劉新建++李衛(wèi)東

摘 要 利用解析與數(shù)值方法，對(duì)處于對(duì)稱雙勢(shì)阱中的玻色愛因斯坦凝聚體中，勢(shì)壘寬度對(duì)系統(tǒng)非線性耦合及其動(dòng)力學(xué)的影響進(jìn)行了研究.研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)勢(shì)壘寬度較大時(shí)，系統(tǒng)的線性耦合強(qiáng)度可迅速減小；在勢(shì)壘寬度大于03且非線性強(qiáng)度較大時(shí)，線性耦合強(qiáng)度遠(yuǎn)小于非線性耦合項(xiàng)，此時(shí)玻色約瑟夫森結(jié)模型的動(dòng)力學(xué)特性由非線性耦合強(qiáng)度來決定.同時(shí)對(duì)勢(shì)壘寬度對(duì)BEC約瑟夫森振蕩的周期和發(fā)生宏觀量子自俘獲時(shí)的非線性臨界值進(jìn)行了詳細(xì)的研究.

關(guān)鍵詞 對(duì)稱雙方勢(shì)阱；雙模近似； 玻色約瑟夫森結(jié)； 宏觀量子自俘獲

中圖分類號(hào) O469文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A文章編號(hào) 10002537（2014）03005305

自玻色愛因斯坦凝聚體（BECs）實(shí)現(xiàn)以來，理論[19]和實(shí)驗(yàn)[1011]都對(duì)其進(jìn)行了廣泛的研究.雙勢(shì)阱模型作為一個(gè)簡(jiǎn)單的物理模型，主要研究量子干涉效應(yīng)和約瑟夫森效應(yīng)的典型結(jié)構(gòu).早在1997年Smerzi等人就利用玻色約瑟夫森模型對(duì)雙勢(shì)阱中排斥相互作用原子的隧穿動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究[1]，并在理論上得出了一種非線性現(xiàn)象：宏觀量子自俘獲（MQST）[24].十年后在光晶格中人們觀察到了約瑟夫森振蕩[10]，在雙勢(shì)阱中觀察到了約瑟夫森振蕩和宏觀量子自俘獲[11].這些工作都是基于用一束失諧的激光把一個(gè)磁諧振子勢(shì)從中一分為二，實(shí)現(xiàn)雙勢(shì)阱，這樣囚禁在其中的BECs就一分為二，適當(dāng)調(diào)節(jié)雙勢(shì)阱之間的勢(shì)壘高度就形成了兩團(tuán)弱耦合BECs.李衛(wèi)東等人指出在修正的玻色約瑟夫森結(jié)模型中不僅存在線性耦合項(xiàng)而且存在非線性耦合項(xiàng)，并且發(fā)現(xiàn)在弱耦合，即滿足雙模近似的條件下，勢(shì)壘高度和寬度不發(fā)生變化的情況下隨著非線性增加非線性耦合項(xiàng)將達(dá)到甚至超過線性耦合項(xiàng)，從而影響雙勢(shì)阱中BECs的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[78].我們知道在實(shí)驗(yàn)中可以通過調(diào)節(jié)Feshbach共振改變非線性強(qiáng)度[1011].同樣可以改變激光脈沖的強(qiáng)度來調(diào)節(jié)勢(shì)壘的高度和寬度，從而影響兩勢(shì)阱的耦合強(qiáng)度.本文在對(duì)稱雙方勢(shì)阱這一模型中，利用文獻(xiàn)[8]的方法，研究了勢(shì)壘寬度對(duì)對(duì)稱雙方勢(shì)阱中BECs非線性耦合強(qiáng)度及其動(dòng)力學(xué)影響.

