王潔寧 ，徐寧霞 ，姜高揚(yáng)

（中國(guó)民航大學(xué)a.空中交通管理研究基地；b.天津市空管運(yùn)行規(guī)劃與安全技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300）

跑道理論容量對(duì)機(jī)場(chǎng)規(guī)劃以及發(fā)展具有重要的意義[1-3]。近年，近距平行跑道的容量評(píng)估逐漸成為研究熱點(diǎn)，其中文獻(xiàn)[4]描述了近距跑道在一起一降模式下的數(shù)學(xué)模型，文獻(xiàn)[5]使用時(shí)間空間模型建立了近距跑道的理論容量模型，但這些研究都是針對(duì)具體的情況建立特定的模型，所建模型的可復(fù)用性不強(qiáng)，且缺乏對(duì)隨機(jī)因素的考慮。本文通過隨機(jī)Petri網(wǎng)建立近距跑道的容量模型，將跑道容量的影響因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)變遷的激發(fā)率，通過調(diào)整變遷激發(fā)率得到不同情況下的跑道容量及變化規(guī)律。據(jù)經(jīng)驗(yàn)和資料分析[6-7]，當(dāng)起降航班比為1：1、進(jìn)離場(chǎng)航空器按照降、起交替運(yùn)行時(shí)，能最大可能地避免尾流影響，近距跑道容量可達(dá)到最大值，因此本文主要對(duì)交替起降模式下的近距平行跑道容量進(jìn)行計(jì)算和分析。

1 隨機(jī)Petri網(wǎng)模型分析

交替運(yùn)行近距跑道模型可以抽象成一個(gè)六元組SPN=（P，T；F，W，M0，λ），其中（P，T；F，W，M0）是一個(gè)P/T 系統(tǒng)，P={p1，…，pn}是庫(kù)所的有限集合；T={t1，…，tn}是變遷的有限集合；F表示的是?。籛表示的是弧權(quán)函數(shù)；M0表示的是初始標(biāo)識(shí)[8]。λ ={λ1，λ2，…，λm}是變遷平均實(shí)施速率集合。

經(jīng)證明，飛機(jī)到達(dá)或起飛時(shí)間間隔服從指數(shù)分布[9]，因此設(shè)Petri網(wǎng)中每個(gè)變遷的分布函數(shù)為

其中：參數(shù)λt是變遷t的平均實(shí)施速率，變量x≥0。λt倒數(shù)的物理含義為實(shí)際運(yùn)行時(shí)起降飛機(jī)的時(shí)間間隔或在特定條件下所要求的前后機(jī)時(shí)間。

2 交替起降近距跑道SPN建模

由以上分析，跑道的SPN模型可按以下步驟建模：根據(jù)航空器進(jìn)離港流程分析影響跑道容量的因素，進(jìn)而建立SPN模型。通過同構(gòu)馬爾科夫鏈，建立穩(wěn)態(tài)概率表達(dá)式，通過調(diào)整關(guān)鍵參數(shù)λ，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。由于跑道影響因素眾多，考慮到SPN模型狀態(tài)空間的龐大性，本文僅考慮影響容量的幾個(gè)關(guān)鍵因素，主要有尾流間隔、起降比及機(jī)型比等。交替起降的近距跑道容量SPN模型如圖1所示。

圖1 近距平行跑道SPN模型Fig.1 Closely spaced parallel runways SPN model

其中 p1∈{p1，p2，…，p15}為庫(kù)所的集合，變遷集合為 t1∈{t1，t2，…，t17}。具體含義如表 1 及表 2 所示。

3 構(gòu)造SPN模型所同構(gòu)的MC鏈

圖1的近距平行跑道SPN模型初始標(biāo)識(shí)為M0=（1，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，1，1，0，0），隨著系統(tǒng)的運(yùn)行，可得到M1、M2等，進(jìn)而得到模型的可達(dá)樹如圖2所示。

表1 容量SPN模型庫(kù)所意義Tab.1 Place significance of SPN capacity model

表2 容量SPN模型變遷意義Tab.2 Transition significance of SPN capacity model

其中，p1、p12與p13中的托肯代表1架飛機(jī)、1條可使用的著陸跑道以及1條可使用的起飛跑道。同時(shí)經(jīng)驗(yàn)證，圖1的SPN模型符合可達(dá)性、有界性、安全性、守衡性、可逆性和活性等要求，即這個(gè)模型是正確、安全、有效的。定義λi是變遷ti∈T的平均實(shí)施速率，則與圖1的SPN模型同構(gòu)的馬爾科夫鏈如圖3（a）和圖3（b）所示。

