張芳芳 劉 才

燕山大學(xué)國(guó)家冷軋板帶裝備及工藝工程技術(shù)研究中心，秦皇島，066004

0 引言

三維編織復(fù)合材料以纖維束空間交織成立體網(wǎng)狀為主要結(jié)構(gòu)特征，具有損傷容限大、比模量大、比強(qiáng)度高等優(yōu)點(diǎn)，在航空航天等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

由于編織結(jié)構(gòu)復(fù)雜，材料的損傷模式也比較復(fù)雜，因此，通過(guò)實(shí)驗(yàn)很難觀察到復(fù)合材料內(nèi)部的損傷演變過(guò)程。而有限元法可以彌補(bǔ)上述不足，因此越來(lái)越多的學(xué)者采用有限元法模擬其損傷演變過(guò)程。通過(guò)有限元法研究復(fù)合材料損傷時(shí)的損傷演化方法包括剛度折減法、連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)方法和基于斷裂力學(xué)的損傷演化方法。其中，剛度折減法是對(duì)材料的剛度進(jìn)行直接折減，操作過(guò)程方便，很容易在有限元中實(shí)現(xiàn)，但折減系數(shù)的選取依賴經(jīng)驗(yàn)［1］。連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)方法中的損傷演化方程是基于熱力學(xué)框架下導(dǎo)出的，損傷演化規(guī)律與耗散勢(shì)相關(guān)。Kachanov［2］首次引入了“連續(xù)性因子”的概念來(lái)描述低應(yīng)力脆性蠕變損傷。之后很多學(xué)者提出了損傷分析模型，Ladeveze等［3］將應(yīng)力與應(yīng)變張量分解為正負(fù)兩部分，彈性模量的退化由損傷參數(shù)來(lái)描述，演化規(guī)律由熱動(dòng)態(tài)力控制?；跀嗔蚜W(xué)的損傷演化方法認(rèn)為復(fù)合材料在最終破壞時(shí)，材料的耗散能與材料的斷裂能相等，損傷演化與材料不同裂紋形式的斷裂能相關(guān)。Camanho等［4］首先提出了一個(gè)與材料斷裂能相關(guān)的損傷演化模型，并引入到內(nèi)聚力單元中對(duì)復(fù)合材料的分層過(guò)程進(jìn)行了分析。Lapczyk等［5］提出了正交各向異性的損傷本構(gòu)模型，預(yù)測(cè)了彈脆性材料的漸進(jìn)損傷過(guò)程。Fang等［6］基于Murakami－Ohno損傷理論建立了正交各向異性損傷本構(gòu)模型，預(yù)測(cè)了三維四向編織復(fù)合材料的漸進(jìn)損傷過(guò)程。文獻(xiàn)［7－8］基于區(qū)域疊合技術(shù)預(yù)測(cè)了復(fù)合材料的彈性性能。應(yīng)用有限元方法預(yù)測(cè)復(fù)合材料性能時(shí)，大多采用共節(jié)點(diǎn)方法建立復(fù)合材料單胞模型，為施加周期性邊界條件，要求相對(duì)邊界面上節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，這樣即使采用四面體進(jìn)行網(wǎng)格劃分也十分困難，區(qū)域疊合技術(shù)在模型建立上避免了上述共節(jié)點(diǎn)等網(wǎng)格劃分的困難，但不便于基體中非疊合區(qū)域的結(jié)果提取與顯示。綜上所述，剛度折減法中折減系數(shù)大小影響結(jié)果預(yù)測(cè)，結(jié)合區(qū)域疊合技術(shù)與斷裂能量法建立描述復(fù)合材料漸進(jìn)損傷的模型，提高了建模效率的同時(shí)也彌補(bǔ)了上述不足。

本文 基 于 區(qū) 域 疊 合 技 術(shù)［9－10］，利 用 ANSYS APDL語(yǔ)言建立了參數(shù)化編織件網(wǎng)格模型，結(jié)合單胞增強(qiáng)相網(wǎng)格提取算法，實(shí)現(xiàn)三維編織復(fù)合材料單胞模型的參數(shù)化建立，提出了含損傷剛度匹配方法，使區(qū)域疊合技術(shù)中兩相模型重合區(qū)域的材料剛度與實(shí)際增強(qiáng)相材料剛度相匹配?；贛urakami損傷理論建立了正交各向異性損傷本構(gòu)模型，通過(guò)三維Hashin與Mises準(zhǔn)則判斷增強(qiáng)相和基體的初始損傷，通過(guò)等價(jià)位移控制損傷變量的演變。利用ANSYS用戶子程序接口（Usermat）開(kāi)發(fā)材料模型子程序，應(yīng)用該模型分別對(duì)典型大小編織角三維四向編織復(fù)合材料在單向拉伸載荷作用下的漸進(jìn)損傷過(guò)程和拉伸強(qiáng)度進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)。通過(guò)基體損傷結(jié)果映射方法，實(shí)現(xiàn)了基于區(qū)域疊合技術(shù)所建基體模型漸進(jìn)損傷演變過(guò)程的云圖顯示。