1 非線性雙模近似模型

零溫下對(duì)稱雙方勢(shì)阱中弱相互作用的BECs的波函數(shù)滿足一維GP方程：

此式比方程（6）更簡(jiǎn)潔.但此式必須在弱耦合和強(qiáng)非線性同時(shí)滿足的條件下才能滿足.對(duì)于雙勢(shì)阱模型所采用的雙模近似在耦合強(qiáng)度越弱的情況下，近似程度越高；同時(shí)非線性強(qiáng)度可以通過調(diào)節(jié)Feshbach共振改變.所以上式能很好地描述雙模近似模型下強(qiáng)相互作用的量子氣體.

2 勢(shì)壘寬度對(duì)動(dòng)力學(xué)的影響

2.1 約瑟夫森振蕩

利用（6）式取勢(shì)壘高度V0=200，勢(shì)壘寬度分別取b=0.15，0.30，0.45.粒子布局?jǐn)?shù)差初始值z(mì)（0）=001，初始相位差為φ（0）=0計(jì)算出其粒子布局?jǐn)?shù)差隨時(shí)間變化圖像，及其對(duì)應(yīng)的相位差圖像.如圖1可知，粒子數(shù)布局?jǐn)?shù)差平均值為零，所以BECs進(jìn)行約瑟夫森振蕩.勢(shì)壘寬度增加，勢(shì)阱間耦合強(qiáng)度減弱，其他條件相同的情況下，勢(shì)壘寬度越大，雙勢(shì)阱系統(tǒng)中BECs做約瑟夫森振蕩的周期越長(zhǎng)；相位差的變化周期與粒子數(shù)布局差周期規(guī)律一致.

2.2 宏觀量子自俘獲

同樣利用公式（6）取勢(shì)壘高度V0=200，初始相位差為φ（0）=0，且勢(shì)壘寬度分別取b=0.15，0.30，045.與小幅振蕩不同的是這里選取粒子布局?jǐn)?shù)差的初始值z(mì)（0）=0.1.計(jì)算出其粒子布局?jǐn)?shù)差隨時(shí)間變化圖像及其對(duì)應(yīng)的相位差圖像.由圖2可以看出不同的勢(shì)壘寬度在其他條件一致的情況下出現(xiàn)的振蕩形式不同；勢(shì)壘寬度越大的越容易出現(xiàn)粒子數(shù)布局?jǐn)?shù)差平均值為非零，即宏觀量子自俘獲，關(guān)于這一點(diǎn)文章后續(xù)還有說明.從圖2還可以看出當(dāng)粒子布局?jǐn)?shù)差進(jìn)入宏觀量子自俘獲相時(shí)，左右勢(shì)阱中波函數(shù)相位差變成了相位的持續(xù)增加.

圖2 不同勢(shì)壘寬度和η=5，40時(shí)，粒子布局?jǐn)?shù)差和相位差隨時(shí)間演化

Fig.2 The time evolution of particle population imbalance and phase difference for various barrier width and η=5，40

2.3 弱耦合強(qiáng)相互作用下的動(dòng)力學(xué)

當(dāng)勢(shì)壘的寬度較寬且非線性較強(qiáng)時(shí)，對(duì)稱雙勢(shì)阱中BECs的隧穿動(dòng)力學(xué)可以用（8）式描述，選取勢(shì)壘寬度b=0.30，非線性強(qiáng)度為η=80，來比較保留線性耦合項(xiàng)和忽略線性耦合項(xiàng)對(duì)其動(dòng)力學(xué)的影響，驗(yàn)證簡(jiǎn)化式（8）的合理性.從圖3可以看出在上述條件下忽略線性耦合項(xiàng)對(duì)BECs的動(dòng)力學(xué)影響較小.因此可知（8）式能較好地刻畫強(qiáng)相互作用下BECs的動(dòng)力學(xué)行為.

