高 友

（四川師范大學(xué) 服 裝學(xué)院,四川 成都610066）

A.N.Tykhonov［1］首先介紹全局優(yōu)化問題的適定性的概念,即Tykhonov適定性.全局優(yōu)化問題被稱為Tykhonov適定,如果該問題存在唯一解且它的每一個極小化序列都收斂于該唯一解.該適定性的定義也適用于約束優(yōu)化問題,此時要求極小化序列包含于約束集中.E.S.Levitin等［2］推廣Tykhonov適定性的概念,給出約束優(yōu)化問題Levitin-Polyak（簡寫LP）適定性的定義,即要求約束優(yōu)化問題具有唯一解且任何極小化序列都收斂于該解.

值得說明的是,LP適定性中的極小化序列不需包含于約束集中,只需該極小化序列到約束集的距離趨于零.從此以后,有許多學(xué)者都在研究適定性方面的結(jié)果,參見文獻(xiàn)［1-6］.同時,適定性也被推廣到其他相關(guān)問題,比如變分不等式問題［7-9］、鞍點(diǎn)問題［10］、Nash平衡問題［11］以及不動點(diǎn)問題［12］等.

S.Reich等［13］介紹一類新的分離變分不等式問題（SVIP）,給出該分離變分不等式問題解的迭代算法.最近,根據(jù)文獻(xiàn)［13］的工作,A.Moudafi［14］研究了分離變分包含問題解的迭代算法.由于分離變分不等式問題具有很多應(yīng)用背景,但是其適定性方面的工作幾乎沒有,因此研究分離變分不等式問題的適定性是一項(xiàng)有意義的工作.由于分離平衡問題是分離變分不等式問題的更廣泛形式,因此,本文主要研究分離平衡問題的適定性方面的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

設(shè)X、Y為2個實(shí)Banach空間,其對偶空間分別為X*、Y*.設(shè)C是X中的非空閉凸子集,Q是Y中的非空閉凸子集.設(shè)A:X→Y是有界線性映射,f:C×C→R和g:Q×Q→R為2個給定的映射.在本文中,考慮下列的分離平衡問題（SEP）:求x*∈C使得

首先給出相關(guān)的定義和引理.

定義1.1設(shè)A、B是Banach空間X中的非空子集.A和B之間的Hausdorff度量H（·,·）定義為

定義1.2稱映射f:X×X→R為

（i）半連續(xù)的,如果對?x,y∈X,映射t｜→f（ty+（1-t）x,y）在t＝0上半連續(xù)；

（ii）單調(diào)的,如果對?x,y∈X,f（x,y）+f（y,x）≤0.

定義1.3設(shè)A是X中的非空子集.集合A的非緊測度u定義如下

其中,diam表示集合的直徑.

命題1.1設(shè)f:C×C→R,g:Q×Q→R都是單調(diào)半連續(xù)映射,對?x∈C,f（x,x）≥0,對?y∈Q,g（y,y）≥0.設(shè)f和g關(guān)于第2變量為凸函數(shù),則對x*∈C,下面的結(jié)論等價:

（i）f（x*,x）≥0,?x∈C,且y*＝Ax*∈Q滿足g（y*,y）≥0,?y∈Q；

（ii）f（x,x*）≤0,?x∈C,且y*＝Ax*∈Q滿足g（y,y*）≤0,?y∈Q.

證明（i）→（ii）根據(jù)f和g的單調(diào)性,顯然成立.（ii）→（i）由于f（x,x*）≤0,?x∈C,且y*＝Ax*∈Q滿足g（y,y*）≤0,?y∈Q.對?x∈C,y∈Q,設(shè)xt＝x*+t（x-x*）,yt＝y(tǒng)*+t（y-y*）,t∈（0,1］.顯然,xt∈C,yt∈Q.因此,f（xt,x*）≤0,且y*＝Ax*∈Q滿足g（yt,y*）≤0.從而

根據(jù)f的半連續(xù)性可知f（x*,x）≥0,?x∈C.類似可證g（y*,y）≥0,?y∈Q.

2 SEP的Levitin-Polyak-α-適定性的度量性質(zhì)

首先給出SEP的Levitin-Polyak-α適定性的定義,然后討論其度量性質(zhì).分別以→、?表示強(qiáng)、弱收斂.設(shè)α≥0為給定實(shí)數(shù).總假設(shè)f:C×C→R,g:Q×Q→R都是單調(diào)半連續(xù)映射,對?x∈C,f（x,x）≥0,對?y∈Q,g（y,y）≥0.設(shè)f和g關(guān)于第二變量為凸函數(shù).

定義2.1稱｛xn｝?X為SEP的Levitin-Polyak（簡稱,LP）-α-近似序列,如果存在∈n＞0滿足∈n→0使得

定義2.2稱SEP為強(qiáng)（resp.,弱）Levitin-Polyak（簡稱LP）-α-適定的,如果SEP具有唯一的解且每一個LP-α-近似序列都強(qiáng)（resp.,弱）收斂于該唯一解.當(dāng)α＝0,稱SEP是強(qiáng)（resp.,弱）LP適定的.

定義2.3稱SEP是廣義強(qiáng)（resp.,弱）LP-α-適定的,如果SEP的解集S非空且任意LP-α-近似序列都存在子列強(qiáng)（resp.,弱）收斂于S中的點(diǎn).當(dāng)α＝0,稱SEP是廣義強(qiáng)（resp.,弱）LP適定的.

