究中，焦點(diǎn)集中在字典設(shè)計(jì)和稀疏重構(gòu)算法上。字典中基的選擇一般可通過三種途徑實(shí)現(xiàn)：正交基，如傅立葉基、小波基；緊框架，如各種多尺度幾何分析方法；冗余字典，如Gabor多成分字典等。典型的稀疏重構(gòu)算法有基于范數(shù)最小化的貪婪算法，如匹配追蹤[4]、正交匹配追蹤[5]等；基于范數(shù)最小化的線性規(guī)劃算法，如基追蹤法[6]、梯度投影稀疏重構(gòu)[7]等；以及統(tǒng)計(jì)優(yōu)化重構(gòu)算法，如 Bayes 重構(gòu)[8]。

本文討論了稀疏表達(dá)去噪的一般原理，針對一般單一字典稀疏表達(dá)的局限性，提出一種基于混合字典的稀疏去噪方法。使用小波包函數(shù)和離散余弦函數(shù)構(gòu)造超完備字典，采用匹配追蹤算法提取圖像中的稀疏結(jié)構(gòu)，最后利用提取的稀疏結(jié)構(gòu)重構(gòu)圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，提出的稀疏去噪算法可有效提取圖像中的稀疏結(jié)構(gòu)，改善重構(gòu)圖像的主客觀質(zhì)量。

1 稀疏表達(dá)圖像去噪一般框架

與完備正交基信號分解不同，稀疏表達(dá)借用超完備冗余基來建立信號的表達(dá)。稀疏表達(dá)是將信號在冗余基上線性展開，并在字典中選擇能夠最稀疏地表達(dá)信號的原子組合。對于加性高斯白噪聲模型

y，x，v∈RN×1，y 為觀測向量，x 代表信號，v～N（0，σ）為零均值高斯白噪聲。構(gòu)造超完備冗余字典D∈RN×K，其中K＞N，表明D中的基向量是超完備冗余的。對于觀測信號y，可以用字典D中原子的線性組合近似表示，即

α表示系數(shù)，dk是超完備字典D中的一個(gè)原子。這里，表達(dá)的稀疏性要求＾在最接近于y時(shí)，系數(shù)矩陣α是最稀疏的。即，需要求得α的一個(gè)稀疏解，使＾與y之間的誤差最小，如式（3）所示。

是范數(shù)，表示向量或矩陣中非零元素的個(gè)數(shù)，為誤差因子。如果將約束項(xiàng)轉(zhuǎn)化為懲罰項(xiàng)，式（3）可進(jìn)一步表示為

式中，μ稱為懲罰因子。

去噪過程包括以下兩個(gè)步驟，首先求得信號的稀疏分解，再使用分解系數(shù)重構(gòu)圖像，該過程可用如下兩式表示：

式（5）表示求解y所對應(yīng)的稀疏解，即提取y中的稀疏成分；式（6）利用獲得的稀疏成分重構(gòu)圖像，得到去噪后的圖像。

為提高運(yùn)算速度，通常將圖像分塊處理。即首先將圖像劃分為若干大小為的子塊，而后對每一子塊分別進(jìn)行稀疏分解和重構(gòu)，最后將重構(gòu)后的子塊拼接構(gòu)成整幅重構(gòu)圖像。這時(shí)的優(yōu)化問題可表述如下[9]：

這里I和Inoisy分別表示原始無噪圖像和被噪聲污染后的圖像，Ri，j為子圖提取算子，表示從圖像中提取第ij張子圖。式中第一項(xiàng)衡量含噪圖像與原始圖像的總體相似度，第二項(xiàng)是稀疏性約束，第三項(xiàng)表示重構(gòu)子圖與原始圖像中相對應(yīng)的子圖間的誤差。

當(dāng)給定字典D，可首先對每張子圖進(jìn)行稀疏分解，得到[9]

當(dāng)求得所有子圖的稀疏表示后，式（7）所表示的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為[9]

2 基于混合字典的稀疏表達(dá)圖像去噪

目前，在圖像稀疏表達(dá)中多使用單一信號分解方法構(gòu)造超完備冗余字典。但由于單一字典表達(dá)的局限性，不利于充分提取圖像中的稀疏結(jié)構(gòu)。為克服這一缺點(diǎn)，本文使用多重信號表達(dá)構(gòu)造超完備字典，采用匹配追蹤算法對圖像進(jìn)行稀疏分解，經(jīng)重構(gòu)后獲得去噪后的圖像。

2.1 字典構(gòu)造

由于單一信號表達(dá)方法的局限性，本文嘗試使用多重信號表達(dá)方法構(gòu)造超完備冗余字典?；谛〔ㄗ儞Q良好的時(shí)頻特性和離散余弦函數(shù)對紋理特征表達(dá)的有效性，本文將兩種表達(dá)方法做了組合，共同構(gòu)成超完備字典。

離散余弦字典可由下述方法構(gòu)成：

這里，φk（n）表示第k個(gè)原子，N為信號序列的長度。

小波包字典中的原子由尺度、平移和頻率3個(gè)參數(shù)確定，通常由一組尺度函數(shù)和小波函數(shù)經(jīng)變換而成。處于不同尺度的函數(shù)可由二尺度方程確定，即

h1和h2為一組共軛對稱濾波器。本文選取Daubechies最小非對稱小波包函數(shù)作為基函數(shù)，該函數(shù)具有近似對稱性和正交性，如圖1所示。

