曹穎超

【摘 要】在計算機圖形學教學中，視向變換是一個重點難點，而這部分內容又是后續(xù)學習的基礎，本文根據筆者多年的教學實踐，詳細闡述了繞任意直線旋轉的講解要點及其與視向變換的關系。使學生易于理解視向變換，間接降低三維圖形顯示的難度，對于學生掌握三維圖形的顯示有著極為重要的意義。

【關鍵詞】視向變換；三維復合變換；三維圖形顯示

在計算機圖形學三維圖形顯示中，視向變換是比較抽象難理解的一部分內容[1]，而這部分內容又是三維裁剪、消隱和真實感圖形的基礎，因此可以說是難點也是重點。三維復合變換中的繞任意直線旋轉與視向變換有著極為密切的聯系，如果在教學中將繞任意直線的旋轉變換講解透徹，學生就可以自己推導理解視向變換的實現過程。本文根據作者多年的教學實踐，詳細闡述了繞任意直線旋轉的講解要點及其與視向變換的關系。

1 繞任意直線旋轉在三維圖形顯示中的重要性

在三維圖形的基本顯示流程中（如圖1）[2]，視向變換又稱觀察變換是最為抽象的部分，其目的是將世界坐標系中的三維圖形變換到視坐標系（又稱觀察坐標系）。其實質是尋找一個坐標變換矩陣，使得視點為視坐標系的原點，觀察方向為視坐標系的Z軸方向。由于世界坐標系是一個右手坐標系，視坐標系是一個左手坐標系，實現時，先將將觀察方向變換為視坐標系的Z軸，再將X軸取反方向。這一點，與三維圖形繞任意直線的旋轉基本相同。

圖1 三維圖形基本顯示流程

在三維圖形繞任意直線的旋轉中，因為在基本幾何變換中有三維圖形繞三條坐標軸的旋轉變換，所以這個問題的基本思路就是將該直線變換為某一條坐標軸，再做旋轉，然后依次做前面變換的逆變換。

2 繞任意直線旋轉的講解要點

設有圖形繞任意一條過原點的直線（對于不經過原點直線可以作一個平移變換使之過原點）逆時針旋轉θ角，如圖2，直線用OE表示。A、B、C分別是E點在X、Y、Z軸的投影，也是該直線的方向矢量。

圖2 繞任意直線的旋轉

講解要點一：在計算機圖形學中，任何圖形都是用點表示，對圖形作變換也就是對表示圖形的點作變換。所以要使得直線OE與Z軸重合，只要使表示直線的兩個點落到Z軸上就可以了。由于O點在繞坐標軸旋轉中位置不變，所以問題轉化為使得E點落到Z軸上。

講解要點二：繞坐標軸旋轉過程中，該坐標保持不變，所以要找出過點E且垂直于該坐標軸的平面。

講解要點三：繞坐標軸旋轉的過程中，點到該坐標軸的距離保持不變。

圖形繞任意過原點直線逆時針旋轉θ角的過程：

首先使該直線與Z軸重合，即先使E落到Z軸上，第一步，將E點繞X軸逆時針旋轉α角，使得E點落到XOZ平面，找出過E點且垂直于X軸的平面，再找出該平面與XOZ平面的交線，根據要點二可知，E′點在該交線上，根據要點三，可以確定E′的具體位置，在直角三角形AEE′中，可以確定α，得到旋轉變換矩陣Rx（α）；第二步，將E′點繞Y軸順時針旋轉β角，使之落到Z軸上，根據要點二，XOZ平面垂直于Y軸，根據要點三，可以確定E″在Z軸上的位置，在直角三角形OE′E″中，可以確定β角，得到旋轉變換矩陣Ry（-β）。至此，直線OE與Z軸重合。

其次，使圖形繞該直線即Z軸逆時針旋轉θ角，得到矩陣Rz（θ）。

最后，再將直線變換回原來的位置，即先繞Y軸逆時針旋轉β角，得到矩陣Ry（β）。接著繞X軸順時針旋轉α角，得到矩陣Rx（-α）。

將所有變換矩陣依次相乘，得到繞任意直線旋轉的組合變換矩陣 T=Rx（α）Ry（-β）Rz（θ）Ry（β）Rx（-α）。

3 三維圖形顯示中的視向變換

在三維圖形顯示中，視向變換是將世界坐標系變換為視坐標系，一般假定給出視點E后，視點到世界坐標系原點的向量EO即為觀察方向，則E點為視坐標系的原點，EO為視坐標系的Z軸。

圖3 視向變換

在變換過程中，要強調的是，坐標變換與物體變換是互逆的。

第一步將坐標原點平移至視點E，得到平移變換T1。

第二步，將世界坐標系的Z軸變換到EO，首先將坐標系繞X軸逆時針旋轉90度，將Z軸旋轉到Y軸的反方向，相當于物體變換Rx（-90）；再將坐標系繞Y軸順時針旋轉α角，將Z軸旋轉至Ec，相當于物體變換Ry（α）；最后將Z軸旋轉至EO，這時由于EOc平面是Z軸和Y軸所在平面，所以垂直于X軸，所以這是將坐標繞X軸逆時針旋轉β角，相當于物體變換Rx（-β）。

第三步，將世界坐標系的X軸取反向，得到變換矩陣T（-x），這就是左手坐標系——視坐標系。于是得到視向變換矩陣為T=T1·Rx（-90）·Ry（α）·Rx（-β）·T（-x）。

由于三維圖形顯示過程復雜、抽象，步驟多，尤其是視向變換和投影變換不易理解，因次，在繞任意直線的旋轉中將要點講解清楚，從而使學生易于理解視向變換，間接降低三維圖形顯示的難度，對于學生掌握三維圖形的基本顯示流程有著極為重要的意義。

【參考文獻】

[1]陳元琰，張睿哲，吳東，等.計算機圖形學實用技術[M].2版.清華大學出版社，2006：147-150.

[2]楊欽，徐永安，翟紅英.計算機圖形學[M].清華大學出版社，2005：88-94.

[責任編輯：湯靜]