胡鈞銘， 楊燕紅， 魏發(fā)遠(yuǎn)， 葛任偉

（1.西華大學(xué)交通與汽車學(xué)院，成都610039；2.中國(guó)工程物理研究院總體工程研究所，四川綿陽(yáng)621900）

0 引言

工程實(shí)際中存在大量與材料理化特性、結(jié)構(gòu)形狀參數(shù)、邊界條件和載荷等相關(guān)的不確定性，認(rèn)識(shí)、量化和評(píng)估各種不確定性對(duì)于產(chǎn)品設(shè)計(jì)及綜合性能保證具有重要作用。不確定性是客觀事物聯(lián)系與發(fā)展過(guò)程中或然的、無(wú)序的、模糊的、近似的屬性。按照來(lái)源的不同可分為隨機(jī)不確定性與認(rèn)知不確定性。隨機(jī)不確定性取決于變量的內(nèi)在變異性，是客觀存在的，不能通過(guò)進(jìn)一步的認(rèn)知研究予以消除；認(rèn)知不確定性主要由認(rèn)識(shí)局限和知識(shí)缺乏所造成，隨著信息的增加可以予以降低［1］。

作為較早關(guān)注不確定性因素對(duì)產(chǎn)品性能影響的設(shè)計(jì)方法，穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法通過(guò)控制設(shè)計(jì)變量使產(chǎn)品對(duì)不確定性因素不敏感［2］。但是傳統(tǒng)穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法大多簡(jiǎn)單地采用概率量化不確定性，這種簡(jiǎn)單地認(rèn)為所有不確定性均可采用概率理論進(jìn)行量化，忽略了設(shè)計(jì)中存在的大量認(rèn)知不確定性。1967 年，Dempster［3］提出了證據(jù)理論，隨后 G.Shafer［4］對(duì)其進(jìn)一步研究和發(fā)展。研究表明，證據(jù)理論是對(duì)經(jīng)典概率理論的一種擴(kuò)展，能對(duì)隨機(jī)、模糊、區(qū)間等不確定性信息進(jìn)行有效處理。近年來(lái)，證據(jù)理論已成為工程分析與優(yōu)化方面的研究熱點(diǎn)［5-9］。本文提出一種基于證據(jù)理論的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法，通過(guò)概率結(jié)構(gòu)的證據(jù)化，建立起隨機(jī)與認(rèn)知不確定性的統(tǒng)一分析框架，并基于根據(jù)響應(yīng)證據(jù)結(jié)構(gòu)所定義的均值與變差構(gòu)建了穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，實(shí)例研究演示和驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 證據(jù)理論基本原理

證據(jù)理論是建立在辨識(shí)框架上的不確定推理和決策理論，其理論基礎(chǔ)包括基本概率分配函數(shù)、信任函數(shù)、似然函數(shù)等以及Dempster證據(jù)合成規(guī)則等。

1.1 基本概率分配函數(shù)

設(shè)Θ是一個(gè)辨識(shí)框架，基本概率分配函數(shù)m是一個(gè)從集合2Θ到［0，1］的映射，A表示辨識(shí)框架Θ的任一子集，記作A?Θ，且滿足：

則將m（A）稱為事件A的基本概率分配值，它表示證據(jù)對(duì)事件A的信任程度?；靖怕史峙浜瘮?shù)可根據(jù)已有數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)構(gòu)造。

1.2 信任函數(shù)與似然函數(shù)

信任函數(shù)Bel和似然函數(shù)Pl都是一個(gè)從集合2Θ到［0，1］的映射，若B表示辨識(shí)框架Θ的任一子集，則：

Bel（B）表示對(duì)B為真的信任程度，Pl（B）表示對(duì)B為非假的信任程度，且Pl（B）≥Bel（B），稱Bel（B）和Pl（B）分別為對(duì)B信任度的下限和上限，記為［Bel（B），Pl（B）］，它表示了對(duì)事件B的不確定區(qū)間。