圖2 近距跑道SPN模型的可達(dá)樹Fig.2 Reachability tree of closely spaced parallel runways SPN model

圖3 跑道SPN模型的馬爾科夫鏈Fig.3 Markov chain of SPN model

在近距平行跑道的SPN模型中，跑道的容量可由庫(kù)所p12以及p13的位置標(biāo)記數(shù)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。跑道庫(kù)所中的托肯沒被占用，代表跑道處于空閑；反之，則代表跑道正在使用中。可證明，在給定充分時(shí)間的情況下，系統(tǒng)總是可以返回該狀態(tài)，由近距跑道的SPN容量模型的初始標(biāo)識(shí)，可以獲得狀態(tài)的轉(zhuǎn)移矩陣，由于模型的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣龐大，主要用到p12以及p13的穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，如下所示，其中矩陣Mi={M0，M1，…，M36}表示庫(kù)所的狀態(tài)矩陣，未列舉項(xiàng)數(shù)值為0。

4 基于MC穩(wěn)態(tài)概率的系統(tǒng)性能分析

根據(jù)交替起降SPN模型所同構(gòu)的MC鏈，進(jìn)一步得到該模型的穩(wěn)定狀態(tài)概率表達(dá)式為

1）標(biāo)記概率密度函數(shù)

標(biāo)記概率密度函數(shù)表示在某一特定情況下，任意庫(kù)所中具有的標(biāo)識(shí)數(shù)的概率。對(duì)于?s∈S，?i∈N，令庫(kù)所s含有i個(gè)標(biāo)記的概率用P[M（s）=i]表示，就可以從標(biāo)記的穩(wěn)定狀態(tài)概率得到庫(kù)所s中的標(biāo)記概率密度函數(shù)

其中Mj∈[M0＞且Mj（s）=i]。

2）庫(kù)所中平均標(biāo)記數(shù)

對(duì)于?si∈S，表示在某一特定情況下，庫(kù)所si含有的平均標(biāo)記數(shù)，則有

在近距平行跑道SPN模型中，庫(kù)所p12表示主降落跑道的使用情況，庫(kù)所p13表示主起飛跑道的利用情況，可利用庫(kù)所中所包含的平均標(biāo)記數(shù)評(píng)估近距跑道容量模型中各個(gè)跑道的利用率，進(jìn)而計(jì)算跑道的容量。

跑道容量可由庫(kù)所p12（主降落跑道）及p13（主起飛跑道）的標(biāo)記數(shù)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。當(dāng)跑道庫(kù)所中的托肯沒被占用，代表此時(shí)跑道處于空閑；反之，當(dāng)跑道中的托肯被占用了，即庫(kù)所中的托肯數(shù)為0，則代表跑道正在使用中。

根據(jù)模型的可達(dá)樹及庫(kù)所p12的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，主降落跑道中的標(biāo)記密度函數(shù)可以表示為

根據(jù)模型的狀態(tài)樹及庫(kù)所p13的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，主起飛跑道中的標(biāo)記密度函數(shù)可表示為

主降落跑道的跑道利用率可表示為

主起飛跑道的跑道利用率可表示為

5 算例分析

5.1 跑道理論容量計(jì)算

基于某機(jī)場(chǎng)進(jìn)近著陸非雷達(dá)尾流間隔標(biāo)準(zhǔn)及相關(guān)規(guī)定[10]，在計(jì)算前后著陸飛機(jī)組合相繼通過跑道入口時(shí)間間隔時(shí)，主要考慮前機(jī)跑道占用時(shí)間、尾流間隔及發(fā)布落地許可條件等，選取間隔最大者進(jìn)行分析。在不受尾流影響的情況下（表3空格對(duì)應(yīng)機(jī)型組合），前機(jī)和后機(jī)通過跑道入口的時(shí)間間隔等于“前機(jī)跑道平均占用時(shí)間+后機(jī)飛行4.5 km時(shí)間”與前機(jī)跑道占用時(shí)間的最大者。表3中空格對(duì)應(yīng)的機(jī)型組合表示可不考慮尾流影響，按規(guī)定的雷達(dá)最低間隔標(biāo)準(zhǔn)來考慮。