引理2.1設(shè)S為SEP的解集,則x0∈S當(dāng)且僅當(dāng)下面2個條件成立:

證明必要性是顯然的,下面證明充分性.假設(shè)（1）和（2）式成立.對?x1∈C,y1∈Q以及t∈［0,1］,令xt＝tx1+（1-t）x0,yt＝ty1+（1-t）y0.由于C和Q都是凸集,故xt∈C,yt∈Q.因此

現(xiàn)在,討論SEP的LP-α-適定性的度量性質(zhì).

定理2.1SEP是強(qiáng)LP-α-適定的當(dāng)且僅當(dāng)SEP的解集S非空且

證明假設(shè)SEP是LP-α-強(qiáng)適定的,則S為單點(diǎn)集且S?Ωα（∈）.現(xiàn)在證明（3）式成立.若不然,則存在r＞0,0＜∈n→0,當(dāng)n→∞時,

由于xn,yn∈Ωα（∈n）,則｛xn｝和｛yn｝都是SEP的LP-α-近似序列.又因?yàn)镾EP是強(qiáng)LP-α-適定的,所以xn、yn強(qiáng)收斂于SEP的唯一解.這與‖xn-yn‖＞r矛盾.從而（3）式成立.

反之,假設(shè)（3）式成立,｛xn｝為SEP的任一LP-α-近似序列,則存在0＜∈n→0滿足

從而,｛xn｝?Ωα（∈n）.另外,根據(jù)（3）式及S?Ωα（∈）可知S為非空單點(diǎn)集.令x0為SEP的唯一解.注意到x0∈Ωα（∈n）,根據(jù)（3）式可推知‖xn-x0‖≤diam （Ωα（∈n））→0.因此,SEP是強(qiáng)LP-α-適定的.

定理2.2設(shè)f和g關(guān)于第2變量連續(xù),則SEP是強(qiáng)LP-α-適定的當(dāng)且僅當(dāng)

證明必要性 和定理2.1的證明一樣.

充分性 假設(shè)（4）式成立.據(jù)（4）式及S?Ωα（∈）容易驗(yàn)證:若S非空,則為單點(diǎn)集.設(shè)｛xn｝?X為SEP的LP-α-近似序列.則存在0＜∈n→0滿足

這表明｛xn｝?Ωα（∈n）,?n∈N.根據(jù)（4）式可知｛xn｝是Cauchy序列,因此其收斂于點(diǎn)x0∈X.由于xn→x0以及∈n→0,故d（x0,C）≤0.從而x0∈C.根據(jù)f的連續(xù)性可得

再由引理2.1可得x0∈S.從而,SEP是強(qiáng)LP-α-適定的.

定理2.3SEP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的當(dāng)且僅當(dāng)SEP的解集S是非空緊集且

證明假設(shè)SEP是廣義LP-α-適定的,則S是非空緊集.事實(shí)上,令｛xn｝?S,顯然,｛xn｝是SEP的LP-近似序列,同時也是LP-α-近似序列.由于SEP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的,故存在｛xn｝的子列｛xnk｝強(qiáng)收斂于S中的點(diǎn).從而S是非空緊集.現(xiàn)證明（5）式成立.假設(shè)該結(jié)論不真,則存在r＞0,0＜∈n→0以及xn∈Ωα（∈n）滿足

由于｛xn｝?Ωα（∈n）,則｛xn｝是SEP的LP-α-近似序列.因?yàn)镾EP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的,所以存在｛xn｝的子列｛xnk｝強(qiáng)收斂于S中的點(diǎn).這與（6）式矛盾,故（5）式成立.

反之,假設(shè)S為緊集且（5）式成立.設(shè)｛xn｝為SEP的LP-α-近似序列,則｛xn｝?Ωα（∈n）.由于e（Ωα（∈）,S）→0當(dāng)∈→0,所以存在序列｛zn｝?S滿足d（xn,zn）→0.根據(jù)S的緊性知存在｛zn｝的子列｛znj｝強(qiáng)收斂于x0∈S.因此,存在｛xn｝的子列｛xnj｝也強(qiáng)收斂于x0∈S.因而,SEP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的.

定理2.4設(shè)f和g關(guān)于第二變量連續(xù),則SEP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的當(dāng)且僅當(dāng)

證明假設(shè)SEP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的.根據(jù)定理2.3中類似的證明方法可知S是非空緊集且e（Ωα（∈）,S）→0當(dāng)∈→0.由于S?Ωα（∈）,故

反之,對?∈＞0,根據(jù)f和g的連續(xù)性可知Ωα（∈）為閉集.注意到當(dāng)∈≤∈′時有Ωα（∈）?Ωα（∈′）.令,則

由參考文獻(xiàn)［15］可知Ω是非空緊集且滿足

根據(jù)引理2.1,易知Ω等于SEP的解集S.因而S是緊集.設(shè)｛xn｝是SEP的LP-α-近似序列,則存在0＜∈n→0滿足

由于S是緊集,存在｛zn｝的子列｛znk｝強(qiáng)收斂于x0∈S.因此,｛xn｝也存在相應(yīng)的子列｛xnj｝強(qiáng)收斂于x0∈S.從而,SEP是廣義強(qiáng)LP-α-適定的.

注1本文的結(jié)論是一些已有知名結(jié)果的推廣.特別地,當(dāng)f（x,x*）和g（y,y*）具有某種特殊形式時,本文的結(jié)論退化為文獻(xiàn)［7,16-17］中的相關(guān)結(jié)果.

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