韓虹，周曉凡，梁軍軍

（山西大學(xué) 理論物理研究所，山西 太原 030006）

0 引言

近年來(lái)，自旋軌道耦合［1］對(duì)超冷原子凝聚現(xiàn)象的作用引起了人們的興趣。人們對(duì)超冷原子氣體的量子特性以及凝聚態(tài)特性已經(jīng)進(jìn)行了大量的理論和實(shí)驗(yàn)研究。在文獻(xiàn)［2］中已經(jīng)在光晶格中實(shí)現(xiàn)了Band絕緣態(tài)和Mott絕緣態(tài)，當(dāng)粒子排斥相互作用為0時(shí)，粒子數(shù)密度的分布就會(huì)在勢(shì)阱中心變得非常平坦，出現(xiàn)了Band絕緣態(tài)；然而隨著粒子間排斥相互作用的增強(qiáng)，發(fā)現(xiàn)勢(shì)阱中心每個(gè)格點(diǎn)只占據(jù)著一個(gè)粒子，出現(xiàn)了Mott絕緣態(tài)。在文獻(xiàn)［3］中，作者在超晶格中同樣模擬了Band絕緣態(tài)和Mott絕緣態(tài)，發(fā)現(xiàn)在它們之間有一個(gè)中間體電荷密度波（BCDW）態(tài)。

本文中，我們通過(guò)密度重整化群（DMRG）研究簡(jiǎn)諧勢(shì)阱下排斥相互作用的費(fèi)米氣體在自旋軌道耦合作用影響下的基態(tài)屬性。在光晶格中，通過(guò)計(jì)算粒子數(shù)密度分布和漲落情況，分析自旋軌道耦合作用對(duì)Mott絕緣態(tài)和金屬態(tài)的影響。在超晶格中，通過(guò)粒子數(shù)密度平均分布和漲落情況，分析自旋軌道耦合作用對(duì)Band絕緣態(tài)、BCDW態(tài)和Mott絕緣態(tài)的影響。

1 理論模型

一維光學(xué)晶格自旋軌道耦合（SOC）哈密頓量［4－6］

H0是存在簡(jiǎn)諧外勢(shì)的一維超晶格Fermi－Hubbard模型的哈密頓量［2］，

HSO是自旋軌道耦合項(xiàng)［1，9］

我們定義雙占位周期的局域勢(shì)能為V［2］i

Fig.1 Potential profiles of（a）two－site periodic superlattice and（b）with a confining potential.VSLis the difference between the potential energies of odd and even sites圖1 勢(shì)能分布圖（a）雙占位周期超晶格（b）有外勢(shì)的超晶格。VSL為費(fèi)米子在奇偶位置的勢(shì)能差

我們首先研究在晶格中的粒子數(shù)密度分布ni，而且由于超晶格的粒子數(shù)密度分布呈現(xiàn)復(fù)雜的鋸齒狀，為了便于觀察，我們計(jì)算單位晶格中的平均粒子數(shù)密度分布

2 模擬結(jié)果及分析

在光晶格中，如圖2（a）所示粒子數(shù)密度分布［10－12］在中間部分達(dá)到1，圖2（c）所示漲落在中間部分非常小，系統(tǒng)處在Mott絕緣態(tài)；當(dāng)自旋軌道耦合作用在處于Mott絕緣態(tài)的系統(tǒng)上時(shí)，從圖2（b）中我們看到粒子數(shù)密度分布變?yōu)楣饣€，圖2（d）所示的漲落整體明顯增大，說(shuō)明自旋軌道耦合能使系統(tǒng)發(fā)生Mott絕緣態(tài)與金屬態(tài)之間的相變。

如圖2（e）所示系統(tǒng)在金屬態(tài)下的粒子數(shù)密度分布；當(dāng)自旋軌道耦合作用在處于金屬態(tài)的系統(tǒng)上時(shí)，從圖2（f）我們看到粒子數(shù)密度分布扁平，圖2（h）漲落整體明顯增大，說(shuō)明自旋軌道耦合對(duì)系統(tǒng)的金屬性起到增強(qiáng)的作用。

Fig.2 Density and variance of Mott insulator phase and mettallic phase with spin－orbit couplingL＝30 N＝30 V＝8 U＝3（Mott態(tài)）U＝1（金屬態(tài)）圖2 Mott絕緣態(tài)和金屬態(tài)粒子數(shù)密度分布和漲落隨著λ變化的情況