圖3 φ（0）=0，z（0）分別為0.05，0.10時(shí)保留線性耦合項(xiàng)和忽略線性耦合項(xiàng)時(shí)，粒子布局?jǐn)?shù)差和相位差隨時(shí)間演化對(duì)比

Fig.3 The contrast time evolution images of particle population imbalance and phase difference between keeping the linear coupling term and ignoring it when φ（0）=0， z（0）=0.05 and 0.10

2.4 勢(shì)壘寬度對(duì)宏觀量子自俘獲的非線性臨界值的影響

宏觀量子自俘獲現(xiàn)象是玻色約瑟夫森結(jié)模型中的一種新奇的量子現(xiàn)象.對(duì)于給定的模型中當(dāng)初始相位差φ（0）=0，對(duì)應(yīng)的初始粒子布局?jǐn)?shù)差臨界值為：

z（0）=2Λ2Λ（κ+χ）-4（κ+χ）2.（10）

圖4 不同勢(shì)壘寬度下初始粒子數(shù)差臨界值隨非線性強(qiáng)度變化圖像

Fig.4 The threshold of initial population imbalance varies with the change of nonlinear intensity under different barrier widths

因此改變勢(shì)壘寬度和非線性強(qiáng)度都會(huì)改變臨界值z(mì)（0）.由圖4可知，隨著勢(shì)壘寬度越大，在相同的粒子數(shù)差初始情況下，動(dòng)力學(xué)從約瑟夫森振動(dòng)向宏觀量子自俘獲轉(zhuǎn)變的非線性值越小.同時(shí)發(fā)現(xiàn)勢(shì)壘較寬的模型出現(xiàn)自俘獲的區(qū)間較大.

3 結(jié)論

在對(duì)稱雙方勢(shì)阱中，利用修正的約瑟夫森模型，系統(tǒng)地研究了勢(shì)壘寬度對(duì)線性耦合項(xiàng)及其動(dòng)力學(xué)的影響.發(fā)現(xiàn)在b≥0.30弱耦合模型，強(qiáng)相互作用下，非線性耦合項(xiàng)將變成主要耦合項(xiàng)，修正的約瑟夫森雙模動(dòng)力學(xué)模型（6）式可以簡(jiǎn)化為（8）式.同時(shí)發(fā)現(xiàn)在相同非線性強(qiáng)度下，勢(shì)壘越寬，約瑟夫森振蕩的周期越大，宏觀量子自俘獲的初始臨界值越小.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)在弱耦合強(qiáng)相互作用下簡(jiǎn)化的約瑟夫森模型能夠很好地描述雙方勢(shì)阱中BECs的動(dòng)力學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1] SMERZI A， FANTONI S， GIOVANAZZI S， et al. Quantum coherent atomic tunnneling between two trapped BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev Lett， 1998，79（25）：49504953.

[2] RAGHAVAN S， SMERZI A， FANTONI S， et al. Transitions in coherent oscillations between two trapped BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev A， 1999，60（3）：620624.

[3] THIAGO F VOSCONDI， FURUYA K. Dynamics of a BoseEinstein condensate in a symmetric triplewell trap[J]. J Phys A： Math Theor， 2011，44（17）：175301175303.

[4] MAHMUD K W， KUTZ J N， REINHARDT W P. BoseEinstein condensates in a onedimensional double square well： Analytical solutions of the nonlinear Schrdinger equation[J]. Phys Rev A， 2002，66（6）：063607.

[5] LIN B， FU L B， YANG S P， et al. Josephson oscillation and transition to selftrapping for Bose Einstein condensates in a triplewell trap[J]. Phys Rev A， 2007，75（3）：033601.

[6] CHENG J， JING H， YAN Y J. Spinmixing dynamics in a spin1 atomic condensate coupled with a molecular[J]. Phys Rev A， 2008，77（R）（6）：061604.

[7] LI W D. Stationary solutions of GrossPitaevskii equations in a double square well[J]. Phys Rev A， 2006，74（6）：063612.

[8] JIA X Y， LI W D， LIANG J Q. Nonliner correction to the boson Josephsonjunction model[J]. Phys Rev A， 2008，78（2）：023613.

