吳國(guó)慶

（安康市水利水電勘測(cè)設(shè)計(jì)院，陜西安康 725000）

1 問(wèn)題的提出

標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面由于形狀比較復(fù)雜，正常水深和臨界水深的計(jì)算有一定的難度。近年來(lái)已有學(xué)者采用不同的方法對(duì)馬蹄形斷面渠道正常水深進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1]給出了馬蹄形斷面正常水深和臨界水深的迭代計(jì)算公式；文獻(xiàn)[2]對(duì)正常水深的超越方程采用逐次逼近的擬合方法，獲得了最優(yōu)替代函數(shù)，其最大誤差為0.66%；文獻(xiàn)[3]也給出了馬蹄形斷面正常水深的迭代公式，并認(rèn)為計(jì)算結(jié)果在特征水深點(diǎn)是吻合的，但公式相對(duì)較為復(fù)雜。文獻(xiàn)[4]將馬蹄形過(guò)水?dāng)嗝嬲Ｋ钣?jì)算轉(zhuǎn)化為非線性優(yōu)化問(wèn)題采用實(shí)數(shù)編碼的遺傳算法進(jìn)行求解，但該方法應(yīng)用比較困難。文獻(xiàn)[5]引入準(zhǔn)一次函數(shù)、準(zhǔn)二次函數(shù)的概念，對(duì)馬蹄形兩種標(biāo)準(zhǔn)斷面正常水深的原函數(shù)方程在無(wú)量綱正常水深（0.01，1.80）范圍內(nèi)給出了已知流量計(jì)算正常水深的簡(jiǎn)化公式，但未給出已知水深求解流量的方法。文獻(xiàn)[6]研究了平底II型馬蹄形斷面的正常水深和臨界水深，引入無(wú)量綱參數(shù)得到了正常水深和臨界水深的直接計(jì)算公式。文獻(xiàn)[7]研究了標(biāo)準(zhǔn)Ⅰ型馬蹄形斷面正常水深、弗勞德數(shù)和收縮斷面水深的計(jì)算方法，但未涉及到標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的水力計(jì)算問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]給出了馬蹄形斷面臨界水深的迭代計(jì)算公式。文獻(xiàn)[9]通過(guò)對(duì)馬蹄形斷面臨界流方程的數(shù)學(xué)變換，應(yīng)用逐步優(yōu)化擬合原理，得到馬蹄形斷面臨界水深的直接計(jì)算式。

由以上綜述可以看出，標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的正常水深和臨界水深雖然已有一些研究成果，除文獻(xiàn)[9]對(duì)臨界水深有直接計(jì)算公式外，其余計(jì)算方法要么比較復(fù)雜，要么還不完善。所以本文根據(jù)明渠均勻流理論和臨界水深的一般計(jì)算方法，通過(guò)優(yōu)化擬合提出了馬蹄形斷面正常水深和臨界水深的直接計(jì)算公式。

2 標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的基本形式和圓心角

標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面如圖1所示，它由3部分組成，即底部的弓形斷面、下部的扇形斷面和頂拱的半圓形斷面。三圓弧段的半徑均為2r，頂拱半徑為r，下部弓形斷面的圓心角為2α，側(cè)面扇形圓心角為α。由圖中可以看出

圖1 標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面Fig.1 Horseshoe cross section of standard TypeⅡ

由上式可以解出α=24.29519°，由此可以看出，標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的圓心角為常數(shù)。

3 標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑和相對(duì)水深

將標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面分為圖2中ab線以下（含ab線）的弓形斷面、ab線與ef線之間（含ef線）和ef線以上3部分，各部分的斷面面積、濕周和水力半徑分別計(jì)算如下。

3.1 當(dāng)水深處于ab線以下（含ab線）時(shí)

此時(shí)水深處于底部弓形斷面內(nèi)，如圖2所示，相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周和相對(duì)水深分別為

式中，A為面積；h為水深；φ為水深為h時(shí)的半圓心角。相對(duì)水力半徑R為

圖2 水深處于弓形斷面內(nèi)Fig.2 Water depth at the bottom bow of the cross section

水面寬度為

式中，B為水面寬度，0<φ≤24.29519°。

3.2 當(dāng)水深處于ab線與ef線之間（含ef線）時(shí)

此時(shí)水深處于圖3中的ab線以上，ef線以下（含ef線）。由圖3可以看出，下部水深淹沒(méi)的面積分為4部分，即圖3中的面積A0、A1、A2和A3，其中A2和A3相等。相對(duì)斷面面積為

圖3 水深處于最大直徑（含最大直徑）斷面內(nèi)Fig.3 Water depth under the max width of the cross section

相對(duì)濕周為

相對(duì)水力半徑為

相對(duì)水深h為

水面寬度為

式中，0<β<24.29519°。

3.3 當(dāng)水深處于ef線以上時(shí)

此時(shí)水深處于頂拱半圓形斷面內(nèi)，如圖4所示，可以看出，斷面面積由圖中ef線以下的面積、ef線以上的兩個(gè)扇形面積和一個(gè)三角形面積組成。斷面相對(duì)面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑和相對(duì)水深為

圖4 水深位于最大直徑以上斷面Fig.4 Water depth at profile when water depth is above the maximum diameter

水面寬度為

式中，0<θ<90°。

用以上公式計(jì)算的相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑和水面相對(duì)寬度與相對(duì)水深的關(guān)系見(jiàn)表1。

4 標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的正常水深

一般明渠的正常水深流量關(guān)系為[10]

