王家航，侯曉春，王曉冬，王 磊，董文秀，李 磊

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京） 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院非常規(guī)天然氣能源地質(zhì)評(píng)價(jià)與開發(fā)工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083）

河道型低滲透儲(chǔ)層有限導(dǎo)流垂直裂縫井動(dòng)態(tài)特征

王家航1，侯曉春1，王曉冬1，王 磊1，董文秀2，李 磊1

（1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京） 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院非常規(guī)天然氣能源地質(zhì)評(píng)價(jià)與開發(fā)工程北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083）

低滲透儲(chǔ)層內(nèi)考慮啟動(dòng)壓力梯度的流體滲流過程中，動(dòng)邊界的傳播規(guī)律反映儲(chǔ)層的動(dòng)用范圍，并影響井底壓力動(dòng)態(tài).建立河道型低滲儲(chǔ)層考慮啟動(dòng)壓力梯度和存在動(dòng)邊界的有限導(dǎo)流垂直裂縫井雙線性流滲流數(shù)學(xué)模型，通過Laplace變換，得到動(dòng)邊界傳播方程和地層流體壓力分布方程；在Laplace變換域中，運(yùn)用牛頓迭代和Stehfest數(shù)值反演方法計(jì)算獲得井底壓力分布特征、動(dòng)邊界傳播規(guī)律及產(chǎn)能動(dòng)態(tài)曲線.結(jié)果表明：?jiǎn)?dòng)壓力梯度越大，動(dòng)邊界傳播越慢、壓力損失越大、井產(chǎn)量下降越快；定產(chǎn)條件下，裂縫導(dǎo)流能力越大，壓力損失越小；裂縫導(dǎo)流能力對(duì)動(dòng)邊界傳播影響較小；定壓條件下，動(dòng)邊界存在最大值.由壓力分布特征和動(dòng)邊界范圍確定單井最大動(dòng)用面積，對(duì)實(shí)際生產(chǎn)具有指導(dǎo)意義.

啟動(dòng)壓力梯度；動(dòng)邊界；有限導(dǎo)流垂直裂縫；雙線性流動(dòng)；壓力分析

0 引言

通過對(duì)低滲透儲(chǔ)層中油氣井進(jìn)行壓裂而形成垂直裂縫，可改變近井地層流體滲流方式，提高地層能量的利用率和動(dòng)用面積[1].低滲透儲(chǔ)層滲流規(guī)律特殊，通常需要考慮啟動(dòng)壓力梯度和動(dòng)邊界傳播等非線性滲流問題，分析求解比較復(fù)雜.

在低滲透儲(chǔ)層中，對(duì)考慮啟動(dòng)壓力梯度的不穩(wěn)定滲流問題的分析和求解非常復(fù)雜.Prats M[2-3]、劉慈群[4-6]、鄧英爾[7-8]等將裂縫抽象為一個(gè)細(xì)長(zhǎng)橢圓，并采用橢圓坐標(biāo)建立不穩(wěn)態(tài)滲流數(shù)學(xué)模型.橢圓坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型的精確求解采用Mathieu方程和周期Mathieu函數(shù)，計(jì)算過程繁瑣，不易完成；考慮啟動(dòng)壓力梯度，進(jìn)一步增加控制方程組的非線性，劉慈群等[4-6]利用影響橢圓近似求解該問題取得較好效果.對(duì)于有限導(dǎo)流垂直裂縫井的不穩(wěn)態(tài)滲流分析，采用雙線性流動(dòng)[9]或三線性流動(dòng)模型[10]，可避免求解地層流動(dòng)和裂縫流動(dòng)的耦合積分方程而得到近似解.模型對(duì)于泄流面積較大、幾何形狀較為規(guī)則的儲(chǔ)層，近似解能夠以解析形式給出早期線性流動(dòng)情況，不能給出中期徑向流動(dòng)情況.考慮一種河道型低滲透儲(chǔ)層，該儲(chǔ)層—水力裂縫系統(tǒng)可由雙線性流動(dòng)模型模擬.通過改進(jìn)無量綱壓力定義[11]，解析求解一維不定常滲流控制方程組，得到動(dòng)邊界運(yùn)動(dòng)方程、壓力分布和產(chǎn)能公式，進(jìn)而獲得有限導(dǎo)流垂直裂縫井動(dòng)邊界傳播規(guī)律，指導(dǎo)油田實(shí)際生產(chǎn).

