粟高軍

本部分內(nèi)容主要包含等差數(shù)列與等比數(shù)列的整合問(wèn)題，數(shù)列與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，以數(shù)列為背景的創(chuàng)新問(wèn)題等，其主要考查公式的靈活應(yīng)用能力、運(yùn)算能力. 在客觀題中，突出考查兩種數(shù)列的整合問(wèn)題，合情推理在數(shù)列中的應(yīng)用，新定義問(wèn)題等;而在解答題中，以中等難度題為主，重點(diǎn)考查數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題，以及探索性問(wèn)題、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等.

重點(diǎn)：熟練掌握等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和求和公式，熟悉等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，培養(yǎng)突破數(shù)列綜合問(wèn)題的能力;熟練把握等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算技巧，提高運(yùn)算能力，準(zhǔn)確定位解題的方向;善于利用數(shù)列知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

難點(diǎn)：數(shù)列與不等式的交匯;數(shù)列與函數(shù)、方程的交匯;與數(shù)列有關(guān)的創(chuàng)新性試題，如實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題、探索性問(wèn)題、新定義問(wèn)題等.

1. 解決等差數(shù)列與等比數(shù)列整合問(wèn)題的基本策略

等差數(shù)列與等比數(shù)列整合問(wèn)題一般與求通項(xiàng)公式及求和問(wèn)題相聯(lián)系，可利用通項(xiàng)公式或求和公式將已知的條件轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)列基本量所滿足的方程，通過(guò)聯(lián)立方程組求解. 同時(shí)，注意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活轉(zhuǎn)化條件，建立已知和待求之間的聯(lián)系，減少運(yùn)算量，提高解題速度.

2. 突破數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合問(wèn)題的三個(gè)轉(zhuǎn)化

數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合問(wèn)題一般與函數(shù)的性質(zhì)與圖象、方程的解、數(shù)列中的基本運(yùn)算相聯(lián)系，解決此類問(wèn)題需要實(shí)現(xiàn)以下三個(gè)方向的轉(zhuǎn)化：①函數(shù)條件的轉(zhuǎn)化，直接利用函數(shù)與數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把函數(shù)解析式中的x換成n即可;②方程條件的轉(zhuǎn)化，一般要根據(jù)方程解的有關(guān)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化;③數(shù)列向函數(shù)的轉(zhuǎn)化，可將數(shù)列中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的相應(yīng)問(wèn)題去處理，但要注意自變量取值范圍的限制. 對(duì)于函數(shù)中的最值、范圍等問(wèn)題的求解，可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性或方程有解的條件去解決

3.化解數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題的主要方法

數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題是近年來(lái)高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，其中大多數(shù)以數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和問(wèn)題為背景，考查數(shù)列中的不等式的證明和不等式恒成立問(wèn)題等. 求解與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)行合理的變形、求和，最后進(jìn)行放縮，從而得出結(jié)論. 求解與數(shù)列有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題的方法是利用“參變分離”或其他技巧轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題去處理，然后再利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求最值.

4. 求解數(shù)列應(yīng)用題的三個(gè)步驟

數(shù)列應(yīng)用題的求解過(guò)程類似于函數(shù)應(yīng)用題的求解過(guò)程，一般分成如下三步：①建模，即認(rèn)真審題，理解實(shí)際背景，理清數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問(wèn)題抽象為數(shù)列問(wèn)題;②解模，即利用數(shù)列知識(shí)，解決建立的數(shù)列模型中的相關(guān)問(wèn)題;③釋模，即把已解決的數(shù)列模型中的問(wèn)題還原到實(shí)際問(wèn)題中去，確定實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.

5. 解數(shù)列創(chuàng)新問(wèn)題的常用技巧

數(shù)列中的創(chuàng)新試題主要包括新定義問(wèn)題和探索性問(wèn)題，求解技巧如下：①破解數(shù)列新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題中所給的定義，把握其本質(zhì)，再根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練運(yùn)用歸納類比、構(gòu)造、正難則反、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法解題;②破解數(shù)列探索性問(wèn)題的關(guān)鍵是先分清探索的類型，然后采取對(duì)應(yīng)的策略處理.如條件探索性問(wèn)題，往往采取分析法，從結(jié)論和部分條件入手，執(zhí)果導(dǎo)因，導(dǎo)出所需條件;結(jié)論探索性問(wèn)題，則需要充分利用已知條件進(jìn)行猜想、透徹分析，發(fā)現(xiàn)規(guī)律、獲取結(jié)論;存在探索性問(wèn)題，則先假設(shè)存在，導(dǎo)出正確結(jié)論或?qū)С雒埽M(jìn)而得出結(jié)論;規(guī)律探索性問(wèn)題，則需要研究簡(jiǎn)化形式但保持本質(zhì)的特殊情形，從條件出發(fā)，通過(guò)觀察分析、歸納類比來(lái)探路，最后總結(jié)得出需要的結(jié)論.

