張豪魁 許炎彬 王林源

摘 要：針對(duì)在寬頻段存在頻譜采樣率高的問(wèn)題，運(yùn)用貝葉斯壓縮感知進(jìn)行頻譜稀疏采樣及重構(gòu)，然而檢測(cè)過(guò)程存在運(yùn)行時(shí)間慢的缺點(diǎn)，因此本文提出了一種基于直積與QR分解的測(cè)量矩陣構(gòu)造法用于Bayes CS頻譜檢測(cè)過(guò)程，仿真結(jié)果表明，提出的新算法能有效降低檢測(cè)時(shí)間以及提高頻譜檢測(cè)精度。

關(guān)鍵詞：貝葉斯壓縮感知；測(cè)量矩陣；超寬帶；頻譜檢測(cè)

1 基于頻域建模的頻段頻譜檢測(cè)算法

基于測(cè)量的統(tǒng)計(jì)模型一般分為時(shí)域模型和頻域模型[1]。時(shí)域模型的信道脈沖響應(yīng)是時(shí)變離散橫向?yàn)V波器的輸出形式，濾波器的響應(yīng)是建立在所測(cè)量的多徑傳播信號(hào)的幅度、時(shí)延和相位的統(tǒng)計(jì)特性基礎(chǔ)上的；而頻域模型是建立在再生的信道頻率響應(yīng)的基礎(chǔ)之上的，頻域模型要比時(shí)域模型簡(jiǎn)單得多。

基于以上思想我們對(duì)接收端的傳輸信道上的信號(hào)類(lèi)型進(jìn)行頻域建模，考慮到實(shí)際的通信在接收端進(jìn)行頻譜檢測(cè)，由于不知道在信道上除了主通信用戶(hù)外還存在別的調(diào)制到該通信信道上的信號(hào)類(lèi)型，我們?cè)陬l域建模時(shí)就考慮在通信信道上除了有UWB信號(hào)，還有WB信號(hào)，窄帶信號(hào)和干擾信號(hào)以及噪聲。頻域建模模型如下圖1所示：

基于BCS的接收端高頻段的頻譜感知與檢測(cè)不僅能估計(jì)信號(hào)的參數(shù)，還能估計(jì)信號(hào)的誤差帶，保證了估計(jì)參數(shù)的不確定性測(cè)量，以及在沒(méi)有任何先驗(yàn)假設(shè)情況下獲取最小的采樣數(shù)目[2]。通過(guò)下面的仿真實(shí)驗(yàn)分析也驗(yàn)證了BCS能直接、準(zhǔn)確檢測(cè)各信號(hào)頻譜，同時(shí)與CS的正交匹配追蹤OMP檢測(cè)做了比較，基于BCS的頻譜檢測(cè)具有檢測(cè)采樣數(shù)目少，但花費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)的劣勢(shì)，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)利用改進(jìn)的確定觀測(cè)矩陣能避免常規(guī)的隨機(jī)觀測(cè)占用系統(tǒng)內(nèi)存過(guò)大及檢測(cè)耗時(shí)長(zhǎng)的問(wèn)題，改進(jìn)后的算法在給定的頻域信道頻譜模型上能較好完成頻譜感知與檢測(cè)任務(wù)。利用BCS方法進(jìn)行接收端頻譜感知與檢測(cè)的模型如下圖2所示：

2 一種新的測(cè)量矩陣構(gòu)造

⑴選取合適的低維正交“種子”向量。“種子”向量個(gè)數(shù)與其維數(shù)n相等，理想狀態(tài)下，選取的“種子”向量組成的矩陣U應(yīng)該為著正交矩陣（如高斯正交矩陣）， ，E單位矩陣；若不滿(mǎn)足該條件，則應(yīng)保證矩陣U的行向量和列向量?jī)?nèi)部之間兩兩正交。

⑵根據(jù)初始向量維數(shù)n與高維列向量維數(shù)N，計(jì)算循環(huán)直積的次數(shù) ，初始值 ， ，其中i=2，3，4，…，k。

⑶經(jīng)過(guò)k次循環(huán)直積獲得的矩陣Rk為N階矩陣且行向量和列向量?jī)?nèi)部之間兩兩正交，根據(jù)矩陣分析QR分解相關(guān)定理，矩陣 Rk可通過(guò)新QR分解獲得正交矩陣。