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型

在河道型均質(zhì)各向同性儲(chǔ)層中心，有一口帶有垂直裂縫的生產(chǎn)井，裂縫垂向貫穿儲(chǔ)層（見圖1），儲(chǔ)層厚度為h，裂縫寬度為w，裂縫半長(zhǎng)為yf，儲(chǔ)層長(zhǎng)度為x.當(dāng)裂縫井以常流量產(chǎn)出微可壓縮流體時(shí)，忽略重力和毛管力影響，流體流動(dòng)形式為低速非達(dá)西滲流.由于儲(chǔ)層狹長(zhǎng)、裂縫穿透長(zhǎng)度較大，在滲流過程中垂直于裂縫壁面方向上的線性流動(dòng)占主導(dǎo)地位，可采用雙線性復(fù)合流動(dòng)模型進(jìn)行模擬.

圖1 垂直裂縫井剖面Fig.1 Corss-section of a vertical fractured well

1.2 初始條件

對(duì)于定井底流量和定流壓生產(chǎn)，分別定義無量綱井底壓力pD為

式中：K為儲(chǔ)層滲透率；q為井產(chǎn)量；μ為流體黏度；B為流體體積系數(shù)；p為地層壓力；pi為原始地層壓力；pwf為井底流壓；φ為儲(chǔ)層孔隙度；ct為流體壓縮系數(shù)；xm為壓力擾動(dòng)外邊界；λ為啟動(dòng)壓力梯度；xD為無量綱x方向距離，xD=x/yf；λD為無量綱啟動(dòng)壓力梯度.

定義無量綱時(shí)間tD、無量綱動(dòng)邊界位置xmD、無量綱裂縫寬度wfD和無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD為

式中，t為延續(xù)生產(chǎn)時(shí)間；wf為裂縫寬度.

1.2.1 地層低速非達(dá)西滲流

設(shè)井位于矩形中心，且井點(diǎn)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，考慮對(duì)稱性，地層線性流動(dòng)控制方程為

初始條件為

式中：yD為無量綱y方向距離.

動(dòng)邊界條件為

內(nèi)邊界條件為

式中：pfD為無量綱裂縫井底壓力.式（1）-（6）構(gòu)成帶有動(dòng)邊界的地層一維滲流控制方程組.

1.2.2 裂縫線性流動(dòng)

裂縫線性流動(dòng)控制方程為

對(duì)于定井底流量和流壓生產(chǎn)，內(nèi)邊界方程分別為

裂縫中的流量分布qfD為

式（7）-（9）構(gòu)成裂縫滲流的控制方程組，它需要與地層滲流方程組耦合求解.

2 模型求解

首先，通過Laplace變換求解地層流體流動(dòng)模型，得到地層流體的壓力分布為

地層條件下的壓力傳播的動(dòng)邊界方程為

式（8）兩邊對(duì)xD求偏導(dǎo)，得：

然后，對(duì)式（7）-（9）做Laplace變換，并將式（12）代入式（7），得到拉氏空間的控制方程組：

井底定流量和定流壓時(shí)的內(nèi)邊界條件為

將式（14）帶入式（13），得到：

（1）井底定流量生產(chǎn)時(shí)的井底壓力及動(dòng)邊界方程為

（2）井底定流壓生產(chǎn)時(shí)的地層壓力、井底產(chǎn)量及動(dòng)邊界方程為

3 動(dòng)態(tài)特征影響因素

分析井底壓力動(dòng)態(tài)特征和井產(chǎn)量遞減特征時(shí)需求解動(dòng)邊界方程.因?yàn)閮?chǔ)層存在裂縫，計(jì)算時(shí)需考慮裂縫導(dǎo)流能力對(duì)井底壓力及井產(chǎn)量的影響.

