劉明鼎，張艷敏

變系數(shù)時間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程的數(shù)值解法

*劉明鼎，張艷敏

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東，青島 266106)

對一類變系數(shù)時間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程給出了一種有限差分解法，將對時間的一階導(dǎo)數(shù)利用(0＜＜1)階導(dǎo)數(shù)來代替，同時證明了該格式的收斂性與穩(wěn)定性，數(shù)值算例驗(yàn)證該方法有效。

變系數(shù)；時間分?jǐn)?shù)階；延遲微分方程；無條件收斂；無條件穩(wěn)定

延遲微分方程模型在自然界中可以用來描述很多物理現(xiàn)象，而分?jǐn)?shù)階延遲微分方程是其中重要的一類方程，時間分?jǐn)?shù)階微分方程能更好的描述一些反?，F(xiàn)象、多孔介質(zhì)等問題的發(fā)生過程[1]。由于分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解很難獲得，所以很多學(xué)者為此研究數(shù)值解[1-5]。

本文將考慮如下初值時間變系數(shù)分?jǐn)?shù)階延遲微分方程：

1 差分方程的構(gòu)造

對式(4)化簡得：

對方程(1)通過式(5)分情況寫成如下兩個差分方程：

2 差分格式穩(wěn)定性的證明

定理1 差分方程（6）、（7）是無條件穩(wěn)定的。

由式（6）、（7）得誤差格式為：

則當(dāng)=1時，由式(8)得：

因此定理結(jié)論成立。

3 差分格式收斂性的證明

由局部截斷誤差定義以及式（3）、（6）、（7）得：

定理2 差分方程（6）、（7）是無條件收斂的。

證明：當(dāng)=1時，由式(10)得：

4 數(shù)值算例

表1 數(shù)值解的相對誤差

通過這個數(shù)值算例，可以說明本文給出的數(shù)值解法是解決此類問題的一個有效方法。

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NUMERICAL METHOD FOR SOLVING VARIABLE COEFFICIENTS TIME FRACTIONAL DELAY DIFFERENTIAL EQUATION

*LIU Ming-ding，ZHANG Yan-min

(Qindao College ,Qingdao Technological University, Qingdao, Shandong 266106, China)

A numerical method was given to solve a time fractional delay differential equation with variable coefficients, which the first order derivative was replaced by a fractional derivative of order(0＜＜1). Furthermore, we also prove the difference scheme is unconditional stable and unconditional convergence. Numerical example shows that the numerical method is a practical method.

variable coefficients; time fractional; delay differential equation; unconditional convergence; unconditional stable

O241.82

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2014.06.001

1674-8085(2014)06-0001-03

2014-05-21；

2014-07-08

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11271101)

*劉明鼎(1982-)，男，遼寧大連人，講師，碩士，主要從事偏微分方程數(shù)值解研究(E-mail:lmd0313@163.com);

張艷敏(1981-)，女，山東東營人，講師，碩士，主要從事偏微分方程數(shù)值解研究(E-mail:elva810118@163.com).