1.3 Dempster合成規(guī)則

Dempster合成規(guī)則可以綜合不同專家或數(shù)據(jù)源的知識(shí)或數(shù)據(jù)，合并成一個(gè)概率分配函數(shù)，其定義如下：

對(duì)于?A?Θ，Θ 上的兩個(gè)質(zhì)量函數(shù)m1、m2的Dempster合成規(guī)則為：

其中，K為歸一化系數(shù)：

式中K稱為歸一化因子，它反應(yīng)了不同證據(jù)之間的沖突程度，K越小，則說(shuō)明證據(jù)的沖突程度越大。Dempster合成規(guī)則在合成沖突證據(jù)時(shí)，會(huì)得出違反直覺的結(jié)論，對(duì)證據(jù)合成規(guī)則的改進(jìn)見文獻(xiàn)［10］。

2 基于證據(jù)理論的穩(wěn)健優(yōu)化分析

穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)本質(zhì)上是一個(gè)以不確定性量化為基礎(chǔ)的尋優(yōu)過(guò)程，產(chǎn)品性能指標(biāo)及其不確定性是尋優(yōu)的依據(jù)。不確定性量化的結(jié)果（性能指標(biāo)及其不確定性）與實(shí)際問(wèn)題很好吻合，才能確保最終的優(yōu)化結(jié)果具有實(shí)用價(jià)值。穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)中的不確定性分析主要包括：參數(shù)不確定性量化、不確定性傳播、穩(wěn)健準(zhǔn)則構(gòu)建等。

有時(shí)候人們對(duì)醫(yī)院社會(huì)服務(wù)的認(rèn)識(shí)存在誤解：認(rèn)為它完全是為窮人服務(wù)的，主旨就是施財(cái)給錢。其實(shí)這并非是醫(yī)院社會(huì)服務(wù)宗旨，盡管在許多病例中，確實(shí)伴隨著貧困問(wèn)題。

2.1 參數(shù)不確定性量化

參數(shù)不確定性量化，主要包括參數(shù)不確定性類型辨識(shí)和參數(shù)的不確定性表征。

2.1.1 不確定性類型辨識(shí)

參數(shù)的不確定性類型辨識(shí)是從認(rèn)知的角度，依據(jù)所掌握的資料，確認(rèn)參數(shù)的不確定性類型。對(duì)于給定的物理模型，系統(tǒng)響應(yīng)則可被視為認(rèn)知不確定性參數(shù)與隨機(jī)不確定性參數(shù)的函數(shù)，如式（5），其中y為系統(tǒng)響應(yīng)，E為認(rèn)知不確定性參數(shù)，A為隨機(jī)不確定性參數(shù)。

2.1.2 認(rèn)知不確定性表征

證據(jù)理論能直觀表達(dá)專家的意見，利用系列帶有基本概率分配值的區(qū)間實(shí)現(xiàn)對(duì)認(rèn)知不確定性參數(shù)的量化。專家基于各自的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，對(duì)認(rèn)知不確定性參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其形式為m（j）｝，j∈（1，2，…，M），其中 M 為區(qū)間總數(shù)，m（j）為第j個(gè)區(qū)間［，］的基本概率分配值。為了獲取較為準(zhǔn)確的參數(shù)信息，可征求并利用合成規(guī)則整合不同專家的意見。

2.1.3 隨機(jī)不確定性表征

對(duì)于已知分布的隨機(jī)不確定性參數(shù)A，以A～N（μ，σ2）為例，將其近似截?cái)喑桑郐?ξσ，μ+ξσ］，然后離散截?cái)鄥^(qū)間成N個(gè)子區(qū)間［，］，i∈（1，2，…，N），對(duì)于每一子區(qū)間，其基本概率分配值定義為

其中，f（x）是參數(shù)A的概率密度函數(shù)。顯然，隨機(jī)不確定參數(shù)子區(qū)間的基本概率分配值就是概率密度函數(shù)在指定區(qū)間的面積。