設(shè)一口有限導(dǎo)流垂直裂縫井，模擬基本參數(shù)：B=1.0 m3/m3；μ=1.0 mPa·s；K=3.0×10-3μm2；h=10.0 m；w=5.0 m；φ=0.2；cf=0.005 MPa-1.當(dāng)無量綱啟動(dòng)壓力梯度λD=5，無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD=200時(shí)，由式（19）可得在井底定壓生產(chǎn)條件下，裂縫不同位置處動(dòng)外邊界隨時(shí)間的傳播規(guī)律（見圖2）.

圖2 定壓條件下動(dòng)邊界傳播規(guī)律Fig.2 The propagation of moving boundary in the condition of constant pressure

由圖2可見，當(dāng)無量綱時(shí)間tD分別為10-6、10-5、10-4、10-3、10-2、10-1和102時(shí)，在定井底流壓生產(chǎn)情況下，在生產(chǎn)初期，裂縫中點(diǎn)和邊緣處的動(dòng)邊界傳播速度不同，裂縫中點(diǎn)處動(dòng)邊界傳播速度最快，邊緣處相對(duì)較慢；隨著時(shí)間的延續(xù)，動(dòng)邊界不斷擴(kuò)展，整體呈坡錐的曲線形狀，直到達(dá)到最大動(dòng)邊界面后停止傳播.

3.1 定產(chǎn)條件

3.1.1 無量綱啟動(dòng)壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力對(duì)動(dòng)邊界的影響

固定井底產(chǎn)量條件下，無量綱啟動(dòng)壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力對(duì)動(dòng)邊界傳播的影響見圖3.由圖3（a）可見，當(dāng)無量綱導(dǎo)流能力cfD為10π、無量綱啟動(dòng)壓力梯度λD分別為0.100、1.000和5.000時(shí)，無量綱動(dòng)邊界xmD在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下呈良好的線性關(guān)系，且無量綱啟動(dòng)壓力梯度λD越大，相同時(shí)刻動(dòng)邊界傳播距離越短，傳播速度越慢；由圖3（b）可見，當(dāng)無量綱啟動(dòng)壓力梯度λD為0.010、無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD分別為π、10π和50π時(shí)，無量綱裂縫導(dǎo)流能力僅在生產(chǎn)初始階段對(duì)動(dòng)邊界的傳播有較小影響，隨著時(shí)間延長(zhǎng)，影響很快消失，且影響很小可被忽略，因此，裂縫可被視為均勻流量裂縫.

圖3 固定產(chǎn)量條件下無量綱啟動(dòng)壓力和裂縫導(dǎo)流能力對(duì)動(dòng)邊界的影響Fig.3 The effect of TPG and fracture conductivity to the dimensionless moving boundary propagation under the condition of constant production

3.1.2 無量綱啟動(dòng)壓力梯度和無量綱裂縫導(dǎo)流能力對(duì)井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)的影響

固定井底產(chǎn)量條件下，無量綱啟動(dòng)壓力梯度和無量綱裂縫導(dǎo)流能力對(duì)井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)的影響見圖4.圖4井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)與時(shí)間雙對(duì)數(shù)曲線中，實(shí)線為壓力時(shí)間關(guān)系，虛線為壓力導(dǎo)數(shù)時(shí)間關(guān)系.圖中可見，同一時(shí)刻下，當(dāng)無量綱導(dǎo)流能力cfD為10π時(shí)，無量綱啟動(dòng)壓力梯度λD越大，無量綱壓力pD越大，表明無量綱啟動(dòng)壓力梯度引起附加壓力損失（見圖4（a））.當(dāng)無量綱啟動(dòng)壓力梯度λD為0.010時(shí)，早期反映斜率為1/4的裂縫與地層間的雙線性流特征；隨著流體流動(dòng)時(shí)間延長(zhǎng)，曲線反映斜率為1/2的地層線性流特征；無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD越大，無因次壓力/壓力導(dǎo)數(shù)越小，表明早期壓力消耗越小，壓力變化緩慢（見圖4（b））.

