馬麗麗，張 芬，陳金廣

（西安工程大學(xué) 計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 西安710048）

0 引 言

隨機集理論是一種能夠有效地統(tǒng)一概率論、證據(jù)理論、模糊集理論、可能性理論和粗糙集理論等多種不確定性理論的有效數(shù)學(xué)工具［1，2］。隨機集理論作為一門基礎(chǔ)理論，它的研究起源于經(jīng)濟系統(tǒng)和控制系統(tǒng)的需求。Kendall對基于關(guān)聯(lián)函數(shù)的隨機集理論進行研究，從而奠定了隨機集理論的基礎(chǔ)；Matheron給出了隨機集與隨機過程和現(xiàn)代鞅論的應(yīng)用。國內(nèi)張文修率先在該領(lǐng)域展開研究，并出版了相關(guān)論著。李世楷對隨機集積分序列的收斂性、隨機集過程的可分性與可測性，以及隨機集序列關(guān)于Vietoris拓撲的收斂性和區(qū)間值鞅及其收斂性等內(nèi)容做了深入研究。隨著隨機集理論的不斷完善和發(fā)展，近年來出現(xiàn)了利用隨機集理論研究不確定性信息融合問題的熱潮，如不確定性信息融合方法的隨機集描述［3］、不確定性故障信息診斷［4－6］和多目標跟蹤［7，8］等。

利用隨機集對證據(jù)理論進行表示實際上是利用隨機集的廣義集值映射和聯(lián)合條件概率形式來推導(dǎo)出一種證據(jù)組合規(guī)則的統(tǒng)一表示模型［9，10］。該模型能對組合規(guī)則進行統(tǒng)一描述，而且它試圖為研究者提供一種構(gòu)造更多證據(jù)組合規(guī)則的新思路［11］。本文在證據(jù)理論的隨機集統(tǒng)一建模與DSmT（dezert－smarandache theory）隨機集表示的基礎(chǔ)上，給出PCR（proportional conflict redistribution rules）分配法則向隨機集形式轉(zhuǎn)換的規(guī)則，進而推導(dǎo)出PCR 法則的隨機集表示形式。研究結(jié)果對PCR 規(guī)則在隨機集理論框架下的統(tǒng)一表示和處理提供了有益思路。

1 隨機集統(tǒng)一表示模型及DSmT的隨機集表示

設(shè)X1，X2，…，Xn是定義在Θ上相互獨立的隨機集。利用隨機集的聯(lián)合條件概率與廣義集值映射M ，可以定義并推導(dǎo)出證據(jù)組合規(guī)則的統(tǒng)一表示模型，即統(tǒng)一表達式為m（A）＝P｛（ω：M（X1（ω），…，Xn（ω））＝A）

式中：集合A1，…，An以及它們的交集A ，都是Θ的子集。根據(jù)不同的情況，C 可以是Θ所有子集或部分子集組成的集類。式（1）即可看作為證據(jù)組合規(guī)則的隨機集統(tǒng)一表示模型［2，12］。

DSmT 是DST 的一種推廣和延伸，不僅能夠處理信息融合過程中的并集運算，還能夠處理信息融合過程中的交集運算，是一種通用、靈活、有效、自上而下的較新穎的信息融合算法。文獻［2］給出了DSmT 證據(jù)組合規(guī)則的隨機集表示，該表示描述如下。若令廣義集值映射中的B＝DΘ，則可定義DSmT 的MDSm為MDSm（X1（ω），X2（ω））＝A，如果X1（ω）∩X2（ω）＝A。令C＝DΘ，對于任意的A∈DΘ，則有

在DSmT 理論框架下有5種分配法則，分別是PCR1，PCR2，…，PCR5。PCR 的5種分配法則是把沖突函數(shù)以5種不同的方式進行了重新分配。PCR 分配法則適用于任何程度的沖突，無論是k12∈［0，1］或者k12…s∈［0，1］。且其還適用于任意的DSm 模型，包括Shafer模型、自由DSm模型和混合DSm 模型。PCR 是DST 和DSmT 的發(fā)展和延伸，不僅能夠應(yīng)用DST 和DSmT 的框架，而且還對交換律、無意義的置信指派的中立影響進行了保留［13］。因此，PCR 分配法則在多源信息融合中的精確性是優(yōu)于其它眾多信息融合規(guī)則的。而要確立一個統(tǒng)一的系統(tǒng)體系模型來實現(xiàn)一個完善的信息融合工具，對PCR 分配法則的隨機集表示就顯得尤為重要。