1 編織復(fù)合材料細(xì)觀有限元模型

計(jì)算機(jī)圖像分析技術(shù)發(fā)現(xiàn)［11］，編織復(fù)合材料中由于纖維束的相互擠壓，其橫截面形狀接近菱形的4個(gè)角經(jīng)倒圓所形成的圖形。文獻(xiàn)［12］考慮了內(nèi)部纖維束的真實(shí)形態(tài)，假設(shè)內(nèi)部纖維束橫截面為一個(gè)內(nèi)切橢圓的八邊形，如圖1所示，建立了三維四向編織復(fù)合材料內(nèi)部細(xì)觀結(jié)構(gòu)單胞模型，其空間拓?fù)鋷缀侮P(guān)系如圖2所示。本文采用此單胞模型進(jìn)行分析。

圖1 內(nèi)部纖維束橫截面形狀

圖2 纖維束空間拓?fù)鋷缀侮P(guān)系

圖1和圖2中纖維束內(nèi)切橢圓的長(zhǎng)短半軸分別為a和b，h為單胞模型的高度，其中

式中，γ為纖維束內(nèi)部編織角。

根據(jù)單胞模型空間拓?fù)鋷缀侮P(guān)系，本文采用ANSYS APDL語(yǔ)言應(yīng)用六面體單元建立三維四向編織預(yù)制件網(wǎng)格模型，結(jié)合基于Fortran語(yǔ)言編寫的單胞增強(qiáng)相網(wǎng)格提取算法，提取出了增強(qiáng)相單胞網(wǎng)格模型，如圖3a所示。建立了復(fù)合材料單胞整體區(qū)域（包括單胞中所有增強(qiáng)相和基體相所占幾何空間）網(wǎng)格模型，如圖3b所示。將增強(qiáng)相網(wǎng)格模型與整體區(qū)域網(wǎng)格模型在空間疊合，組成用于區(qū)域疊合有限元技術(shù)分析的復(fù)合材料單胞網(wǎng)格模型，如圖3c所示。

圖3 采用區(qū)域疊合技術(shù)建立單胞網(wǎng)格模型

在區(qū)域疊合技術(shù)中，均采用等參單元對(duì)模型進(jìn)行離散。增強(qiáng)相網(wǎng)格模型與整體區(qū)域網(wǎng)格模型在空間疊合后，通過(guò)建立增強(qiáng)相單元節(jié)點(diǎn)與整體區(qū)域單元節(jié)點(diǎn)自由度間的耦合方程，使兩模型單元節(jié)點(diǎn)的變形相協(xié)調(diào)。區(qū)域疊合技術(shù)中，周期邊界條件［13］施加在整體區(qū)域單元上，由于整體區(qū)域模型為規(guī)則的長(zhǎng)方體，因此很容易滿足周期邊界條件中對(duì)相對(duì)邊界面上節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的要求。

2 漸進(jìn)損傷演變模型

2.1 初始損傷判斷準(zhǔn)則

纖維束初始損傷判斷采用三維Hashin準(zhǔn)則［14］。基體采用Mises準(zhǔn)則，形式如下：

式中，σ11、σ22、σ33為材料點(diǎn)正應(yīng)力分量；σ12、σ23、σ31為材料點(diǎn)切應(yīng)力分量；σm為基體的破壞強(qiáng)度。

2.2 基于材料斷裂能的損傷演變模型

為減小局部損傷的網(wǎng)格依賴性，引入單元特征長(zhǎng)度［15］建立有限元網(wǎng)格與組分材料斷裂能的聯(lián)系，即假設(shè)組分材料不同破壞模式的斷裂能量密度為常數(shù)，破壞應(yīng)變隨著有限元網(wǎng)格尺寸的變化而改變。在此假設(shè)有限單元的特征長(zhǎng)度是單元體積的三次立方根，破壞平面的面積是單元特征長(zhǎng)度的平方［5-6］。當(dāng)組分材料局部破壞時(shí)，單元的釋放能與單元的彈性應(yīng)變能相等，即

