孔建芳

如何求解離心率的取值范圍是很多學(xué)生較難掌握的內(nèi)容.筆者通過多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，要解決此類問題，最重要的便是充分挖掘題中所隱含的條件，構(gòu)造出解決此類問題的不等式.

一、利用直線與雙曲線的位置關(guān)系

【例1】 給出條件：已知雙曲線x2a-y2=1（a>0）與直線l：x+y=1相交于兩個(gè)點(diǎn)P和Q，要求解出雙曲線離心率的取值范圍.

解析：把雙曲線方程和直線方程聯(lián)立消去x，得（1-a2）y2-2y+1-a2=0，1-a2≠0

時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則Δ>0，Δ=4-4（1-a2）2=4a2（2-a2）>0，即a2<2且a≠1，所以e2=c2a2=1+1a2>32

，即e>62且e≠2.

二、利用點(diǎn)和雙曲線的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：在解決這一題時(shí)，可以先解出雙曲線上其中一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再利用相關(guān)性質(zhì)“若點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1

的左支上，則x≤-a；若點(diǎn)P在雙曲線x2a2-y2b2=1的右支上，則x≥a”.

求雙曲線離心率的取值區(qū)間時(shí)要根據(jù)題設(shè)的條件找到合適的切入點(diǎn)，因題制宜發(fā)現(xiàn)題中隱藏的不等關(guān)系，創(chuàng)建含有離心率的不等式是解決這類問題的重要之處.

（責(zé)任編輯 金 鈴）