表3 進(jìn)近著陸非雷達(dá)尾流間隔標(biāo)準(zhǔn)Tab.3 Non-radar wake turbulence separation standards of approach and landing（min）

空格部分的間隔可根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算出來。取某機(jī)場(chǎng)實(shí)際數(shù)據(jù)，兩個(gè)降落航班間允許1架航班起飛時(shí)，相繼降落航班間的平均距離間隔至少為9 km。由降落航班從切入下滑道到接地的平均飛行速度可計(jì)算出相應(yīng)時(shí)間間隔，如表4所示。

表4 不考慮尾流的最低雷達(dá)間隔Tab.4 Minimum radar separation without consideration of wake

基于以上理論，重型機(jī)、中型機(jī)以及輕型機(jī)兩兩組合得到前后機(jī)型不相同時(shí)的相應(yīng)間隔如表5所示。

表5 前后機(jī)型的相應(yīng)間隔Tab.5 Interval of aircrafts（min）

航空器起降交替運(yùn)行時(shí)，即在兩個(gè)著陸航班之間插入放行1架航班，在平均意義上起降平均縱向間隔為連續(xù)降落航班縱向間隔的一半?；谝陨霞僭O(shè)，可算出 λ4=λ5=0.018 5；λ6=λ7=0.016 7；λ8=λ9=0.012 3。跑道占用時(shí)間也取該機(jī)場(chǎng)的實(shí)際數(shù)據(jù)如表6所示。

表6 不同機(jī)型起降跑道占用時(shí)間Tab.6 Runway occupancy time of landing and takeoff aircrafts

著陸占用跑道時(shí)間取均值52 s，起飛占用跑道時(shí)間取均值 46 s，即 λ16=0.019 2，λ17=0.021 7。重型機(jī)、中型機(jī)和輕型機(jī)的比例取1：1：1，起飛降落比例為1：1，其它參數(shù)為1?；谝陨霞僭O(shè)可得到λ的取值為{1，1，1，0.018 5，0.018 5，0.016 7，0.016 7，0.012 3，0.012 3，1，1，1，1，1，1，0.019 2，0.021 7}。參數(shù)為 1 的變遷就代表在1 s內(nèi)只運(yùn)行一次，由于整個(gè)近距跑道容量SPN模型運(yùn)行一次時(shí)間相對(duì)1 s很大，所以運(yùn)行時(shí)間為1 s的所有變遷，可以默認(rèn)對(duì)整個(gè)跑道容量SPN系統(tǒng)產(chǎn)生影響很少，忽略不計(jì)。

將λ代入式（2）并計(jì)算，可以得到取值為λ時(shí)的每個(gè)狀態(tài)標(biāo)識(shí)的穩(wěn)定狀態(tài)概率，繼而可求出在此時(shí)條件下的跑道利用率。此時(shí)，將求出的穩(wěn)定狀態(tài)概率代入式（5）中，計(jì)算出庫(kù)所p12代表的主降落跑道中的標(biāo)記密度函數(shù)為

則主降落跑道的跑道利用率為

跑道占用時(shí)間平均值為52 s，所以一起一降模式下，主降落跑道的跑道容量為

同理，庫(kù)所p13代表的主起飛跑道中的標(biāo)記密度函數(shù)可表示為

則主起飛跑道的跑道利用率可表示為

跑道占用時(shí)間平均值為46 s，所以一起一降模式下，主降落跑道的跑道容量為

此時(shí)，跑道容量為61架次/h，經(jīng)對(duì)比，該數(shù)據(jù)與某機(jī)場(chǎng)的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)相符。

5.2 中型機(jī)對(duì)跑道容量的影響

隨著民航業(yè)的快速發(fā)展，大中型航空器所占市場(chǎng)比例越來越大，同時(shí)，輕型機(jī)的比例也越來越少，目前，國(guó)內(nèi)正在運(yùn)營(yíng)的機(jī)型是以中型機(jī)為主。所以以雷達(dá)尾流間隔標(biāo)準(zhǔn)、跑道占用時(shí)間以及發(fā)布落地許可等條件為基礎(chǔ)，以中型機(jī)所占總機(jī)型比例為變量，分析在中型機(jī)比例不斷增大的情況下，對(duì)近距跑道容量的影響趨勢(shì)。