式中，l為有限單元的特征長(zhǎng)度；GI、εIf和σIf分別為I型破壞模式的斷裂能量密度、等價(jià)峰值應(yīng)變和等價(jià)峰值應(yīng)力。

定義組分材料破壞點(diǎn)的等價(jià)位移為

根據(jù)上述形式，可以得到不同破壞模式對(duì)應(yīng)的等價(jià)位移和等價(jià)應(yīng)力［6］，如表1所示，其中，L、T、Z分別表示纖維束的三個(gè)主軸方向，即L表示纖維束軸向，T、Z均表示纖維束橫向；t表示拉伸，c表示壓縮；＜x＞＝ （x＋｜x｜）／2。

表1 不同破壞模式對(duì)應(yīng)的等價(jià)位移和等價(jià)應(yīng)力

當(dāng)滿足初始損傷判斷準(zhǔn)則即當(dāng)?shù)葍r(jià)位移超過(guò)初始損傷等價(jià)位移時(shí)，可以用組分材料損傷演變方程控制損傷演變，不同破壞模式下的損傷演變方程為

基于Murakami損傷模型，可利用二階損傷張量描述增強(qiáng)相和基體損傷，損傷張量為

式中，D、Di、ni分別為損傷張量、損傷張量主值和主方向單位矢量。

損傷演變過(guò)程中，有效應(yīng)力σ＊與名義應(yīng)力σ的關(guān)系為

式中，I為單位矩陣。

采用應(yīng)變能等效假設(shè)，將損傷張量主值引入到材料剛度矩陣中，即

式中，C為未發(fā)生損傷時(shí)的材料剛度矩陣；C（D）為包含損傷的材料剛度矩陣。

損傷張量主值取該方向拉壓損傷變量中的最大值［6］，其表達(dá)形式為

基體為各向同性材料，因此其各損傷主值相同。為提高含損傷本構(gòu)有限元算法的收斂性，引入黏性規(guī)則化算法［16］，在當(dāng)前t＋Δt時(shí)刻的損傷張量主值可變換為

將新的損傷張量主值代入式（9），可獲得當(dāng)前損傷狀態(tài)下的材料剛度矩陣。

3 含損傷剛度匹配方法

區(qū)域疊合技術(shù)中將基體材料屬性賦予整體區(qū)域網(wǎng)格模型，為使增強(qiáng)相模型與基體模型重合區(qū)域的材料剛度與實(shí)際增強(qiáng)相材料剛度相匹配，需要對(duì)賦予增強(qiáng)相模型的材料剛度進(jìn)行剛度匹配處理［10］，本文針對(duì)復(fù)合材料損傷問(wèn)題，對(duì)剛度匹配方法做了進(jìn)一步修正，從而使損傷分析過(guò)程中，增強(qiáng)相模型與基體模型重合區(qū)域的材料剛度與實(shí)際增強(qiáng)相材料剛度相匹配。

含損傷剛度匹配方法是通過(guò)對(duì)增強(qiáng)相積分點(diǎn)材料剛度矩陣的修正實(shí)現(xiàn)的，其形式為

式中，CFF（D）和CFM（D）分別為根據(jù)增強(qiáng)相材料屬性和基體材料屬性組建的材料剛度矩陣；CF（D）為賦予該增強(qiáng)相積分點(diǎn)處的材料剛度矩陣。

在損傷分析過(guò)程中，對(duì)于變形歷史過(guò)程中未發(fā)生過(guò)損傷的增強(qiáng)相積分點(diǎn)，根據(jù)當(dāng)前增強(qiáng)相積分點(diǎn)處的應(yīng)變狀態(tài)，分別按CFF（D）和CFM（D）計(jì)算應(yīng)力，將計(jì)算出的應(yīng)力分別代入Hashin和Mises準(zhǔn)則中進(jìn)行初始損傷判斷，如果不滿足初始損傷判斷準(zhǔn)則，則不對(duì)CFF（D）和CFM（D）進(jìn)行處理；如果滿足損傷判斷準(zhǔn)則，結(jié)合式（10）和式（11）計(jì)算損傷張量主值，并分別代入式（9）計(jì)算CFF（D）和CFM（D），從而獲得當(dāng)前損傷狀態(tài)下的材料剛度矩陣；對(duì)于之前已經(jīng)發(fā)生過(guò)損傷的增強(qiáng)相積分點(diǎn)，按式（10）和式（11）對(duì)損傷張量主值進(jìn)行更新。按照式（12）計(jì)算更新后的材料剛度矩陣CF（D），將CF（D）返回主程序完成材料損傷本構(gòu)計(jì)算，從而使兩相模型重合區(qū)域的材料剛度與實(shí)際增強(qiáng)相材料剛度相匹配。