[9] XIE Q T， HAI W H. Coherent control of selftrapping of two weakly coupled BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev A， 2007，75（1）：015603.

[10] MAHMUD K W， PENG H， REINHARDT W P. Quantum phasespace picture of BoseEinstein condensates in a double well[J]. Phys Rev A， 2005，71（2）：023615.

[11] ALBIEZ M， GATI R， FOLLING J， et al. Direct observation of tunneling and nonlinear selftrapping in a single bosonic josephson junction[J]. Phys Rev Lett， 2005，95（1）：010402.

（編輯 陳笑梅）

因此改變勢(shì)壘寬度和非線性強(qiáng)度都會(huì)改變臨界值z(mì)（0）.由圖4可知，隨著勢(shì)壘寬度越大，在相同的粒子數(shù)差初始情況下，動(dòng)力學(xué)從約瑟夫森振動(dòng)向宏觀量子自俘獲轉(zhuǎn)變的非線性值越小.同時(shí)發(fā)現(xiàn)勢(shì)壘較寬的模型出現(xiàn)自俘獲的區(qū)間較大.

3 結(jié)論

在對(duì)稱雙方勢(shì)阱中，利用修正的約瑟夫森模型，系統(tǒng)地研究了勢(shì)壘寬度對(duì)線性耦合項(xiàng)及其動(dòng)力學(xué)的影響.發(fā)現(xiàn)在b≥0.30弱耦合模型，強(qiáng)相互作用下，非線性耦合項(xiàng)將變成主要耦合項(xiàng)，修正的約瑟夫森雙模動(dòng)力學(xué)模型（6）式可以簡(jiǎn)化為（8）式.同時(shí)發(fā)現(xiàn)在相同非線性強(qiáng)度下，勢(shì)壘越寬，約瑟夫森振蕩的周期越大，宏觀量子自俘獲的初始臨界值越小.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)在弱耦合強(qiáng)相互作用下簡(jiǎn)化的約瑟夫森模型能夠很好地描述雙方勢(shì)阱中BECs的動(dòng)力學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1] SMERZI A， FANTONI S， GIOVANAZZI S， et al. Quantum coherent atomic tunnneling between two trapped BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev Lett， 1998，79（25）：49504953.

[2] RAGHAVAN S， SMERZI A， FANTONI S， et al. Transitions in coherent oscillations between two trapped BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev A， 1999，60（3）：620624.

[3] THIAGO F VOSCONDI， FURUYA K. Dynamics of a BoseEinstein condensate in a symmetric triplewell trap[J]. J Phys A： Math Theor， 2011，44（17）：175301175303.

[4] MAHMUD K W， KUTZ J N， REINHARDT W P. BoseEinstein condensates in a onedimensional double square well： Analytical solutions of the nonlinear Schrdinger equation[J]. Phys Rev A， 2002，66（6）：063607.

[5] LIN B， FU L B， YANG S P， et al. Josephson oscillation and transition to selftrapping for Bose Einstein condensates in a triplewell trap[J]. Phys Rev A， 2007，75（3）：033601.

[6] CHENG J， JING H， YAN Y J. Spinmixing dynamics in a spin1 atomic condensate coupled with a molecular[J]. Phys Rev A， 2008，77（R）（6）：061604.

[7] LI W D. Stationary solutions of GrossPitaevskii equations in a double square well[J]. Phys Rev A， 2006，74（6）：063612.

[8] JIA X Y， LI W D， LIANG J Q. Nonliner correction to the boson Josephsonjunction model[J]. Phys Rev A， 2008，78（2）：023613.

[9] XIE Q T， HAI W H. Coherent control of selftrapping of two weakly coupled BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev A， 2007，75（1）：015603.

[10] MAHMUD K W， PENG H， REINHARDT W P. Quantum phasespace picture of BoseEinstein condensates in a double well[J]. Phys Rev A， 2005，71（2）：023615.