式中，Q為流量；C為謝才系數(shù)；R為水力半徑；i為渠道的底坡；n為糙率；A為過(guò)水?dāng)嗝婷娣e；χ為濕周。

4.1 當(dāng)水深處于ab線以下（含ab線）時(shí)

如果已知流量，則可寫(xiě)成迭代公式

4.2 當(dāng)水深處于ab線與ef線之間（含ef線）時(shí)

用上式計(jì)算水深流量關(guān)系時(shí)，β的取值范圍為0°~24.29519°，如果水深已知，則可由式（9）求出β，代入式（19）即可計(jì)算出流量。如果已知流量求水深，可以將式（19）寫(xiě)成迭代公式為

4.3 當(dāng)水深處于ef線以上時(shí)

相對(duì)正常水深流量關(guān)系為

式（21）中只有一個(gè)變量θ，0<θ<90°，計(jì)算時(shí)如果已知水深，可由式（14）求出θ，代入式（21）求出流量；如果已知流量，則可寫(xiě)出迭代公式為

由以上公式計(jì)算的正常相對(duì)水深與相對(duì)流量的關(guān)系亦列于表1中?？梢钥闯?，馬蹄形斷面計(jì)算正常水深時(shí)需先判斷水深所處的位置，然后選用合適的公式，而且計(jì)算時(shí)均為隱函數(shù)關(guān)系，不易求解。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，分段擬合了與h/r的顯函數(shù)關(guān)系，相對(duì)水深或相對(duì)流量可以表示為

已知正常水深求流量時(shí)

已知流量求正常水深時(shí)

表1 相對(duì)斷面面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑和相對(duì)水面寬度與相對(duì)水深的關(guān)系Tab.1 The relationship between relative sectional area，relative wetted perimeter，relative hydraulic radius，relative width and relative water depth

公式（23）的最大誤差為1.025%，平均誤差為0.093%，

公式（24）的最大誤差為1.114%，平均誤差為0.225%。

5 標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面的臨界水深

明渠臨界水深的計(jì)算公式為[10]

式中，g為重力加速度；Ak為臨界水深對(duì)應(yīng)的斷面面積；Bk為臨界水深對(duì)應(yīng)的水面寬度。

將公式（25）變形為

分段擬合臨界水深與Q2/（gr5）的關(guān)系為

上式的平均誤差為0.337%，最大誤差為1.095%。

6 算例

例題1某馬蹄形標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型斷面，已知頂拱半徑r=2.3 m，渠道底坡i=0.00263，糙率n=0.014，試計(jì)算正常水深與流量的關(guān)系以及臨界水深。

解：

用經(jīng)驗(yàn)公式（23），理論公式（17）、（19）、（21）計(jì)算正常水深流量關(guān)系，用經(jīng)驗(yàn)公式（27）計(jì)算臨界水深。用理論公式計(jì)算時(shí)，采用試算法，計(jì)算結(jié)果仍列于表2中。

由以上計(jì)算可以看出，本文提出的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算的流量與理論公式計(jì)算的流量最大誤差為0.664%；臨界水深的經(jīng)驗(yàn)公式與理論公式最大誤差為1.250%，且經(jīng)驗(yàn)公式判斷計(jì)算區(qū)域明了，過(guò)程簡(jiǎn)單，不需試算，精度完全滿足工程要求。

例題2萬(wàn)家寨引黃工程南干1號(hào)隧洞的坡降為i=1/1500，n=0.014，r=2.12 m，取其中的兩個(gè)流量8.6 m3/s和25.8 m3/s計(jì)算正常水深，

解：

當(dāng)流量為8.6 m3/s時(shí)，求得將7代入公式（24）得水深h=0.693507×2.12=1.47 m。

當(dāng)流量為25.8 m3/s時(shí)得水深h=1.4542×2.12=3.0829 m

如果用理論公式計(jì)算，當(dāng)流量為8.6 m3/s時(shí)，用公式（20）迭代得β=0.2703724，用公式（9）計(jì)算得水深為1.47105 m，經(jīng)驗(yàn)公式與理論公式相差0.0555%。當(dāng)流量為25.8 m3/s時(shí)，用公式（22）迭代得θ=0.479238，用公式（14）計(jì)算得水深為3.09754 m，經(jīng)驗(yàn)公式與理論公式相差0.473%。

表2 例題1正常水深-流量關(guān)系及臨界水深計(jì)算表Tab.2 Example I:calculation table of the relationship between the normal water depth and flow and critical depth

7 結(jié)語(yǔ)

本文詳細(xì)推導(dǎo)了標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面相對(duì)面積、相對(duì)濕周、相對(duì)水力半徑、相對(duì)水深和水面相對(duì)寬度的計(jì)算方法，在此基礎(chǔ)上，給出了標(biāo)準(zhǔn)Ⅱ型馬蹄形斷面正常水深的理論計(jì)算公式。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，分段擬合了與h/r的關(guān)系，給出了均勻流時(shí)流量的顯函數(shù)關(guān)系式和正常水深的迭代公式；分段擬合相對(duì)臨界水深hk/r與Q2（/gr5）的關(guān)系，給出了臨界水深的簡(jiǎn)化計(jì)算公式。這些公式計(jì)算簡(jiǎn)單，迭代方便，精度完全滿足設(shè)計(jì)要求。為了明確計(jì)算過(guò)程，通過(guò)實(shí)例給出了解題步驟，供工程設(shè)計(jì)參考。

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