2 PCR分配法則的隨機集表示

根據(jù)一些學(xué)者所提出的經(jīng)典組合規(guī)則的隨機集表示，結(jié)合目前隨機集理論在信息融合領(lǐng)域的發(fā)展，下面給出PCR 分配法則隨機集表示形式的轉(zhuǎn)換規(guī)則，包括證據(jù)理論組合規(guī)則中的加法、減法、乘法、除法和選擇取值法等向隨機集表示轉(zhuǎn)換的規(guī)則。

轉(zhuǎn)換規(guī)則1：證據(jù)理論中加法的隨機集表示轉(zhuǎn)換方法。當(dāng)加法存在于組合規(guī)則中時，加法位于分子或者分母且加法的左右是由兩個置信函數(shù)組成時，加法用表示。如PCR1分配法則中的m1（X）＋m2（X）對應(yīng)的隨機集表示形式為（MP1（X1（ω），X2（ω））（A，＼，X1（ω）＝X2（ω）＝A）。對于存在于組合規(guī)則中加法的其它情況且加法左右的置信函數(shù)大于2時，加法用‖表示。如PCR3分配法則中的m1（Y）m2（X）＋m1（X）m2（Y），對應(yīng)的隨機集表示形式為MP3（X1（ω），X2（ω））∈，X1（ω）＝Y(jié)，X2（ω）＝X）‖MP3（X1（ω），X2（ω））∈，X1（ω）＝X，X2（ω）＝Y(jié)）。

轉(zhuǎn)換規(guī)則2：證據(jù)理論中減法的隨機集表示轉(zhuǎn)換方法。當(dāng)組合規(guī)則中存在減法時，可以用焦元論域的補集形式表示。需要指出的是，在PCR 分配法則中沒有出現(xiàn)減法，但是在證據(jù)理論的融合規(guī)則中還是有減法存在，因此此處也給處了減法的轉(zhuǎn)換規(guī)則。

轉(zhuǎn)換規(guī)則6：焦元的論域都放入關(guān)系符后的括號中，焦元對應(yīng)的命題意義也放入關(guān)系符后的括號中。

利用這些轉(zhuǎn)換規(guī)則就可以實現(xiàn)PCR 分配法則向隨機集表示形式的轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換過程及結(jié)果分別敘述如下。

（1）PCR1的隨機集表示

若定義廣義集值映射MP1為MP1（X1（ω），X2（ω））＝A，如果（X1（ω）∩X2（ω）＝A）或者（X1（ω）∩X2（ω）＝）。令C＝DΘ，對于任意的A∈DΘ，則有PCR1的隨機集表示為

（2）PCR2的隨機集表示

若定義廣義集值映射MP2為MP2（X1（ω），X2（ω））＝A，如果（X1（ω）∩X2（ω）＝A）或者（X1（ω）∩X2（ω）＝）。令C＝DΘ，對于任意的A∈DΘ，則有PCR2 的隨機集表示為

（3）PCR4的隨機集表示

若定義廣義集值映射MP4為MP4（X1（ω），X2（ω））＝A，如果（X1（ω）∩X2（ω）＝A）或者（X1（ω）∩X2（ω）＝）。令C ＝DΘ，對于任意的A ∈DΘ，則有PCR4的隨機集表示為

（4）PCR5的隨機集表示

若定義廣義集值映射MP4為MP5（X1（ω），X2（ω））＝A，如果（X1（ω）∩X2（ω）＝A）或者（X1（ω）∩X2（ω）＝）。令C＝DΘ，對于任意的A∈DΘ，則有PCR5的隨機集表示為

以上為PCR 分配法則向隨機集表示的轉(zhuǎn)換過程。其中PCR3也可以采用筆者所提出的轉(zhuǎn)換規(guī)則進行隨機集表示，但是由于其表示形式較為冗長，本文沒有列出。隨機集表示形式的出現(xiàn)，能夠使不同類型的信息運用同一種系統(tǒng)、統(tǒng)一的多源信息融合理論框架進行處理，從而實現(xiàn)對多源信息融合系統(tǒng)的有效建模與處理。

3 結(jié)束語

隨機集理論在其它各個領(lǐng)域的發(fā)展及其在信息融合領(lǐng)域的發(fā)展，為信息融合處理技術(shù)的統(tǒng)一模型的建立做出了一定的貢獻。信息的多樣性和復(fù)雜性使得信息處理技術(shù)的統(tǒng)一模型成為研究的難點。為此，本文根據(jù)現(xiàn)有的證據(jù)理論統(tǒng)一建模及其DSmT 理論的隨機集表示，提出了一種隨機集表示形式的轉(zhuǎn)換規(guī)則。并根據(jù)這種隨機集表示形式的轉(zhuǎn)換規(guī)則結(jié)合現(xiàn)有的經(jīng)典組合規(guī)則的隨機集表示，給出了DSmT 框架下的PCR 分配法則的隨機集表示，為信息的統(tǒng)一建模與表示提供了有益思路。

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