例1 ?設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，滿足2Sn=an+1-2+1，n∈N？鄢，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列.

（1）求a1的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（3）證明：++…+<.

思索 ?細(xì)細(xì)品味該題，設(shè)計(jì)上層層遞進(jìn)，“簡(jiǎn)約不簡(jiǎn)單”. 該題有意識(shí)地從數(shù)列的遞推關(guān)系出發(fā)，引導(dǎo)考生計(jì)算a1，繼而求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，最后落腳點(diǎn)就是第（3）小問(wèn). 雖然呈現(xiàn)形式是不等式，而實(shí)質(zhì)還是數(shù)列求和. 對(duì)于第（3）小問(wèn)，直接將不等式左邊求和化簡(jiǎn)是不現(xiàn)實(shí)的，考慮不等式證明，我們自然想到將an=進(jìn)行放大變形，繼而求和化簡(jiǎn).

破解 ?（1）由2Sn=an+1-2+1得2a1=a2-22+1，2（a1+a2）=a3-23+1. 又a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，所以2（a2+5）=a1+a3，由此解得a1=1.

（2）因?yàn)?Sn=an+1-2+1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn-1=an-2n+1，所以2Sn-2Sn-1=an+1-an-2n，即an+1=3an+2n（n≥2）.

因?yàn)閍1=1，a2=5，所以當(dāng)n=1時(shí)，an+1=3an+2n也成立.

因?yàn)閍n+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，所以an+2n=3n，an=3n-2n.

（3）（方法一：通項(xiàng)巧妙放縮，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題）

因?yàn)閍n=3n-2n=3+2×3-2n=3+2（3-2）>3，所以<，所以++…+<++…+=·1-<.

（方法二：通項(xiàng)巧妙放縮，進(jìn)而用裂項(xiàng)相消法求和）

當(dāng)n=1時(shí)，=1<，顯然成立;當(dāng)n=2時(shí)，+=1+<，顯然成立.

當(dāng)n≥3時(shí)，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C·2+C·22+…+C·2+2n-2n=1+C·2+C·22+…+C·2>C·22=2n（n-1）.

又因?yàn)閍2=5>2×2×（2-1），所以當(dāng)n≥2時(shí)，an>2n（n-1），所以可得<=-，所以+++…+<1+1-+-+endprint

…+-=1+1-<.

例2 ?已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1+an=3·2n，n∈N？鄢.

（1）證明：數(shù)列{an-2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若1

？搖？搖思索 ?本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義等基礎(chǔ)知識(shí);考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程等基本數(shù)學(xué)思想. 突破本題的關(guān)鍵是：（1）證明一個(gè)數(shù)列為等比或等差數(shù)列，一般都是從定義入手. 本小題首先需要將已知條件an+1+an=3·2n變形為an+1-2n+1=-（an-2n），由于a1-2=3-2=1≠0，則=-1（常數(shù)），然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{an-2n}是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，求得an=2n+（-1）（n∈N？鄢）. （2）本小題首先假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)a，ak，a（k≥2，k∈N？鄢）成等差數(shù)列，則2ak=ak-1+ak+1，代入通項(xiàng)公式可得k=3，即a2，a3，a4成等差數(shù)列. （3）本小題首先根據(jù)a1，ar，as成等差數(shù)列，得2ar=a1+as，于是有2s-2=2·（-1）-（-1）-3，然后通過(guò)不定方程的分類討論可得結(jié)論.

破解 ?（1）將已知條件a+an=3·2n變形為an+1-2=-（an-2n）. 由于a1-2=3-2=1≠0，則=-1（常數(shù)）. 即數(shù)列{an-2n}是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，所以an-2n=1·（-1）n-1=（-1）n-1，即an=2n+（-1）n-1（n∈N？鄢）.