當(dāng)中型機(jī)比例不斷增大時(shí)，假定輕型機(jī)與重型機(jī)的比例相同，且同時(shí)減少。3種機(jī)型所占比例的變化反映到跑道容量SPN模型中，即是參數(shù)λ的變化。機(jī)型的比例變化在SPN模型中與λ1、λ2以及λ3的數(shù)值有關(guān)，同時(shí)當(dāng)機(jī)型的比例發(fā)生變化時(shí)還會(huì)對(duì)兩條跑道的航空器平均占用時(shí)間產(chǎn)生影響，即λ16、λ17也相應(yīng)的發(fā)生了變化，具體數(shù)據(jù)如表7所示。

表7 中型機(jī)比例變化對(duì)λ的影響Tab.7 Effects of medium aircraft proportion change to λ

其它參數(shù)不變，將 λ1、λ2、λ3、λ16、λ17分別取表中數(shù)值時(shí)，代入式（2）中，計(jì)算出在中型機(jī)所占比例變化時(shí)對(duì)跑道容量的影響，如表8所示。

表8中的中型機(jī)變化對(duì)跑道容量變化的影響趨勢(shì)如圖4所示。

表8 中型機(jī)所占比例對(duì)跑道容量的影響Tab.8 Effects of medium aircraft proportion to runway capacity

圖4 容量與中型機(jī)比重曲線關(guān)系Fig.4 Curve relationship between runway capacity and medium aircraft proportion

由圖4可看出，隨著中型機(jī)所占比重的不斷增大，重型機(jī)以及輕型機(jī)的比重不斷減少。近距平行跑道的總?cè)萘壳€是呈現(xiàn)先減后增的趨勢(shì)。該趨勢(shì)對(duì)實(shí)際運(yùn)行有一定的參考意義。

5.3 五邊航空器距跑道距離對(duì)跑道容量的影響

將五邊航空器距落地跑道起始端的間隔取不同的數(shù)值，計(jì)算并分析隨著距離的變化跑道容量的變化，此時(shí)，其它參數(shù)不發(fā)生變化，即起降比為1：1，交替起降，且跑道占用時(shí)間采用均值，主降落跑道平均占用時(shí)間為52 s，即λ16=0.019 2，主起飛跑道平均占用時(shí)間為46 s，即λ17=0.021 7。其他參數(shù)為1。具體計(jì)算結(jié)果如表9所示。

將表9中的數(shù)據(jù)生成示意圖，以五邊距落地跑道端距離為橫軸、容量為縱軸，分別生成距離對(duì)主起飛容量、主降落容量以及總?cè)萘康挠绊懬€，如圖5所示。

從表9和圖5可以看出，五邊航空器距落地跑道起始端的距離越遠(yuǎn)，連續(xù)降落的飛機(jī)間隔就越大，相對(duì)的跑道容量就越小。五邊航空器距落地跑道起始端的距離一定時(shí)，由于假定起降比為1：1，所以主降落和主起飛跑道的容量幾乎是相同的，而由于跑道占用時(shí)間不同，跑道的利用率卻不相同。圖中可以看出，隨著距離的增大，跑道容量迅速的減少。因此在實(shí)際的容量評(píng)估中應(yīng)對(duì)評(píng)估范圍加以明確的界定，否則得到的結(jié)果不是唯一。

表9 五邊航空器距落地跑道端的距離Tab.9 Distance between traffic circuit and threshold

圖5 五邊航空器距落地跑道起始端的距離對(duì)跑道容量的影響Fig.5 Effects of distance between traffic circuit and threshold to runway capacity

6 結(jié)語(yǔ)

本文根據(jù)近距跑道的進(jìn)離港運(yùn)行情況，建立交替起降運(yùn)行模式下的近距跑道隨機(jī)Petri網(wǎng)模型，同構(gòu)出模型的馬爾科夫鏈，得到系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣和穩(wěn)態(tài)概率表達(dá)式，進(jìn)一步建立跑道容量的數(shù)學(xué)模型。在此基礎(chǔ)之上，通過對(duì)模型中關(guān)鍵參數(shù)的調(diào)整，研究了中型機(jī)的比例對(duì)跑道容量的影響以及五邊航空器距落地跑道起始端的距離對(duì)跑道容量的影響。本文所建模型可復(fù)用性強(qiáng)，參數(shù)調(diào)整更為靈活，對(duì)跑道容量的評(píng)估與分析具有一定的指導(dǎo)意義。

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