圖4 固定產(chǎn)條件下無量綱啟動(dòng)壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力對(duì)井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)的影響Fig.4 The effect of TPG and fracture conductivity to the dimensionless pressure/pressure derivative under the condition of constant production

3.2 定壓條件

3.2.1 無量綱啟動(dòng)壓力梯度對(duì)無量綱動(dòng)邊界的影響

當(dāng)無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD為30時(shí)，定壓條件下無量綱啟動(dòng)壓力梯度對(duì)動(dòng)邊界的影響見圖5.由圖5可見，當(dāng)無量綱啟動(dòng)壓力梯度分別為0.100、1.000和5.000時(shí)，隨著無量綱啟動(dòng)壓力的增大，無量綱動(dòng)邊界傳播距離減小.此外，隨著生產(chǎn)時(shí)間的延長(zhǎng)，無量綱動(dòng)邊界傳播距離逐漸增大，壓力擾動(dòng)范圍增大，傳播速度減慢.時(shí)間很大時(shí)，對(duì)式（19）化簡(jiǎn)近似可得：當(dāng)無量綱動(dòng)邊界與無量綱啟動(dòng)壓力梯度滿足xmD=1.0/λD時(shí)動(dòng)邊界停止傳播，單井最大動(dòng)用面積為A=yf（pi-pwf）/λ.

3.2.2 無量綱啟動(dòng)壓力梯度對(duì)產(chǎn)能的影響

當(dāng)無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD為30時(shí)，定壓條件下無量綱啟動(dòng)壓力梯度對(duì)產(chǎn)量的影響見圖6.由圖6可見，井產(chǎn)量隨生產(chǎn)時(shí)間延長(zhǎng)而下降.當(dāng)無量綱啟動(dòng)壓力梯度分別為0、0.001、0.100、1.000和5.000時(shí)，在生產(chǎn)初期，產(chǎn)量下降幅度較小，雙對(duì)數(shù)曲線反映斜率為-1/2特征；隨著生產(chǎn)時(shí)間延長(zhǎng)，相同時(shí)刻無量綱啟動(dòng)壓力梯度越大，產(chǎn)量下降幅度越大.

圖5 定壓條件下無量綱啟動(dòng)壓力梯度對(duì)無量綱動(dòng)邊界的影響Fig.5 The effect of TPG to the moving boundary under

圖6 定壓條件下無量綱啟動(dòng)壓力梯度對(duì)井產(chǎn)量的影響Fig.6 The effect of TPG to the well production under the condition of constant pressure the condition of constant pressure

3.2.3 不同時(shí)間和啟動(dòng)壓力梯度下的井底壓力剖面

將式（17）量綱化，分別得到低滲透地層垂直裂縫井定井底流壓條件下，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力為4.5×10-3μm2·m時(shí)，不同時(shí)間和啟動(dòng)壓力梯度的壓力剖面（見圖7），圖7（a）中實(shí)線表示啟動(dòng)壓力梯度λ為0.020 0 MPa/m，虛線表示啟動(dòng)壓力梯度為0 MPa/m.由圖7可見，隨著生產(chǎn)時(shí)間的增加，壓力波及范圍不斷擴(kuò)大；低滲透地層中流體受啟動(dòng)壓力梯度影響，其壓力曲線與未受啟動(dòng)壓力梯度影響的地層流體壓力曲線相交，且啟動(dòng)壓力梯度阻礙壓力傳播（見圖7（a））；啟動(dòng)壓力梯度越大，壓力傳播速度越慢，壓力波及距離越小，壓降漏斗越陡（見圖7（b））.