2.2 不確定性傳播

C表示所有參數(shù)的笛卡爾積，Cij是C的子集。當(dāng)A和E相互獨(dú)立時(shí)，聯(lián)合基本概率分配值m（Cij）為：

系統(tǒng)響應(yīng)的不確定性是在參數(shù)聯(lián)合概率分配結(jié)構(gòu)下，通過(guò)式（5）計(jì)算獲得響應(yīng)的基本概率分配。即對(duì)于每一個(gè)Cij，計(jì)算響應(yīng)的最小和最大值

且m（［ymin，ymax］）=m（Cij）。顯然，聯(lián)合證據(jù)結(jié)構(gòu)Cij的個(gè)數(shù)以及在其上響應(yīng)極值的計(jì)算是決定證據(jù)理論分析計(jì)算時(shí)間的2個(gè)主要因素。

2.3 穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則

傳統(tǒng)基于概率論的穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則是在系統(tǒng)響應(yīng)均值和方差的基礎(chǔ)上，通過(guò)在最小化響應(yīng)波動(dòng)的同時(shí)，盡可能減小均值與設(shè)計(jì)目標(biāo)間的距離來(lái)實(shí)現(xiàn)的［11］。類比于概率論的均值和方差，提出了區(qū)間證據(jù)結(jié)構(gòu)的均值和變差，以此作為評(píng)價(jià)響應(yīng)穩(wěn)健性的指標(biāo)。

2 .3.1 區(qū)間證據(jù)結(jié)構(gòu)的均值和變差

基于證據(jù)理論的不確定性傳播，獲得的系統(tǒng)響應(yīng)是區(qū)間證據(jù)結(jié)構(gòu)。為表征響應(yīng)的集中和分散程度，定義區(qū)間證據(jù)結(jié)構(gòu)的均值與變差。

2.3.2 穩(wěn)健尋優(yōu)流程

穩(wěn)健設(shè)計(jì)根據(jù)產(chǎn)品性能需求的不同將設(shè)計(jì)分為望大、望小和望目三種［11］?；陧憫?yīng)區(qū)間證據(jù)結(jié)構(gòu)均值與變差，分別構(gòu)建了三類穩(wěn)健設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。

望大/望?。簃ax/min Ey+βDy，

望目：min （Ey-y0）2+β（Dy）2。

其中β為權(quán)值系數(shù)，在望大特性中可取為負(fù)值，即采用極大化最小值原則；在望小特性設(shè)計(jì)中可取為正值，即采用極小化最大值原則；在望目特性中，y0為設(shè)計(jì)目標(biāo)值，綜合采用極小化均值與目標(biāo)值間距離以及變差的原則。

3 實(shí)例研究

在導(dǎo)彈、衛(wèi)星等航天器中，支撐結(jié)構(gòu)及安裝在其上的功能組件（安裝板+隔振器+功能組件）構(gòu)成一類廣泛采用的典型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。該類結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)是表征其環(huán)境適應(yīng)能力的重要指標(biāo)，歷來(lái)受到高度重視。但在計(jì)算機(jī)仿真分析中由于模型簡(jiǎn)化不可避免地引入認(rèn)知不確定性，導(dǎo)致仿真結(jié)果與實(shí)際嚴(yán)重不符，進(jìn)而影響設(shè)計(jì)決策。

本節(jié)以該類系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)（系統(tǒng)加速度傳遞函數(shù)的第一個(gè)峰值）為設(shè)計(jì)目標(biāo)，演示和驗(yàn)證所提出的方法。為提高證據(jù)分析計(jì)算效率，通過(guò)建立響應(yīng)與設(shè)計(jì)參變量間的近似模型替代有限元模型，結(jié)合優(yōu)化算法求解聯(lián)合證據(jù)結(jié)構(gòu)上的極值，并運(yùn)用遺傳算法開展尋優(yōu)。