（2）假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為a，ak，ak+1（k≥2，k∈N？鄢）.由題意得2ak=a+a，將ak=2k+（-1）k-1，ak-1=2k-1+（-1），ak+1=2k+1+（-1）k代入上式得2[2k+（-1）k-1]=[2k-1+（-1）k-2]+[2k+1+（-1）k]，化簡(jiǎn)得-2k-1=4·（-1）k-2，即2k-1=4·（-1）k-1，得（-2）k-1=4，解得k=3. 所以，存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為a2，a3，a4成等差數(shù)列.

（3）若a1，ar，as成等差數(shù)列，則2ar=a1+as，即2[2r+（-1）r-1]=3+2s+（-1）s-1，變形得2s-2r+1=2·（-1）r-1-（-1）s-1-3. 由于若r，s∈N？鄢且1

綜上①②③④可知，只有當(dāng)r為奇數(shù)，s為偶數(shù)時(shí)，a1，ar，as成等差數(shù)列，此時(shí)滿足條件點(diǎn)列（r，s）落在直線y=x+1（其中x為正奇數(shù)）上.

例3 ?已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×n-1+， Tn為{bn}的前n項(xiàng)和. 若對(duì)任意n∈N？鄢，不等式≥2n-7恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______.

思索 ?本題屬于數(shù)列和不等式的綜合問(wèn)題. 根據(jù)題意，首先需要將數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn求出，然后代入不等式并進(jìn)行變形，參變分離轉(zhuǎn)化為求數(shù)列最值問(wèn)題去處理.

破解 ?因?yàn)閎n=3×n-1+，所以Tn=31+++…++=+=61-+. 因?yàn)椴坏仁健?n-7，化簡(jiǎn)得k≥對(duì)任意n∈N？鄢恒成立. 設(shè)cn=，則cn+1-cn=-=. 當(dāng)n≥5時(shí)，cn+1≤cn，{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n<5，cn+1>cn，{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，=c4

1. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

2. 已知b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;？搖

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤+1.

參考答案

1. （1）依題意，2S1=a2--1-，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=（n-1）an-（n-1）3-（n-1）2-（n-1）. 兩式相減得2an=nan+1-（n-1）an-（3n2-3n+1）-（2n-1）-. 整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即-=1，又-=1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，所以=1+（n-1）×1=n，所以an=n2.

（3）當(dāng)n=1時(shí)，=1<;當(dāng)n=2時(shí)，+=1+=<;當(dāng)n≥3時(shí)，=<=-. 此時(shí)++…+=1++++…+<1++-+-+…+-=1++-=-<.

綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

2. （1）由a1=b>0，知an=>0，=+·. 令A(yù)n=，A1=，當(dāng)n≥2時(shí)，An=+An-1？搖=++

…++A1=++…++. 所以an=，b≠2，2，b=2.

（2）當(dāng)b≠2時(shí)，欲證an=≤+1，只需證nbn≤+1，（2n+1+bn+1）=（2n+1+bn+1）（bn-1+2bn-2+…+2n-1）=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn++…++++…+>2nbn（2+2+…+2）=2n·2nbn=n·2n+1bn，所以an=<+1. 當(dāng)b=2時(shí)，an=2=+1. 綜上所述，an≤+1.endprint

…+-=1+1-<.

例2 ?已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1+an=3·2n，n∈N？鄢.

（1）證明：數(shù)列{an-2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若1

？搖？搖思索 ?本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義等基礎(chǔ)知識(shí);考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程等基本數(shù)學(xué)思想. 突破本題的關(guān)鍵是：（1）證明一個(gè)數(shù)列為等比或等差數(shù)列，一般都是從定義入手. 本小題首先需要將已知條件an+1+an=3·2n變形為an+1-2n+1=-（an-2n），由于a1-2=3-2=1≠0，則=-1（常數(shù)），然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{an-2n}是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，求得an=2n+（-1）（n∈N？鄢）. （2）本小題首先假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)a，ak，a（k≥2，k∈N？鄢）成等差數(shù)列，則2ak=ak-1+ak+1，代入通項(xiàng)公式可得k=3，即a2，a3，a4成等差數(shù)列. （3）本小題首先根據(jù)a1，ar，as成等差數(shù)列，得2ar=a1+as，于是有2s-2=2·（-1）-（-1）-3，然后通過(guò)不定方程的分類討論可得結(jié)論.