圖7 定壓條件下不同時(shí)間和啟動(dòng)壓力梯度時(shí)的壓力剖面Fig.7 The pressure cross-section of different time and TPG under the condition of constant pressure

4 實(shí)例分析

以文中推導(dǎo)的考慮啟動(dòng)壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力的雙線性滲流時(shí)間—壓力關(guān)系解析方程（見式15）為基礎(chǔ)，繪制有限導(dǎo)流垂直裂縫井雙對(duì)數(shù)曲線，以曲線作為解釋圖版，利用實(shí)際測(cè)試資料擬合方法，獲得垂直裂縫井所在特低、低滲透儲(chǔ)層的滲透率、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫半長(zhǎng)及啟動(dòng)壓力梯度等參數(shù).

以現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際生產(chǎn)井A井為例，對(duì)A井的特低滲透層F110層進(jìn)行壓裂后壓力恢復(fù)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試資料繪制的壓力恢復(fù)雙對(duì)數(shù)曲線具有明顯的裂縫特征（見圖8）.

利用基于文中推導(dǎo)繪制曲線圖版，結(jié)合該井和油藏的基本參數(shù)對(duì)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)壓力恢復(fù)曲線進(jìn)行解釋，得到A井生產(chǎn)儲(chǔ)層參數(shù)：滲透率為3.086×10-3μm2，裂縫導(dǎo)流能力為1.538μm2·m，裂縫半長(zhǎng)為210 m，啟動(dòng)壓力梯度為0.020 3 MPa/m.由圖8可見，曲線擬合效果良好，該井取得較好壓裂效果.

圖8 A井雙對(duì)數(shù)擬合曲線Fig.8 Double logarithmic curves of well A

5 結(jié)論

（1）利用雙線性流模型建立考慮啟動(dòng)壓力梯度影響的低滲透無限大油藏滲流模型，分別得到井底定產(chǎn)量及定流壓條件下不同啟動(dòng)壓力梯度、導(dǎo)流能力的動(dòng)邊界傳播規(guī)律，以及井底壓力、儲(chǔ)層壓力分布剖面和井底產(chǎn)量圖.

（2）對(duì)于動(dòng)邊界傳播，啟動(dòng)壓力梯度越大，動(dòng)邊界傳播越慢.對(duì)于固定井底產(chǎn)量條件，裂縫導(dǎo)流能力僅在初始階段對(duì)動(dòng)邊界的傳播有較小影響，裂縫導(dǎo)流能力越大，壓力損耗越小；隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，裂縫導(dǎo)流能力對(duì)動(dòng)邊界傳播的影響小，可忽略不計(jì)，裂縫在計(jì)算時(shí)可視為均勻流量裂縫.

（3）對(duì)于固定井底流壓條件，動(dòng)邊界隨著時(shí)間的延長(zhǎng)向外傳播，裂縫中點(diǎn)處動(dòng)邊界傳播速度最快，兩邊逐漸遞減，整體呈坡錐型曲線，達(dá)到最大動(dòng)外邊界后停止傳播；當(dāng)最大無量綱動(dòng)邊界滿足xmD=1.0/λD時(shí)，單井最大動(dòng)用面積為yf（pi-pwf）/λ；啟動(dòng)壓力梯度越大，壓降漏斗越陡，產(chǎn)量遞減速度越快.

（4）雙線性流模型較好地反映流體在低滲儲(chǔ)層垂直裂縫井地層及裂縫中的流動(dòng)，利用典型曲線擬合方法對(duì)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)資料進(jìn)行擬合并解釋，獲得儲(chǔ)層滲透率、裂縫導(dǎo)流能力和裂縫半長(zhǎng)等動(dòng)態(tài)參數(shù)，文中方程與實(shí)際有限導(dǎo)流垂直裂縫井情況較為符合.

