張鳳姣，宋少云

(武漢輕工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北武漢 430023)

隨著各國經(jīng)濟(jì)飛速的發(fā)展，有限元仿真技術(shù)開始在各行各業(yè)中得到廣泛應(yīng)用［1］。尤其在汽車行業(yè)，越來越多的研究者開始對汽車的結(jié)構(gòu)及其零部件進(jìn)行有限元仿真［2-4］，以考察其力學(xué)性能，為設(shè)計師們對其結(jié)構(gòu)的設(shè)計和優(yōu)化提供理論依據(jù)。

在進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時，應(yīng)力集中是一種很棘手的問題［5-6］。所謂應(yīng)力集中是指受力構(gòu)件由于外界因素或自身因素幾何形狀、外形尺寸發(fā)生突變而引起局部范圍內(nèi)應(yīng)力顯著增大的現(xiàn)象。筆者在用有限元軟件對汽車手剎進(jìn)行強(qiáng)度分析時，發(fā)現(xiàn)對于某些零件，當(dāng)網(wǎng)格不斷細(xì)分時，部分尖點(diǎn)會出現(xiàn)應(yīng)力值無限增大，不會趨于某個值，無法得到確切的應(yīng)力值。

實際上，有限元理論表明，在尖點(diǎn)(形狀突變處)處應(yīng)力集中系數(shù)會無限增大，無法計算真實的應(yīng)力解［7］。同時，通過有限元仿真的實踐也表明，當(dāng)網(wǎng)格無限細(xì)分時，尖點(diǎn)應(yīng)力的確會無限增大，得不到收斂解。因此，使用有限元軟件無法得到尖點(diǎn)處的真實應(yīng)力值。

為了能夠正確地計算尖點(diǎn)處的真實應(yīng)力值，本文提出了三種計算尖點(diǎn)處應(yīng)力的方法:圓周節(jié)點(diǎn)應(yīng)力平均法，線段應(yīng)力外推法和不同倒角應(yīng)力外推法。并用上述三種方法對一個算例進(jìn)行計算，把計算結(jié)果與精確解相比較，從而考察方法的有效性。

1 算例及精確解

為了能清晰地闡述本文提出的三種方法，先給出一個共同的算例(如圖1所示)。該圖是一個7字形截面構(gòu)件，其左邊沿和下邊沿均固定，而在右邊上施加100 MPa的均布載荷，現(xiàn)在要計算倒角處(倒角半徑為2 mm)的米塞斯應(yīng)力值。

圖1 7字型構(gòu)件幾何尺寸圖

對于這種問題，有限元軟件是可以計算其精確應(yīng)力的。為了得到該點(diǎn)的精確應(yīng)力，首先對該幾何體進(jìn)行粗糙的網(wǎng)格劃分，固定左、下端面并在右端面施加均布載荷，然后進(jìn)行靜力學(xué)仿真。在仿真結(jié)束后，記錄下倒角處的米塞斯應(yīng)力。

然后對該倒角處進(jìn)行網(wǎng)格局部細(xì)分，連續(xù)加密8次，并記錄該點(diǎn)的應(yīng)力值。這樣計算7次后，得到該點(diǎn)應(yīng)力的8個值。取仿真次數(shù)為橫坐標(biāo)，而取每次仿真得到的米塞斯應(yīng)力為縱坐標(biāo)，得到的曲線如圖2所示。從該圖可以看出，在第五次仿真后，該點(diǎn)應(yīng)力趨于收斂。第8次計算結(jié)果為120.31MPa，可以認(rèn)為它是精確解。

圖2 倒角處點(diǎn)的米塞斯應(yīng)力值

2 計算方法

對于上述問題，有限元軟件可以得到拐角處的精確解。但是當(dāng)拐角處倒角半徑為0時(尖點(diǎn))，用有限元軟件計算，會發(fā)現(xiàn)結(jié)果會一直增大，得不到收斂值。但是就實際情況而言，該點(diǎn)的值是客觀存在的，而且一定是一個收斂值。那么如何通過計算的方式得到該值呢?

