□ 劉永平 □ 王 鵬 □ 縣喜龍

蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

一對(duì)相互嚙合的橢圓齒輪，因其機(jī)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)平衡、能實(shí)現(xiàn)單向循環(huán)變速運(yùn)動(dòng)和一定要求的變速傳動(dòng)［1～4］，在許多機(jī)械動(dòng)力機(jī)構(gòu)中都有應(yīng)用并且在工業(yè)上的應(yīng)用越來(lái)越廣，故對(duì)橢圓齒輪的設(shè)計(jì)與加工有了更高的要求［5,6］。目前，生成非圓齒輪齒廓的方案一般有兩種，一種是模擬實(shí)際加工的過(guò)程，用展成運(yùn)動(dòng)通過(guò)VC等來(lái)獲得包絡(luò)后的齒廓數(shù)據(jù)，并提取其齒廓數(shù)據(jù)至AutoCAD（CAXA）等軟件中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，然后在UG（Pro/E）等軟件中生成三維模型，并對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，或在ANSYS（ADMAS）中進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。另外一種方法是用折算齒形法來(lái)繪制非圓齒輪的漸開線齒廓。本文對(duì)生成橢圓齒輪齒廓的第二種方法進(jìn)行了研究。

1 橢圓齒輪設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)

1.1 橢圓齒輪的節(jié)曲線設(shè)計(jì)

橢圓齒輪的節(jié)曲線是比較常見(jiàn)的封閉型節(jié)曲線，如圖1所示，當(dāng)橢圓齒輪的回轉(zhuǎn)中心在左焦點(diǎn)上O時(shí)，橢圓的極坐標(biāo)方程為：

▲圖1 橢圓齒輪節(jié)曲線

圓齒輪的輪齒在分度圓上位置是可以任意分布的，但非圓齒輪的輪齒不能隨意分布，由于其兩個(gè)相互嚙合的非圓齒輪的節(jié)曲線的切點(diǎn)位置是一一對(duì)應(yīng)的［7］，因此必須保證輪齒在非圓齒輪節(jié)曲線上均勻分布，即橢圓齒輪的輪齒須均勻地分布于其節(jié)曲線上。不失一般性，假設(shè)橢圓齒輪的齒數(shù)為z，模數(shù)為m，橢圓的節(jié)曲線的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，即此三者必須滿足：

1.2 橢圓齒輪齒廓的數(shù)學(xué)模型

非圓齒輪的齒廓形狀可由齒形漸屈線的漸伸線來(lái)確定，而漸伸線可以由作圖法獲得，其理論基礎(chǔ)為根據(jù)漸屈線的求長(zhǎng)法來(lái)確定漸伸線。但非圓齒輪節(jié)曲線的曲率中心和齒形漸屈線的曲率中心沒(méi)有公共軌跡，因此齒形漸屈線不可能是齒輪節(jié)曲線的法向等距線，所以求齒形的漸屈線并用數(shù)學(xué)方程量化的描述有困難［8］。故采取相對(duì)于上述齒形漸屈線的漸伸線較為簡(jiǎn)單的折算齒形法來(lái)繪制橢圓齒輪的齒廓。

▲圖2 折算齒形法繪制橢圓齒輪齒廓

橢圓齒輪的齒形較漸開線圓齒輪要復(fù)雜得多，因?yàn)槠淙我庖惠嘄X其左右齒形是不相同的。用折算齒形法生成橢圓齒輪的漸開線齒形的數(shù)學(xué)模型如圖2所示。圖中：O為橢圓齒輪節(jié)曲線中心也是坐標(biāo)系YOX的坐標(biāo)原點(diǎn)；ρ為折算齒形輪齒節(jié)曲線的曲率半徑；O1既是ρ的端點(diǎn)，又是坐標(biāo)系Y1O1X1的坐標(biāo)原點(diǎn)；A為折算齒形漸開線4上任意一點(diǎn)；B為漸開線齒形4在A點(diǎn)的法線與基圓6的交點(diǎn)；C為漸開線齒形的起點(diǎn)；μ為O1C與O1B的夾角；β為X軸與O1B的夾角；m、n分別為坐標(biāo)系Y1O1X1的原點(diǎn)在坐標(biāo)系YOX中的橫、縱坐標(biāo)；1為橢圓齒輪的節(jié)曲線，2為齒頂曲線，3為折算齒形的左側(cè)漸開線，4為折算齒形的右側(cè)漸開線，5為曲率圓，6為基圓，7為齒根曲線。

對(duì)于漸開線右齒形4的方程在坐標(biāo)系Y1O1X1中可描述為：

坐標(biāo)系Y1O1X1中的坐標(biāo)可以通過(guò)變換矩陣M01轉(zhuǎn)換至坐標(biāo)系YOX中，即：

2 齒根過(guò)渡曲線的設(shè)計(jì)

齒根的過(guò)渡曲線對(duì)齒輪的嚙合性能沒(méi)有影響，當(dāng)用滾刀或齒條刀加工漸開線齒輪時(shí)，齒根過(guò)渡曲線會(huì)自然生成［9］，但其對(duì)齒輪的齒根強(qiáng)度和壽命影響很大。如圖2所示，從漸開線的起點(diǎn)C至橢圓齒輪的齒根曲線是沒(méi)有漸開線的，即每一個(gè)折算后的輪齒，其基圓內(nèi)無(wú)漸開線，故用折算齒形法繪制齒廓齒根過(guò)渡曲線，有時(shí)候是無(wú)法生成的，只能通過(guò)拾取已得到的漸開線上的數(shù)據(jù)來(lái)擬合，理論上只要拾取的數(shù)據(jù)足夠多，采取的方法合理，那么擬合的曲線就會(huì)有足夠的精度。