破解 ?（1）將已知條件a+an=3·2n變形為an+1-2=-（an-2n）. 由于a1-2=3-2=1≠0，則=-1（常數(shù)）. 即數(shù)列{an-2n}是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，所以an-2n=1·（-1）n-1=（-1）n-1，即an=2n+（-1）n-1（n∈N？鄢）.

（2）假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為a，ak，ak+1（k≥2，k∈N？鄢）.由題意得2ak=a+a，將ak=2k+（-1）k-1，ak-1=2k-1+（-1），ak+1=2k+1+（-1）k代入上式得2[2k+（-1）k-1]=[2k-1+（-1）k-2]+[2k+1+（-1）k]，化簡(jiǎn)得-2k-1=4·（-1）k-2，即2k-1=4·（-1）k-1，得（-2）k-1=4，解得k=3. 所以，存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為a2，a3，a4成等差數(shù)列.

（3）若a1，ar，as成等差數(shù)列，則2ar=a1+as，即2[2r+（-1）r-1]=3+2s+（-1）s-1，變形得2s-2r+1=2·（-1）r-1-（-1）s-1-3. 由于若r，s∈N？鄢且1

綜上①②③④可知，只有當(dāng)r為奇數(shù)，s為偶數(shù)時(shí)，a1，ar，as成等差數(shù)列，此時(shí)滿足條件點(diǎn)列（r，s）落在直線y=x+1（其中x為正奇數(shù)）上.

例3 ?已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×n-1+， Tn為{bn}的前n項(xiàng)和. 若對(duì)任意n∈N？鄢，不等式≥2n-7恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______.

思索 ?本題屬于數(shù)列和不等式的綜合問(wèn)題. 根據(jù)題意，首先需要將數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn求出，然后代入不等式并進(jìn)行變形，參變分離轉(zhuǎn)化為求數(shù)列最值問(wèn)題去處理.

破解 ?因?yàn)閎n=3×n-1+，所以Tn=31+++…++=+=61-+. 因?yàn)椴坏仁健?n-7，化簡(jiǎn)得k≥對(duì)任意n∈N？鄢恒成立. 設(shè)cn=，則cn+1-cn=-=. 當(dāng)n≥5時(shí)，cn+1≤cn，{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n<5，cn+1>cn，{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，=c4

1. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

2. 已知b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;？搖

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤+1.

參考答案

1. （1）依題意，2S1=a2--1-，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=（n-1）an-（n-1）3-（n-1）2-（n-1）. 兩式相減得2an=nan+1-（n-1）an-（3n2-3n+1）-（2n-1）-. 整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即-=1，又-=1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，所以=1+（n-1）×1=n，所以an=n2.

（3）當(dāng)n=1時(shí)，=1<;當(dāng)n=2時(shí)，+=1+=<;當(dāng)n≥3時(shí)，=<=-. 此時(shí)++…+=1++++…+<1++-+-+…+-=1++-=-<.

綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

2. （1）由a1=b>0，知an=>0，=+·. 令A(yù)n=，A1=，當(dāng)n≥2時(shí)，An=+An-1？搖=++

…++A1=++…++. 所以an=，b≠2，2，b=2.

（2）當(dāng)b≠2時(shí)，欲證an=≤+1，只需證nbn≤+1，（2n+1+bn+1）=（2n+1+bn+1）（bn-1+2bn-2+…+2n-1）=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn++…++++…+>2nbn（2+2+…+2）=2n·2nbn=n·2n+1bn，所以an=<+1. 當(dāng)b=2時(shí)，an=2=+1. 綜上所述，an≤+1.endprint

…+-=1+1-<.

例2 ?已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1+an=3·2n，n∈N？鄢.

（1）證明：數(shù)列{an-2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（2）在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）若1

？搖？搖思索 ?本題考查數(shù)列的遞推公式，等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義等基礎(chǔ)知識(shí);考查分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)方程等基本數(shù)學(xué)思想. 突破本題的關(guān)鍵是：（1）證明一個(gè)數(shù)列為等比或等差數(shù)列，一般都是從定義入手. 本小題首先需要將已知條件an+1+an=3·2n變形為an+1-2n+1=-（an-2n），由于a1-2=3-2=1≠0，則=-1（常數(shù)），然后根據(jù)等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{an-2n}是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，求得an=2n+（-1）（n∈N？鄢）. （2）本小題首先假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)a，ak，a（k≥2，k∈N？鄢）成等差數(shù)列，則2ak=ak-1+ak+1，代入通項(xiàng)公式可得k=3，即a2，a3，a4成等差數(shù)列. （3）本小題首先根據(jù)a1，ar，as成等差數(shù)列，得2ar=a1+as，于是有2s-2=2·（-1）-（-1）-3，然后通過(guò)不定方程的分類討論可得結(jié)論.