有限元軟件對于尖點(diǎn)的應(yīng)力值求解是發(fā)散的，但是對于尖點(diǎn)一定距離處的點(diǎn)的應(yīng)力計算卻是收斂的，而尖點(diǎn)的應(yīng)力與周圍點(diǎn)的應(yīng)力應(yīng)該是連續(xù)的?；谶@種考慮，可以根據(jù)尖點(diǎn)附近點(diǎn)的應(yīng)力來推算尖點(diǎn)處點(diǎn)的應(yīng)力值。

而從周圍點(diǎn)來估算尖點(diǎn)的應(yīng)力，有很多方法。本文提出三種方法來處理這種問題。

第一種方法:圓周應(yīng)力平均法。

此方法是以倒角處的點(diǎn)為圓心，分別以1、1.5、2、2.5為半徑作圓，分別細(xì)分網(wǎng)格6次求得應(yīng)力曲線圖，并考察這些圓周上的應(yīng)力值，最后平均，求得倒角處應(yīng)力值。

第二種方法:線段外推法。

此方法是以道交處的點(diǎn)為中心，畫6條偏角不同的線段，分別為 30°、45°、60°、90°、120°、150°。對這些線段分別細(xì)分網(wǎng)格7次求得應(yīng)力曲線圖，根據(jù)這些曲線的走勢，選取最收斂的那條曲線進(jìn)行插值外推中心點(diǎn)的應(yīng)力值，即所求的倒角處的點(diǎn)應(yīng)力值。

第三種方法:變倒角半徑外推法。

此方法是將尖點(diǎn)處倒不同的角，倒角半徑分別為0.5 mm、0.6 mm、0.7 mm、0.8 mm、1 mm、1.2 mm;6種情況下計算尖點(diǎn)處的應(yīng)力值。將得到的6組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，選取各組中最收斂的那條曲線進(jìn)行三次樣條曲線插值外推中心點(diǎn)的應(yīng)力值，再與精確值作比較，最后得所求的尖點(diǎn)應(yīng)力值。

通過三種分析方法所得的結(jié)果進(jìn)行比較，最后可以選擇一種最好的辦法來求解尖點(diǎn)的應(yīng)力值。

2.1 圓周應(yīng)力平均法

以倒角處點(diǎn)為圓心，如圖3所示。首先以半徑為1 mm的圓周開始，繪制出四個圓，半徑大小依次增大0.5 mm，并在圓周上6次細(xì)分網(wǎng)格，其中半徑為0的點(diǎn)即為本文要估算的點(diǎn)。

圖3 尖點(diǎn)圓心處四個不同半徑的圓

應(yīng)用有限元軟件對上述所繪的4個圓周進(jìn)行有限元分析，并且依次細(xì)分網(wǎng)格6次，得到的應(yīng)力變化曲線如圖4—圖7所示(圖中橫坐標(biāo)S代表的是圓周上所有節(jié)點(diǎn)距離第一個節(jié)點(diǎn)的圓弧長度，B.C.D等字母表示的是劃分不同網(wǎng)格的次數(shù))。

圖4 半徑為1 mm圓周上的點(diǎn)應(yīng)力變化曲線

圖5 半徑為1.5 mm圓周上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖6 半徑為2 mm圓周上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖7 半徑為2.5 mm圓周上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

由圖4—圖7可以清楚看出4個不同半徑的圓周上所有節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力變化情況。根據(jù)有限元原理，應(yīng)用平均值法可以從各圓周上的應(yīng)力值求得倒角處點(diǎn)的4種應(yīng)力結(jié)果，然后將得出的這些應(yīng)力與之前的精確值相比較得出相對誤差，如表1所示。

表1 圓周推算的應(yīng)力值

2.2 線段應(yīng)力外推法

如圖8所示，以計算的拐點(diǎn)為圓心，在直徑為5mm和直徑為20 mm的圓環(huán)區(qū)域內(nèi)依次取6條線段，即從 30°開始，分別以 30°、45°、60°、90°、120°、150°為偏角，取6條線段。并且依次7次細(xì)分網(wǎng)格，最后讀取計算結(jié)果。結(jié)果如圖9—圖14所示(圖中的S代表的是線段上所有節(jié)點(diǎn)到起始第一個點(diǎn)的距離，B.C.D等字母表示的是劃分不同網(wǎng)格的次數(shù))。

圖8 6條偏角不同的線段

圖9 30°線段上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖10 45°線段上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖11 60°線段上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖12 90°線段上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖13 120°線段上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