⑷從循環(huán)直積獲得的矩陣列向量之間相互正交，矩陣Rk為可逆矩陣，對(duì)Rk進(jìn)行QR分解得到Rk=UkTk，其中Tk為上三角矩陣，Uk為正交矩陣，階數(shù)等于測(cè)量矩陣的列數(shù)N。同時(shí)正交矩陣 去除了Uk列向量之間的相關(guān)關(guān)系。

⑸從Uk中選取測(cè)量數(shù)M行構(gòu)成新的測(cè)量矩陣。即：

其中C為選取的M行對(duì)應(yīng)下標(biāo)的集合， 即為新構(gòu)成的測(cè)量矩陣。

⑹對(duì)新構(gòu)成的測(cè)量矩陣 進(jìn)行歸一化處理，使其滿(mǎn)足符合RIP準(zhǔn)則[3]。

3 算法驗(yàn)證與實(shí)驗(yàn)分析

仿真條件：針對(duì)一個(gè)復(fù)雜電磁環(huán)境信道，頻帶50G，采樣頻率100G，其中包含有UWB信號(hào)（帶寬500M），寬帶信號(hào)（帶寬125M）。窄帶信號(hào)（帶寬25M），干擾信號(hào)（帶寬25M）以及隨機(jī)分布的高斯白噪聲。頻率采樣間隔為25MHz，令同一種信號(hào)在同一個(gè)信道內(nèi)幅度相同，信噪比為20dB，采樣矩陣為1024*2048的高斯隨機(jī)矩陣，新算法的為KQ觀測(cè)矩陣；壓縮比為1/2。仿真結(jié)果如下圖3所示：

通過(guò)之前的頻譜建模方法，建模是在以25M帶寬為一個(gè)子信道的帶寬，UWB信號(hào)頻譜建模占用分別從第200個(gè)、第500個(gè)、第800個(gè)信道開(kāi)始，WB信號(hào)信號(hào)頻譜建模占用從150個(gè)、第300個(gè)、第1800個(gè)信道開(kāi)始，對(duì)于窄帶和干擾信號(hào)頻譜占用分別為第10個(gè)、第600個(gè)、第1000個(gè)信道，實(shí)驗(yàn)分析可以看出：建立的頻譜模型占用的信道標(biāo)號(hào)跟在實(shí)驗(yàn)中利用改進(jìn)的BCS算法所得到的各頻譜占用信道的情況完全相同，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)在信道信噪比為20dB時(shí)，利用改進(jìn)的算法完全符合建模的情況。這也體現(xiàn)了改進(jìn)的算法的有效性。如下圖4所示為利用BCS、QBCS對(duì)頻譜進(jìn)行檢測(cè)的誤差隨信道信噪比變化曲線(xiàn)圖：

相較于BCS，在10dB條件下，QBCS對(duì)UWB信道的估計(jì)更加準(zhǔn)確，特別是對(duì)窄帶干擾信道的估計(jì)接近于真實(shí)值，虛驚率比BCS還要低，降低了33.3%。在20dB條件下，QBCS相較于BCS對(duì)UWB信道的估計(jì)也更加準(zhǔn)確，特別是對(duì)窄帶干擾信道的估計(jì)接近于真實(shí)值，虛驚率比BCS低，降低了85.72%。

4 結(jié)束語(yǔ)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于BCS理論，對(duì)處理UWB頻譜檢測(cè)優(yōu)勢(shì)非常明顯。特別是通過(guò)對(duì)算法的優(yōu)化和改進(jìn)，加快了算法的收斂速度，提高了重構(gòu)精度，降低了信道預(yù)報(bào)的虛警率。

[參考文獻(xiàn)]

[1]王艷芬，于洪珍，等.超寬帶多徑信道的頻域建模與仿真[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用.2007（33），第138頁(yè).

[2]Shihao Ji，Ya Xue，Carin L.，“Bayesian Compressive Sensing”， IEEE Trans.on Signal Processing，2008，56（6），2346-2356.

[3]D.L.Donoho，“Compressed Sensing”，IEEE Trans.on Information Theory.2006，52（4）：1289-1306.