[1] 尹洪軍，劉宇，付春權(quán).低滲透油藏壓裂井產(chǎn)能分析[J].新疆石油地質(zhì)，2005，26（3）：285-287.

Yin Hongjun，Liu Yu，F(xiàn)u Chunquan.Productivity analysis of fractured well in low permeability reservoir[J].Xinjiang Petroleum Geology，2005，26（3）：285-287.

[2] Prats M.Effect of vertical fracture on reservoir behavior-incompressible fluid case[C].Denver：The 35th Annual Fall Meeting of SPE，1960.

[3] Prats M，Hazebroek P，Strickler W R.Effect of vertical fracture on reservoir behavior-compressible fluid case[C].Dallas：The 36th Annual Fall Meeting of SPE，1961.

[4] 劉慈群.垂直裂縫地層中的流體滲流[J].石油勘探與開發(fā)，1987，14（3）：69-73.

Liu Ciqun.The flow of fluid through porous media with a vertical fracture[J].Petroleum Exploration and Development，1987，14（3）：69-73.

[5] 劉慈群.在雙重孔隙介質(zhì)中有限導(dǎo)流垂直裂縫井的非牛頓流體試井分析方法[J].石油學(xué)報(bào)，1990，11（4）：61-67.

Liu Ciqun.Transient pressure behavior of a well with a vertical fracture with finite-conductivity in a reservoir with double-porosity[J].Acta Petrolei Sinica，1990，11（4）：61-67.

[6] 劉慈群.具有啟動(dòng)壓力梯度的油水兩相滲流理論與開發(fā)指標(biāo)計(jì)算方法[J].石油勘探與開發(fā)，1998，25（6）：36-39.

Liu Ciqun.Theory of oil water flow through porous media and calculation of development indexes with starting pressure gradient included[J].Petroleum Exploration and Development，1998，25（6）：36-39.

[7] 鄧英爾，劉慈群.低滲油藏非線性滲流規(guī)律數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用[J].石油學(xué)報(bào)，2001，22（4）：72-77.

Deng Yinger，Liu Ciqun.Mathematical model of nonlinear flow law in low permeability porous media and its application[J].Acta Petrolei Sinica，2001，22（4）：72-77.

[8] 鄧英爾，劉慈群.垂直裂縫井開發(fā)低滲油藏非線性滲流壓力分析[J].石油勘探與開發(fā)，2003，30（1）：81-83.

Deng Yinger，Liu Ciqun.Analysis of pressure of nonlinear flow through low-permeability reservoir with vertically fractured well producing[J].Petroleum Exploration and Development，2003，30（1）：81-83.

[9] Heber Cinco-Ley.Transient pressure analysis for fractured wells：Mexicano del Petroleo[J].SPE 7490，1978.

[10] Lee Shengtai，John R Brockenbrough.A new approximate analytic solution for finite-conductivity vertical fractures[J].Formation Evaluation，SPE 12013，1986.

[11] 王曉冬，侯曉春，郝明強(qiáng)，等.低滲透介質(zhì)有啟動(dòng)壓力梯度的不穩(wěn)態(tài)壓力分析[J].石油學(xué)報(bào)，2011，32（5）：847-851.

Wang Xiaodong，Hou Xiaochun，Hao Mingqiang，et al.Pressure transient analysis in low-permeable media with threshold gradients[J].Acta Petrolei Sinica，2011，32（5）：847-851.

[12] 郭顯賦，梁景偉，周密.低速非達(dá)西流垂直裂縫井試井模型[J].油氣田地面工程，2010，29（10）：14-17.

Guo Xianbing，Liang Jingwei，Zhou Mi.Low velocity non Darcy flow in vertical fractured well test model[J].Oil Gas Field Surface Engineering，2010，29（10）：14-17.