圖1 Daubechies最小非對稱小波包函數(shù)Fig.1 Daubechies least asymmetric wavelet packet function

2.2 稀疏分解

匹配追蹤算法是稀疏分解的典型算法，具有計(jì)算簡捷的特點(diǎn)。其基本思想是通過多次迭代從字典中獲取與殘差信號最匹配的原子組合，當(dāng)逼近誤差達(dá)到一定范圍或經(jīng)過指定迭代次數(shù)后算法結(jié)束。

匹配追蹤算法遵循以下步驟：

步驟 1.初始化。 假設(shè)有字典 D={φγ}γ∈Γ，Γ 為指標(biāo)集。 對于信號f，做初始分解得

這里，Rf表示對f的逼近殘差。

步驟2.迭代運(yùn)算。為使‖Rf‖最小化，每次迭代都從字典D中選取使得‖Rf‖最小的原子φγi，i表示迭代次數(shù)。經(jīng)N次迭代后，可獲得f的第N次逼近

令R0f=f，Rif表示第i次迭代后的逼近殘差。

步驟3.停止規(guī)則。當(dāng)殘差能量小于給定數(shù)值時(shí)，迭代結(jié)束。否則，繼續(xù)步驟2。

文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)證明，當(dāng)?shù)螖?shù)趨于無窮時(shí)，逼近殘差接近于零。實(shí)際使用中，可通過指定最小逼近誤差或者最大迭代次數(shù)來使迭代終止。

2.3 稀疏重構(gòu)

稀疏重構(gòu)是指，使用求得的最稀疏解，按照式（6）求解原始信號的估計(jì)值。

3 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

圖2 稀疏分解去噪算法性能對比Fig.2 Performance comparison of different sparse decomposition image denoising

為驗(yàn)證算法的有效性，選取一組標(biāo)準(zhǔn)測試自然圖像，通過加入均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為的高斯白噪聲，使用本文的稀疏分解去噪算法進(jìn)行去噪處理，并與使用單一離散余弦表達(dá)的字典稀疏分解算法做對比，結(jié)果如圖2所示。實(shí)驗(yàn)中，首先將圖像分塊，分塊大小為，而后對每個(gè)分塊進(jìn)行矢量化，即將每一小塊圖像轉(zhuǎn)化為一維矢量，之后按第2節(jié)所述方法做稀疏分解和重構(gòu)，最后將重構(gòu)后的分塊圖像進(jìn)行拼接處理。本文取為，為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差。圖2（a）為原始的Barbara圖像，圖2（b）是加入高斯白噪聲后的圖像，這里，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差取為20。圖2（c）為單一DCT表達(dá)字典去噪結(jié)果，圖2（d）為本文方法的去噪結(jié)果。為便于觀測對比，將圖2（c）和（d）的做了局部放大，分別顯示在圖2（e）和（f）中。經(jīng)過主觀對比發(fā)現(xiàn)，本文的去噪算法能更好地去除圖像中的噪聲，并保留圖像中的紋理等細(xì)節(jié)成分。

除主觀評價(jià)外，為客觀分析重構(gòu)圖像質(zhì)量，選用峰值信噪比作為圖像重構(gòu)質(zhì)量指標(biāo)，PSNR=10lg（2552/MSE），這里，MSE表示原始圖像和稀疏重構(gòu)后圖像的均方誤差。計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，單一DCT字典稀疏分解去噪的PSNR為27.2，本文的PSNR達(dá)到28.3，同樣說明本文方法可進(jìn)一步提高重構(gòu)圖像的質(zhì)量。

4 結(jié)束語

本文組合使用離散余弦變換和小波包變換構(gòu)成超完備冗余字典，在同樣使用匹配追蹤算法進(jìn)行稀疏分解時(shí)，可進(jìn)一步降低信號的逼近殘差。原因在于，多重表達(dá)方法可有效彌補(bǔ)單一表達(dá)的局限性，可更好地提取圖像中的稀疏結(jié)構(gòu)，從而提高重構(gòu)圖像質(zhì)量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明了本文方法的可行性和有效性。如何提高組合表達(dá)的性能，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化組合，將是本文后續(xù)的研究目標(biāo)。

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Research on image denoising based on sparse representation

CHEN Zhe1，CHEN Hai2
（1.School of Information Engineering， Chang'an University， Xi’an 710064， China；2.School of Software， Xi'an Jiaotong University， Xi’an 710049， China）

A sparse representation image denoising method based on mixed overcomplete dictionary is proposed.Firstly，overcomplete dictionary is composed by mixing wavelet packet and discrete cosine function.And then matching pursuit algorithm is used to decompose image and extract sparse components.Finally，image is reconstructed using these sparse components.By doing so， the noise in the image is reduced.In the experiment， the proposed algorithm is compared with the common used unitary dictionary sparse representation method，and the results show that the proposed method can effectively extract sparse component of the image and improve the subjective and objective image quality.

image denoising； sparse representation； mixed dictionary； matching pursuit

TP319

A

1674-6236（2014）02-0168-03

2013-06-03 稿件編號：201306010

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資助項(xiàng)目（CHD2010JC027）

陳 柘（1969—），男，陜西西安人，博士。研究方向：圖像處理、模式識(shí)別。