[11] ALBIEZ M， GATI R， FOLLING J， et al. Direct observation of tunneling and nonlinear selftrapping in a single bosonic josephson junction[J]. Phys Rev Lett， 2005，95（1）：010402.

（編輯 陳笑梅）

因此改變勢(shì)壘寬度和非線性強(qiáng)度都會(huì)改變臨界值z(mì)（0）.由圖4可知，隨著勢(shì)壘寬度越大，在相同的粒子數(shù)差初始情況下，動(dòng)力學(xué)從約瑟夫森振動(dòng)向宏觀量子自俘獲轉(zhuǎn)變的非線性值越小.同時(shí)發(fā)現(xiàn)勢(shì)壘較寬的模型出現(xiàn)自俘獲的區(qū)間較大.

3 結(jié)論

在對(duì)稱雙方勢(shì)阱中，利用修正的約瑟夫森模型，系統(tǒng)地研究了勢(shì)壘寬度對(duì)線性耦合項(xiàng)及其動(dòng)力學(xué)的影響.發(fā)現(xiàn)在b≥0.30弱耦合模型，強(qiáng)相互作用下，非線性耦合項(xiàng)將變成主要耦合項(xiàng)，修正的約瑟夫森雙模動(dòng)力學(xué)模型（6）式可以簡(jiǎn)化為（8）式.同時(shí)發(fā)現(xiàn)在相同非線性強(qiáng)度下，勢(shì)壘越寬，約瑟夫森振蕩的周期越大，宏觀量子自俘獲的初始臨界值越小.通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)在弱耦合強(qiáng)相互作用下簡(jiǎn)化的約瑟夫森模型能夠很好地描述雙方勢(shì)阱中BECs的動(dòng)力學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1] SMERZI A， FANTONI S， GIOVANAZZI S， et al. Quantum coherent atomic tunnneling between two trapped BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev Lett， 1998，79（25）：49504953.

[2] RAGHAVAN S， SMERZI A， FANTONI S， et al. Transitions in coherent oscillations between two trapped BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev A， 1999，60（3）：620624.

[3] THIAGO F VOSCONDI， FURUYA K. Dynamics of a BoseEinstein condensate in a symmetric triplewell trap[J]. J Phys A： Math Theor， 2011，44（17）：175301175303.

[4] MAHMUD K W， KUTZ J N， REINHARDT W P. BoseEinstein condensates in a onedimensional double square well： Analytical solutions of the nonlinear Schrdinger equation[J]. Phys Rev A， 2002，66（6）：063607.

[5] LIN B， FU L B， YANG S P， et al. Josephson oscillation and transition to selftrapping for Bose Einstein condensates in a triplewell trap[J]. Phys Rev A， 2007，75（3）：033601.

[6] CHENG J， JING H， YAN Y J. Spinmixing dynamics in a spin1 atomic condensate coupled with a molecular[J]. Phys Rev A， 2008，77（R）（6）：061604.

[7] LI W D. Stationary solutions of GrossPitaevskii equations in a double square well[J]. Phys Rev A， 2006，74（6）：063612.

[8] JIA X Y， LI W D， LIANG J Q. Nonliner correction to the boson Josephsonjunction model[J]. Phys Rev A， 2008，78（2）：023613.

[9] XIE Q T， HAI W H. Coherent control of selftrapping of two weakly coupled BoseEinstein condensates[J]. Phys Rev A， 2007，75（1）：015603.

[10] MAHMUD K W， PENG H， REINHARDT W P. Quantum phasespace picture of BoseEinstein condensates in a double well[J]. Phys Rev A， 2005，71（2）：023615.

[11] ALBIEZ M， GATI R， FOLLING J， et al. Direct observation of tunneling and nonlinear selftrapping in a single bosonic josephson junction[J]. Phys Rev Lett， 2005，95（1）：010402.

（編輯 陳笑梅）