3.1 響應(yīng)面原理

響應(yīng)面法結(jié)合試驗(yàn)設(shè)計(jì)技術(shù)與統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，在優(yōu)化區(qū)域內(nèi)建立響應(yīng)與影響因素間的關(guān)系。一個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)y依賴于 p個(gè)輸入因子 x1，x2，…，xp，如果考慮響應(yīng)與影響因素間的線性關(guān)系，并考慮因素的交互效應(yīng)和二次效應(yīng)，二階響應(yīng)面模型可表達(dá)為：

3.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與回歸

通過(guò)篩選確定了影響系統(tǒng)響應(yīng)的因素：安裝板的厚度、安裝板的彈性模量、阻尼墊的高度、阻尼墊的半徑以及等效彈性模量（阻尼墊及連接結(jié)構(gòu)有限元模型的等效彈性模量）。結(jié)構(gòu)ANSYS有限元模型如圖1，安裝板采用單元Shell63，隔振器及連接結(jié)構(gòu)采用單元Beam4，功能組件采用單元Solid45。選用5因素（1/2分式）正交旋轉(zhuǎn)組合設(shè)計(jì)，編碼水平如表1。

圖1 結(jié)構(gòu)有限元模型

表1 變量水平信息表

對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表2進(jìn)行擬合，并經(jīng)回歸模型和回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，得到系統(tǒng)響應(yīng)的回歸模型：

其中，x1、x2、x3、x4、x5分別代表安裝板的厚度、阻尼墊的高度、阻尼墊的半徑、等效彈性模量和安裝板的彈性模量，y為系統(tǒng)加速度傳函第一個(gè)峰值的對(duì)數(shù)值。

3.3 穩(wěn)健優(yōu)化

為使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)能力和穩(wěn)健性，因此系統(tǒng)加速度傳遞函數(shù)第一個(gè)峰值應(yīng)盡可能小。優(yōu)化目標(biāo)采用望小特性，權(quán)值系數(shù)β取為1，綜合設(shè)計(jì)變量 x1、x2、x3的約束條件，優(yōu)化模型如式（14）。由于認(rèn)知不確定性參數(shù)造成目標(biāo)函數(shù)不連續(xù)，不能直接使用梯度優(yōu)化算法，而遺傳算法具有離散化、全局性、自適應(yīng)等特點(diǎn)，結(jié)合遺傳算法的穩(wěn)健優(yōu)化計(jì)算流程如圖2所示。

考慮到實(shí)際加工過(guò)程的影響，假定設(shè)計(jì)變量x1、x2、x3均服從方差已知，均值未知的正態(tài)分布x1～N（μ1，0.01），x2～N（μ2，0.01），x3～N（μ3，0.01）；安裝板彈性模量 x5服從 N（73，1）的正態(tài)分布；專家1和專家2基于自身經(jīng)驗(yàn)給出的認(rèn)知不確定性參數(shù)——等效彈性模量的信息及根據(jù)Dempster合成規(guī)則得到的整合信息見表3。

表2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖2 穩(wěn)健優(yōu)化計(jì)算流程

表3 等效彈性模量

采用MatlabR2009a優(yōu)化工具箱（OptimizationToolbox）中的遺傳算法（genetic algorithm，GA）和fmincon函數(shù)，編制計(jì)算程序，得到計(jì)算結(jié)果x1=5，x2=3.25，x3=3。

4 結(jié)語(yǔ)

基于證據(jù)理論建立了認(rèn)知與隨機(jī)不確定性統(tǒng)一分析框架，構(gòu)建的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法是一種廣義建模方法，為研究多類多源不確定性下的穩(wěn)健設(shè)計(jì)問(wèn)題提供了新思路。當(dāng)設(shè)計(jì)模型中的不確定性變量和參數(shù)具有模糊性及其他未確知性時(shí)，通過(guò)轉(zhuǎn)化與融合，有望為穩(wěn)健設(shè)計(jì)問(wèn)題的研究提供新途徑、新方法。該方法比現(xiàn)有的穩(wěn)健設(shè)計(jì)方法具有更強(qiáng)的處理不確定因素的能力，具有良好的工程應(yīng)用前景。

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