破解 ?（1）將已知條件a+an=3·2n變形為an+1-2=-（an-2n）. 由于a1-2=3-2=1≠0，則=-1（常數(shù)）. 即數(shù)列{an-2n}是以1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列，所以an-2n=1·（-1）n-1=（-1）n-1，即an=2n+（-1）n-1（n∈N？鄢）.

（2）假設(shè)在數(shù)列{an}中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，不妨設(shè)連續(xù)的三項(xiàng)依次為a，ak，ak+1（k≥2，k∈N？鄢）.由題意得2ak=a+a，將ak=2k+（-1）k-1，ak-1=2k-1+（-1），ak+1=2k+1+（-1）k代入上式得2[2k+（-1）k-1]=[2k-1+（-1）k-2]+[2k+1+（-1）k]，化簡(jiǎn)得-2k-1=4·（-1）k-2，即2k-1=4·（-1）k-1，得（-2）k-1=4，解得k=3. 所以，存在滿足條件的連續(xù)三項(xiàng)為a2，a3，a4成等差數(shù)列.

（3）若a1，ar，as成等差數(shù)列，則2ar=a1+as，即2[2r+（-1）r-1]=3+2s+（-1）s-1，變形得2s-2r+1=2·（-1）r-1-（-1）s-1-3. 由于若r，s∈N？鄢且1

綜上①②③④可知，只有當(dāng)r為奇數(shù)，s為偶數(shù)時(shí)，a1，ar，as成等差數(shù)列，此時(shí)滿足條件點(diǎn)列（r，s）落在直線y=x+1（其中x為正奇數(shù)）上.

例3 ?已知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3×n-1+， Tn為{bn}的前n項(xiàng)和. 若對(duì)任意n∈N？鄢，不等式≥2n-7恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______.

思索 ?本題屬于數(shù)列和不等式的綜合問(wèn)題. 根據(jù)題意，首先需要將數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn求出，然后代入不等式并進(jìn)行變形，參變分離轉(zhuǎn)化為求數(shù)列最值問(wèn)題去處理.

破解 ?因?yàn)閎n=3×n-1+，所以Tn=31+++…++=+=61-+. 因?yàn)椴坏仁健?n-7，化簡(jiǎn)得k≥對(duì)任意n∈N？鄢恒成立. 設(shè)cn=，則cn+1-cn=-=. 當(dāng)n≥5時(shí)，cn+1≤cn，{cn}為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)1≤n<5，cn+1>cn，{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列，=c4

1. 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. 已知a1=1，=an+1-n2-n-，n∈N？鄢.

（1）求a2的值;

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

2. 已知b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=（n≥2）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;？搖

（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤+1.

參考答案

1. （1）依題意，2S1=a2--1-，又S1=a1=1，所以a2=4.

（2）當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn=nan+1-n3-n2-n，2Sn-1=（n-1）an-（n-1）3-（n-1）2-（n-1）. 兩式相減得2an=nan+1-（n-1）an-（3n2-3n+1）-（2n-1）-. 整理得（n+1）an=nan+1-n（n+1），即-=1，又-=1，故數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，所以=1+（n-1）×1=n，所以an=n2.

（3）當(dāng)n=1時(shí)，=1<;當(dāng)n=2時(shí)，+=1+=<;當(dāng)n≥3時(shí)，=<=-. 此時(shí)++…+=1++++…+<1++-+-+…+-=1++-=-<.

綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+<.

2. （1）由a1=b>0，知an=>0，=+·. 令A(yù)n=，A1=，當(dāng)n≥2時(shí)，An=+An-1？搖=++

…++A1=++…++. 所以an=，b≠2，2，b=2.

（2）當(dāng)b≠2時(shí)，欲證an=≤+1，只需證nbn≤+1，（2n+1+bn+1）=（2n+1+bn+1）（bn-1+2bn-2+…+2n-1）=2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1=2nbn++…++++…+>2nbn（2+2+…+2）=2n·2nbn=n·2n+1bn，所以an=<+1. 當(dāng)b=2時(shí)，an=2=+1. 綜上所述，an≤+1.endprint