[13] 嚴(yán)濤.低速非達(dá)西流有限導(dǎo)流垂直裂縫模型[J].天然氣工業(yè)，2005，25（2）：130-132.

Yan Tao.Low velocity non-Darcy flow with finite conductivity vertical fracture model[J].Natural Gas Industry，2005，25（2）：130-132.

[14] 付春權(quán)，尹洪軍，劉宇，等.低速非達(dá)西滲流垂直裂縫井試井分析[J].大慶石油地質(zhì)與開發(fā)，2007，26（5）：53-56.

Fu Chunquan，Yin Hongjun，Liu Yu，et al.Well testing analysis of vertical fracture wells with low-velocity non-Darcy flow[J].Petroleum Geology&Oilfield Development in Daqing，2007，26（5）：53-56.

[15] 劉曰武，劉慈群.考慮井筒存儲(chǔ)和表皮效應(yīng)的有限導(dǎo)流垂直裂縫井的試井分析方法[J].油氣井測(cè)試，1993，2（2）：2-10.

Liu Yuewu，Liu Ciqun.Well test analysis method for finite conductivity vertical fracture wells with wellbore storage and skin effect[J].Well Testing，1993，2（2）：2-10.

[16] 劉永良，徐艷梅，劉彬，等.考慮啟動(dòng)壓力梯度低滲雙重介質(zhì)油藏垂直裂縫井試井模型[J].油氣井測(cè)試，2010，19（5）：5-8.

Liu Yongliang，Xu Yanmei，Liu Bin，et al.Dual medium vertically fractured well in low permeability reservoir with threshold pressure gradients[J].Well Testing，2010，19（5）：5-8.

[17] 閏慶來，何秋軒，尉立崗，等，低滲透油層中單相液體滲流特征的實(shí)驗(yàn)研究[J].西安石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1990，5（2）：1-6.

Yan Qinglai，He Qiuxuan，Wei Ligang，et al.A study of single phase fluid flow characteristics in low permeability reservoir[J].Journal of Xi'an Shiyou University：Natural Science Edition，1990，5（2）：1-6.

[18] 尹洪軍，張榮磊，付春權(quán)，等.低滲透均質(zhì)油藏不穩(wěn)定壓力計(jì)算[J].特種油氣藏，2008，15（5）：50-52.

Yin Hongjun，Zhang Ronglei，F(xiàn)u Chunquan，et al.Calculation of transient pressure in Low permeability heterogeneous reservoir[J].Special Oil&Gas Reservoirs，2008，15（5）：50-52.

[19] 李凡華，劉慈群.含啟動(dòng)壓力梯度的不定常滲流的壓力動(dòng)態(tài)分析[J].油氣井測(cè)試，1997，6（1）：1-4.

Li Fanhua，Liu Ciqun.Analysis of the pressure dynamic flow of indeterminate with threshold pressure gradient[J].Well Testing，1997，6（1）：1-4.

[20] 程時(shí)清，張盛宗，黃延章，等.低速非達(dá)西滲流動(dòng)邊界問題的積分解[J].力學(xué)與實(shí)踐，2002，24（3）：15-17.

Cheng Shiqing，Zhang Shengzong，Huang Yanzhang，et al.Integrable decomposition of low velocity non-Darcy flow boundary problem[J].Mechanics in Engineering，2002，24（3）：15-17.

[21] Azari M，Wooden W O，Coble L E.Further investigation on the analytic solutions for finite-conductivity vertical fractures[J].SPE 21402，1991.

[22] Azari M，Wooden W O，Coble L E.A complete set of Laplace transforms for finite-conductivity vertical fractures under bilinear and trilinear flows[J].SPE 20556，1990.

TE348

A

2095-4107（2014）04-0072-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.04.011

2014-01-06；

張兆虹

國(guó)家科技重大專項(xiàng)（2011ZX05013-004，2011ZX05009-002）

王家航（1988-），男，碩士研究生，主要從事油氣田開發(fā)方面的研究.