圖14 150°線段上的點(diǎn)的應(yīng)力變化曲線

根據(jù)這些曲線進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)30°偏角時，第四次網(wǎng)格細(xì)分的時候，應(yīng)力收斂，通過第四次的曲線進(jìn)行插值，最后用外推法可以求得尖點(diǎn)處的應(yīng)力值。同理可得，45°、60、90°、120°、150°的時候均是第四次或者第三次就已經(jīng)應(yīng)力收斂，相應(yīng)的可以插值求得應(yīng)力值，并與精確值相比較，得到相對誤差，其結(jié)果如表2所示。

表2 線段推算的應(yīng)力值

2.3 變倒角半徑應(yīng)力外推法

對圖1尖點(diǎn)處(圖中倒角R2處)進(jìn)行6次不同半徑的倒角處理，倒角半徑大小依次為0.5 mm、0.6 mm、0.7 mm、0.8 mm、1 mm、1.2 mm。

在取6次不同倒角的情況下，均可以通過網(wǎng)格細(xì)分得到尖點(diǎn)的應(yīng)力值，經(jīng)仿真，其結(jié)果如表3所示。

表3 不同倒角推算的應(yīng)力值

根據(jù)表3給出的數(shù)據(jù)，應(yīng)用曲線插值尖點(diǎn)應(yīng)力，并繪制米塞斯應(yīng)力值與尖點(diǎn)處進(jìn)行倒角半徑值的曲線關(guān)系圖，如圖15所示(圖中橫坐標(biāo)代表的是尖點(diǎn)處倒不同倒角的半徑大小，縱坐標(biāo)是米塞斯應(yīng)力值)。

圖15 尖點(diǎn)處不同倒角時的拐點(diǎn)應(yīng)力值

根據(jù)六組將尖點(diǎn)進(jìn)行不同倒角時的拐點(diǎn)米塞斯應(yīng)力值，利用上圖給出的數(shù)據(jù)，根據(jù)三次樣條曲線插值尖點(diǎn)的應(yīng)力值，得出其值為154.90 MPa。

3 結(jié)果分析及討論

3.1 從表1的數(shù)據(jù)結(jié)果可以得知，當(dāng)半徑不斷增大時，試驗所得的應(yīng)力值越來越偏離精確值，但是當(dāng)半徑為1.5 mm的時候，應(yīng)力值卻最接近精確值。半徑由小及大遠(yuǎn)離和接近1.5 mm時，試驗值越來越偏離精確值，且誤差越來越大。

3.2 從表2的數(shù)據(jù)結(jié)果可以得知，當(dāng)角度越大時，試驗所得的應(yīng)力值數(shù)據(jù)越來越接近精確值，當(dāng)偏角為90°的時候，應(yīng)力值卻最接近精確值，誤差最小。但是當(dāng)偏角大于90°且不斷增大的時候，試驗值越來越偏離精確值，且誤差越來越大?？梢钥闯?，沿尖點(diǎn)縱向方向，尖點(diǎn)應(yīng)力變化梯度確實是應(yīng)力變化最大的地方。

3.3 從表3的數(shù)據(jù)結(jié)果可以得知，倒角越小越接近真實值，但是當(dāng)?shù)菇且欢ㄐ〉臅r候，應(yīng)力值卻無限大，反而計算誤差很大。當(dāng)用樣條曲線插值的時候，發(fā)現(xiàn)0半徑即尖點(diǎn)處的應(yīng)力值為154.90 Mpa。

3.4 綜合比較上述三種方法的計算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)用第一種方法中半徑為1.5 mm的圓周節(jié)點(diǎn)應(yīng)力值推算的尖點(diǎn)應(yīng)力值是最接近真實值的;用第二種方法中90°偏角線段的時候同樣也是可以推算的，只是誤差稍微大點(diǎn)。當(dāng)然，第三種方法誤差最大，此法不宜。

4 結(jié)論

4.1 就此例子而言，第一種方法中，當(dāng)半徑為1.5 mm的圓時，用圓周上節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值去加權(quán)平均，得到的應(yīng)力值是最接近尖點(diǎn)真實值的，誤差最小。

4.2 可以通過對倒角附近一定范圍的節(jié)點(diǎn)的收斂應(yīng)力，用加權(quán)平均或者外推的方法來估算拐角處點(diǎn)的應(yīng)力值。

4.3 一般情況下，越接近尖點(diǎn)就越能得到收斂的應(yīng)力值。

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