在圖2中提取折算齒形漸開線3、4上的點(diǎn)見(jiàn)表1，用其坐標(biāo)點(diǎn)擬合的曲線如圖3、4所示。

圖3中3xy為15個(gè)提取的樣本點(diǎn)，quadratic為二次擬合曲線：

cubic為三次擬合曲線：

圖4中4xy為15個(gè)提取的樣本點(diǎn)，quadratic為二次擬合曲線：c

▲圖3 漸開線3上點(diǎn)的擬合曲線

▲圖4 漸開線4上點(diǎn)的擬合曲線

▲圖5 橢圓齒輪折算齒形漸開線

表1 漸開線3、4的坐標(biāo)點(diǎn)/mm

ubic為三次擬合曲線：

通過(guò)上述圖形可知，其擬合曲線采用三次擬合曲線方程較為合理。

用折算齒形法繪制齒廓時(shí)，從圖5中可看到，在橢圓齒輪節(jié)曲線上不同點(diǎn)處，隨著曲率半徑的變化，漸開線至齒根曲線的距離是變化的，其趨勢(shì)為隨著曲率半徑的增加，折算齒形漸開線的起點(diǎn)至齒根曲線的距離在減小，這在用折算齒形法繪制三階橢圓時(shí)尤為明顯，如圖6所示。

因?yàn)閳A齒輪分度圓大于基圓而齒頂圓大于齒根圓，但基圓和齒根圓的大小關(guān)系則不一定［10］?；鶊A直徑和齒根圓直徑分別為：

▲圖6 三階橢圓齒輪折算齒形漸開線

式中：ha*為齒頂高系數(shù)，一般為1；c*為頂隙系數(shù)，一般為0.25；α為刀具齒形角，一般為200。

當(dāng)滿足：Df≥Db，即：

將參數(shù)代入式（12）得：z≥41.454，即 z≥42 時(shí)，用折算齒形法可以得到整個(gè)齒廓曲線。

3 實(shí)例計(jì)算與說(shuō)明

以橢圓齒輪為例。

實(shí)例1：當(dāng)各參數(shù)為橢圓長(zhǎng)半軸a=21.046 1 mm、短半軸b=16.836 9 mm、偏心率 e=0.6、模數(shù) m=2 mm、齒數(shù)z=19時(shí)，如圖5由對(duì)稱性只須擬合X軸上方輪齒的數(shù)據(jù)即可，用上述方法擬合的三次曲線方程為：

表2 實(shí)例1擬合曲線的系數(shù)

▲圖7 實(shí)例2橢圓齒輪折算齒形漸開線

▲圖8 橢圓齒輪三維模型

式中：A1、B1、C1、D1為 20 維的列向量矩陣數(shù)據(jù)，見(jiàn)表 2，表中1～10為圖5中輪齒序號(hào),R、L為其對(duì)應(yīng)齒的左右齒廓。

實(shí)例2：當(dāng)各參數(shù)為橢圓長(zhǎng)半軸a=30 mm、短半軸b=24 mm、偏心率 e=0.6、模數(shù) m=2 mm、齒數(shù) z=28時(shí)，由對(duì)稱性知只須繪制8個(gè)齒形即可，其順序如圖7所示，用上述擬合方法得到三次擬合曲線方程為：

圖中，1～8為折算齒形法生成的齒廓，9為三階橢圓齒輪齒根曲線，10為節(jié)曲線，11為齒頂曲線，A2、B2、C2、D2為20維的列向量矩陣數(shù)據(jù)，見(jiàn)表3。表中1～8為圖7中輪齒序號(hào),R、L為其對(duì)應(yīng)齒的左右齒廓。

在Pro/E中通過(guò)調(diào)節(jié)漸開線與擬合曲線的曲率，使兩者的曲線曲率能平滑過(guò)渡，得到的橢圓齒輪三維模型如圖8所示。

表3 實(shí)例2擬合曲線的系數(shù)

4 結(jié)論

（1）通過(guò)作圖與計(jì)算得到，當(dāng)折算齒數(shù)大于41時(shí)，非圓齒輪的齒廓皆為漸開線。

（2）提出了用折算齒形漸開線的點(diǎn)來(lái)擬合齒根過(guò)渡曲線，并做了驗(yàn)證。通過(guò)作圖得知：有的齒根曲線的擬合即使用上述三次曲線方程也得不到滿意的結(jié)果，但有時(shí)輪齒左右齒廓的擬合曲線中有一條是較為合理的，這時(shí)可通過(guò)曲率半徑的鏡像得到另一條擬合曲線，從而代替不理想的擬合曲線。用這種方法來(lái)獲取齒根過(guò)渡曲線計(jì)算量比較大，擬合曲線較復(fù)雜。

（3）通過(guò)其曲線曲率來(lái)控制，使擬合曲線與折算后的漸開線能平滑過(guò)渡，消除齒廓曲線的奇點(diǎn)比較復(fù)雜費(fèi)時(shí)。

（4） 這種擬合過(guò)渡曲線的方法可用于高階橢圓齒根過(guò)渡曲線的生成。

（5）齒廓曲線方程給線切割加工的編程能有所指導(dǎo)。

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