我們已經(jīng)研究了在光晶格中自旋軌道耦合對(duì)費(fèi)米系統(tǒng)的影響，現(xiàn)在繼續(xù)探索在超晶格中產(chǎn)生的影響。圖3所示是相互作用U＝0時(shí)，系統(tǒng)處于Band絕緣態(tài)的情況。從圖3（a）和圖3（b）中我們看到超晶格的粒子數(shù)密度分布呈復(fù)雜的鋸齒狀，不易觀察；所以進(jìn)一步觀察粒子數(shù)密度平均分布，在圖3（d）中，我們看到粒子數(shù)密度平均分布有所變化，但還不能確定發(fā)生相變；繼續(xù)觀察漲落情況，從圖3（f）中看到漲落整體變大，粒子躍遷活躍，證明系統(tǒng)在自旋軌道耦合作用下，發(fā)生了Band絕緣態(tài)與金屬態(tài)之間的相變。

Fig.3 Density，variance，density averaged within the unit cell of Band insulator phase with spin－orbit couplingVSL＝6L＝60 N＝40 U＝0V＝20圖3 Band絕緣態(tài)粒子數(shù)密度分布、漲落、單位晶格的粒子數(shù)密度平均分布隨著λ變化的情況

圖4是在相互作用U＝3下系統(tǒng)處于電荷密度波（BCDW）態(tài)［2］的情況。如圖4（b）所示粒子數(shù)密度平均分布幾乎平滑，系統(tǒng)已經(jīng)相變?yōu)榻饘賾B(tài)；如圖4（c）看到漲落在0.1附近，圖4（d）中間的漲落大于0.1，進(jìn)一步說(shuō)明系統(tǒng)在自旋軌道耦合作用下，發(fā)生了自旋密度波（BCDW）態(tài)與金屬態(tài)之間的相變。

圖5是在相互作用U＝16下系統(tǒng)處于Mott絕緣態(tài)的情況。圖5（d）所示漲落整體明顯增大，說(shuō)明系統(tǒng)在自旋軌道耦合作用下，發(fā)生Mott絕緣態(tài)與金屬態(tài)之間的相變。

在超晶格中，我們已經(jīng)研究了自旋軌道耦合的作用可以使系統(tǒng)發(fā)生相變的情況，最后通過(guò)相圖進(jìn)一步分析自旋軌道耦合作用由弱到強(qiáng)對(duì)系統(tǒng)的影響。圖6是λ－U的相圖，當(dāng)自旋軌道耦合作用較弱時(shí)，系統(tǒng)隨著相互作用強(qiáng)度U的增強(qiáng)依次出現(xiàn)了Band絕緣態(tài)、BCDW態(tài)、Mott絕緣態(tài)。當(dāng)自旋軌道耦合作用較強(qiáng)時(shí)，系統(tǒng)僅呈現(xiàn)為金屬態(tài)。通過(guò)相圖，我們發(fā)現(xiàn)自旋軌道耦合可以使體系的金屬性增強(qiáng)。

Fig.4 Density averaged within the unit cell，variance of BCDW phase with spin－orbit couplingVSL＝6L＝60 N＝40 U＝3 V＝20圖4 BCDW態(tài)粒子數(shù)密度平均分布、漲落隨著λ變化的情況

Fig.5 Density averaged within the unit cell，variance of Mott insulator phase with spin－orbit couplingVSL＝6L＝60 N＝40 U＝16 V＝20圖5 Mott絕緣態(tài)粒子數(shù)密度平均分布、漲落隨著λ變化的情況

Fig.6 Phase diagram as a function of spin oribit coupledλand interraction U.Four different phases：Band insulator（BI），Bond－charge density－wave（BCDW），Mott insulator（MI），Metallic state（MS）L＝60 N＝40 V＝20圖6 一維超晶格自旋軌道耦合λ和相互作用強(qiáng)度U的相圖，其中有四種不同的相：Band絕緣態(tài)（BI）、電荷密度波態(tài)（BCDW）、Mott絕緣態(tài)（MI）、金屬態(tài)（MS）

3 結(jié)論

我們用DMRG方法計(jì)算自旋軌道耦合作用下的一維光學(xué)晶格與超晶格中的排斥費(fèi)米氣體的相變。光晶格中，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在自旋軌道耦合作用下，發(fā)生Mott絕緣態(tài)與金屬態(tài)之間的相變，金屬態(tài)的金屬性增強(qiáng)；超晶格中，在不同的相互作用強(qiáng)度下，系統(tǒng)出現(xiàn)Band絕緣態(tài)、自旋密度波（BCDW）態(tài)和Mott絕緣態(tài)，當(dāng)自旋軌道耦合作用較強(qiáng)時(shí)，三種態(tài)發(fā)生與金屬態(tài)之間的相變。我們通過(guò)相圖分析了自旋軌道耦合強(qiáng)度和相互作用強(qiáng)度對(duì)相變的影響。

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