陸宇威 劉景鋒

摘 要：在數(shù)學物理方法中，圍道積分是計算一些實變及復變函數(shù)積分的重要方法。本文應(yīng)用圍道積分推導色散關(guān)系式及處理原子自發(fā)輻射的動力學演化問題，從而讓學生認識到，圍道積分是后面處理重要物理問題的有力工具，進而激發(fā)學生的學習興趣。

關(guān)鍵詞：圍道積分 色散關(guān)系 自發(fā)輻射

中圖分類號：O4 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）06（a）-0249-03

圍道積分的計算涉及留數(shù)定理、多值函數(shù)等內(nèi)容。在學習數(shù)學物理方法過程中，從圍道積分的介紹、推導到應(yīng)用計算，往往都是純數(shù)學的，強調(diào)了其數(shù)學性質(zhì)而忽視了物理應(yīng)用，這不僅容易使學生失去學習興趣，而且偏離了開設(shè)這門課程的目的。為此，我們在實際教學過程中改進常規(guī)的教學方式，給學生展示圍道積分在處理物理學問題上的應(yīng)用，在這個過程中既強調(diào)數(shù)學推導，又強調(diào)其物理應(yīng)用，最后還訓練了學生的應(yīng)用計算和數(shù)值仿真能力，因而在教學中取得了很好的反響和教學效果。本文將針對目前物理學中的幾個研究熱點展開討論。

1 光學微腔中及光學色散中的希爾伯特變換

一個因果物理系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的實部與虛部之間滿足希爾伯特變換對[1]：

（1）

這一對關(guān)系式在物理上有著廣泛應(yīng)用稱為色散關(guān)系[2]，現(xiàn)結(jié)合具體例子，應(yīng)用圍道積分解決實際問題。

當輻射子處在泄漏微腔中時，腔內(nèi)的局域態(tài)密度可以由洛倫茲函數(shù)來描述[3]，如（2）式，其能級移動可表示為（3）式，下面應(yīng)用圍道積分來證明它們滿足色散關(guān)系。

（2）

（3）

因為在實軸上有單極點，我們以為圓心，以充分小的正數(shù)ε為半徑作圓弧繞過ω，構(gòu)成積分回路如圖1所示。

容易解出另外兩個單極點（去掉，因為其虛部小于零不在圍道內(nèi)）和。記，應(yīng)用留數(shù)定理，有：

（4）

當左邊積分值為，而右邊第一、第二項為所求積分，第三項為零，第四項為，即（4）可化簡為：

（5）

于是：

（6）

同樣地，應(yīng)用留數(shù)定理，可算得：

（7）

模擬出這兩個函數(shù)的圖像如圖2所示，相關(guān)物理意義見參考文獻[3]。

2 輻射子自發(fā)輻射衰減動力學

輻射子自發(fā)輻射衰減動力學方程滿足下式[3]：

（8）

令，可得：

（9）

設(shè)其三個根分別為。為了便于推導，假設(shè)所有根都有物理意義。同時考慮的多值特性，在應(yīng)用留數(shù)定理進行計算時選取幅角為到的一個黎曼面，構(gòu)成積分回路如圖3所示，枝點為，虛線為枝切線（）。

把（9）式寫成留數(shù)的貢獻減去枝切（）的貢獻為：

（10）

令，，則，容易得到積分留數(shù)值為：

（11）

令，再令來計算枝切的貢獻，最后得：

（12）

結(jié)合（10）（11）和（12），得：

（13）

設(shè)置好參數(shù)，模擬出圖像如圖4所示，相關(guān)物理意義見參考文獻[3]。

3 光子晶體自發(fā)輻射的非旋波近似處理

用非旋波近似方法處理光子晶體自發(fā)輻射過程得到如下的演化公式[4]

（14）

其中

（15）

令，易知有五個零點，設(shè)符合要求的零點的集合為，同時考慮的多值特性，在計算時選取幅角為到的一個黎曼面，構(gòu)成積分回路如圖5所示。

仿照（10），把（14）寫成留數(shù)的貢獻減去枝切的貢獻：

（16）

令，，，，，

（16）變?yōu)椋?/p>