4 損傷分析流程

漸進(jìn)損傷分析過(guò)程主要包括有限元平衡方程的應(yīng)力求解、損傷模式判斷和基于材料斷裂能的剛度退化，分析流程如圖4所示。

圖4 漸進(jìn)損傷分析流程圖

在漸進(jìn)損傷分析過(guò)程中，對(duì)于初始載荷增量步，采用初始材料剛度求解非線性平衡方程并計(jì)算各積分點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于以后的每一載荷增量步，采用上一載荷增量步結(jié)束時(shí)的材料剛度求解非線性平衡方程并計(jì)算各積分點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

對(duì)于未發(fā)生過(guò)損傷的積分點(diǎn)，將計(jì)算出的應(yīng)力代入初始損傷判斷準(zhǔn)則中，如果不滿足初始損傷判斷準(zhǔn)則，則進(jìn)入下一載荷增量步求解，如果滿足初始損傷判斷準(zhǔn)則，則按照基于材料斷裂能的損傷演變模型計(jì)算相應(yīng)的損傷張量主值。對(duì)于已發(fā)生過(guò)損傷的積分點(diǎn)，則根據(jù)基于材料斷裂能的損傷演變模型對(duì)損傷張量主值進(jìn)行更新。按照更新后的損傷張量主值對(duì)積分點(diǎn)的材料剛度進(jìn)行退化，并進(jìn)入下一載荷增量步求解，如此循環(huán)完成分析。

5 數(shù)值分析結(jié)果與討論

采用文獻(xiàn)［17］提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)作為驗(yàn)證算例。組分材料的性能參數(shù)如表2所示。

表2 組分材料性能參數(shù)

利用上述材料參數(shù)預(yù)測(cè)典型大小編織角三維四向編織復(fù)合材料的拉伸強(qiáng)度和漸進(jìn)損傷演變過(guò)程。表3給出了兩種編織角試件的拉伸強(qiáng)度、斷裂應(yīng)變預(yù)測(cè)值與文獻(xiàn)［17］中提供的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比。由于實(shí)驗(yàn)所用試件中可能存在孔隙等細(xì)觀缺陷，而本文所建模型無(wú)法考慮這些可能的缺陷，因此預(yù)測(cè)值略高于實(shí)驗(yàn)值。

表3 試件實(shí)驗(yàn)參數(shù)與數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果

5.1 基體損傷結(jié)果映射法

在后處理時(shí)，區(qū)域疊合技術(shù)所建整體區(qū)域模型不便于基體漸進(jìn)損傷過(guò)程的結(jié)果顯示，因此本文應(yīng)用基體損傷結(jié)果映射法。在該方法中，首先建立與傳統(tǒng)方法所建基體具有相同幾何空間的模型（此模型沒(méi)有傳統(tǒng)方法中對(duì)網(wǎng)格的限制和要求），并采用自由網(wǎng)格劃分，將該網(wǎng)格模型與整體區(qū)域模型在空間疊合，對(duì)于該網(wǎng)格模型中的節(jié)點(diǎn)，在全局坐標(biāo)系下判斷出包含該節(jié)點(diǎn)的整體區(qū)域單元，根據(jù)整體區(qū)域單元節(jié)點(diǎn)的全局坐標(biāo)，計(jì)算出該節(jié)點(diǎn)在相應(yīng)整體區(qū)域單元中的自然坐標(biāo)值，并將計(jì)算出的形狀函數(shù)值代入下式：

式中，Ni為單元節(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)；Di為單元在節(jié)點(diǎn)i處的損傷張量。實(shí)現(xiàn)根據(jù)整體區(qū)域單元節(jié)點(diǎn)的損傷張量插值出該網(wǎng)格模型節(jié)點(diǎn)的損傷張量。

當(dāng)網(wǎng)格模型的所有節(jié)點(diǎn)都通過(guò)此方法插值完成后，將網(wǎng)格模型中每個(gè)單元的所有節(jié)點(diǎn)的損傷張量進(jìn)行平均，用平均后的損傷張量表示網(wǎng)格模型單元的損傷狀態(tài)。利用此網(wǎng)格模型單元的損傷結(jié)果信息實(shí)現(xiàn)基體損傷云圖的顯示。

5.2 損傷演變過(guò)程

基體損傷云圖的提取采用上述結(jié)果映射法。由于增強(qiáng)相模型具有對(duì)稱性，為了更好地觀察其損傷演變過(guò)程，提取其中一個(gè)方向纖維束的損傷演變?cè)茍D進(jìn)行展示。數(shù)值模擬中小編織角增強(qiáng)相模型在纖維軸向拉伸破壞模式下的損傷單元最多，大編織角增強(qiáng)相模型在纖維橫向拉伸破壞模式下的損傷單元最多，因此分別提取小編織角增強(qiáng)相在纖維軸向拉伸破壞模式下的損傷演變?cè)茍D和大編織角增強(qiáng)相在纖維橫向拉伸破壞模式下的的損傷演變?cè)茍D，見(jiàn)圖5a和圖6a。大小編織角復(fù)合材料的基體損傷演變?cè)茍D分別見(jiàn)圖5b和圖6b。

圖5 小編織角損傷演變?cè)茍D

從圖5a可以看出，小編織角復(fù)合材料損傷首先發(fā)生在纖維束交錯(cuò)面處，隨著拉伸位移的增大，損傷區(qū)域沿著纖維束橫向和表面逐漸擴(kuò)展，當(dāng)應(yīng)變達(dá)到0.0073時(shí)，損傷的逐漸累積導(dǎo)致增強(qiáng)相最終失去承載能力。從圖5b可以看出，基體損傷首先發(fā)生在基體與纖維束交錯(cuò)面處，隨著拉伸位移的逐漸增大，損傷區(qū)域沿著基體棱邊擴(kuò)展并逐漸貫通融合，隨著基體損傷的累積和增強(qiáng)相承載能力的喪失，導(dǎo)致基體最終失效。在整個(gè)變形歷史過(guò)程中，縱向載荷主要由纖維束承擔(dān)，出現(xiàn)損傷后，纖維束拉伸損傷區(qū)域快速擴(kuò)展，直至最終脆性斷裂。因此，小編織角復(fù)合材料以纖維拉伸破壞為主要破壞模式，與實(shí)驗(yàn)破壞斷面的掃描結(jié)果［18］一致。

圖6 大編織角損傷演變?cè)茍D

從圖6a可以看出，當(dāng)應(yīng)變達(dá)到0.0052時(shí)，大編織角復(fù)合材料首先在纖維束表面出現(xiàn)橫向損傷，隨著拉伸位移的增大，損傷區(qū)域沿著纖維束橫向擴(kuò)展。在拉伸過(guò)程中，纖維束逐漸向拉伸方向轉(zhuǎn)動(dòng)，與小編織角不同，纖維束受縱向和橫向綜合作用，損傷以橫向?yàn)橹鳌膱D6b可以看出，當(dāng)應(yīng)變達(dá)到0.0062時(shí)，基體在與纖維束相交錯(cuò)的棱邊發(fā)生初始損傷，損傷區(qū)域隨著拉伸位移的增加沿棱邊逐漸擴(kuò)展，直至失效。因此，大編織角復(fù)合材料拉伸強(qiáng)度主要由基體的強(qiáng)度和纖維束的橫向強(qiáng)度控制，上述結(jié)果與實(shí)驗(yàn)破壞斷面的掃描結(jié)果［18］一致。

6 結(jié)論

（1）本文基于區(qū)域疊合技術(shù)，利用ANSYS APDL語(yǔ)言建立了參數(shù)化編織件模型，結(jié)合單胞增強(qiáng)相網(wǎng)格提取算法，實(shí)現(xiàn)三維編織復(fù)合材料單胞模型的參數(shù)化建立，提高了單胞模型的建模效率。

（2）結(jié)合區(qū)域疊合技術(shù)與斷裂能量法，基于Murakami損傷理論建立了正交各向異性損傷本構(gòu)模型，應(yīng)用含損傷剛度匹配方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)典型大小編織角三維編織復(fù)合材料漸進(jìn)損傷過(guò)程和拉伸強(qiáng)度的數(shù)值預(yù)測(cè)。

（3）根據(jù)基體損傷結(jié)果映射法，將整體網(wǎng)格模型的單元損傷狀態(tài)映射到采用傳統(tǒng)方法建立基體幾何模型并采用自由網(wǎng)格劃分后的網(wǎng)格模型上，實(shí)現(xiàn)區(qū)域疊合技術(shù)所建復(fù)合材料中基體漸進(jìn)損傷演變過(guò)程的結(jié)果提取與顯示。

（4）小編織角復(fù)合材料以纖維拉伸破壞為主要破壞模式，材料呈脆性斷裂，具有較高的強(qiáng)度。大編織角復(fù)合材料中纖維束處于非均勻的受拉狀態(tài)，拉伸強(qiáng)度主要受基體強(qiáng)度和纖維束的橫向強(qiáng)度控制，拉伸強(qiáng)度較低。數(shù)值預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值均吻合較好。

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