張中慶，龐兵強(qiáng)

浙江大學(xué)海洋科學(xué)與工程學(xué)院，杭州 310027

0 引言

隨鉆電磁波測(cè)井是指在地層剛被鉆開后不久，泥漿尚未完全侵入地層時(shí)，通過對(duì)地層信息的測(cè)量，比較真實(shí)地反映原狀地層的電性特征，該信息能夠及時(shí)有效地評(píng)價(jià)油氣層的儲(chǔ)藏，對(duì)地層做出準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)。井下環(huán)境的復(fù)雜性使得電磁波信號(hào)在不同介質(zhì)中的作用有所差異，這種差異主要與介質(zhì)的介電常數(shù)、電導(dǎo)率等電磁特性參數(shù)有關(guān)，隨鉆電磁測(cè)井正是利用電磁波信號(hào)在地層介質(zhì)中傳播時(shí)發(fā)生了幅度衰減和相位偏移來完成對(duì)地層電性特征的測(cè)量。目前國(guó)外的隨鉆測(cè)井技術(shù)已經(jīng)得到廣泛應(yīng)用，而國(guó)內(nèi)研究尚處于發(fā)展階段，因此對(duì)隨鉆測(cè)井技術(shù)的研究十分必要。

隨鉆電磁測(cè)井信號(hào)來自2個(gè)接收線圈上的幅度衰減和相位差，將幅度衰減和相位差同時(shí)轉(zhuǎn)換為地層視電阻率和介電常數(shù)常用的方法是鏈表法。筆者在有限元素法分析的基礎(chǔ)上，通過三維數(shù)值模擬不同地層模型的儀器響應(yīng)，繪制了表示數(shù)據(jù)對(duì)（地層電阻率，介電常數(shù)）、（幅度衰減，相位差）之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的校正圖版，根據(jù)圖版中兩數(shù)據(jù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，提出了采用相位差和幅度衰減交匯方式、同時(shí)解釋地層視電阻率和介電常數(shù)的方法；同時(shí)分析了各種環(huán)境因素對(duì)儀器響應(yīng)造成的影響，主要包括地層各向異性、地層傾角（α）和地層厚度（d），繪制了相應(yīng)的校正解釋圖版［1－2］，并用相位差和幅度衰減交匯解釋得到了地層視電阻率曲線，為地層電阻率解釋提供了有效的理論依據(jù)。

1 隨鉆電磁波測(cè)井測(cè)量原理

隨鉆電磁波測(cè)井方法的理論依據(jù)是電磁波在非均質(zhì)地層中的傳播規(guī)律，在非均質(zhì)地層中，電磁場(chǎng)分布可以由Maxwell方程描述。由于隨鉆電磁儀器發(fā)射天線激發(fā)的電磁場(chǎng)隨著環(huán)境的變化而變化，因此通過檢測(cè)接收天線電磁場(chǎng)的變化，即可獲得有關(guān)地層的相關(guān)信息。通常情況下，單發(fā)雙收的三線圈系結(jié)構(gòu)是隨鉆電磁波測(cè)井儀器的基本結(jié)構(gòu)，其他結(jié)構(gòu)都是在其基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。圖1為Schlumberger公司ARC系列線圈系示意圖，其中T1、T2、T3、T4、T5為5個(gè)發(fā)射線圈，R1、R2為2個(gè)接收線圈。在儀器的發(fā)射線圈上施加一穩(wěn)定的交變電流，在井眼周圍的地層介質(zhì)中便會(huì)產(chǎn)生交變電磁場(chǎng)。線圈系周圍的介質(zhì)可以看成由無數(shù)個(gè)由半徑為r、橫截面積為drdz的地層單元環(huán)組成。這些單元環(huán)均為閉合線圈，在發(fā)射線圈交變電磁場(chǎng)的激勵(lì)下，單元環(huán)中便會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流，感應(yīng)電流會(huì)在接收線圈上產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。隨鉆電磁波測(cè)井通過轉(zhuǎn)換2個(gè)接收線圈之間感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的幅度衰減和相位差得到地層的視電阻率（Ra）信息［3－5］。圖2是不同中心源距下兩接收線圈之間感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的相位差（Δφ）、幅度比（A）與地層真電阻率（Rt）之間的關(guān)系曲線。

2 有限元方法數(shù)值仿真

有限元法（finite element method，簡(jiǎn)稱FEM）是以變分原理和加權(quán)余量法為基礎(chǔ)的數(shù)值計(jì)算方法，是一種求解微分方程的近似方法。用有限元法分析電磁場(chǎng)問題，首先要對(duì)電磁場(chǎng)中的邊界問題進(jìn)行研究，確定其邊界條件與微分控制方程；其次使用有限元法對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格離散，進(jìn)而求出待求的未知場(chǎng)量以及其他物理特性變量。FEM適用于任何形狀的求解區(qū)域，因?yàn)樗梢詮摹皥?chǎng)”的角度，通過數(shù)值方式來求解電磁場(chǎng)邊值問題。

圖1 線圈系示意圖Fig.1 Coil of electromagnetic wave logging while drilling

應(yīng)用有限元方法求解電磁場(chǎng)邊值問題，一般包含以下幾個(gè)步驟：

1）給出微分控制方程及其邊界條件，滿足隨鉆測(cè)井等效方程：

式中：E為任一點(diǎn)電場(chǎng)矢量；V為單元體體積；μr為介質(zhì)相對(duì)磁導(dǎo)率；μ0為真空磁導(dǎo)率；J為激勵(lì)源電流密度；ω為激勵(lì)源角頻率；ε為復(fù)介電常數(shù)。

圖2 相位差、幅度比與電阻率關(guān)系曲線Fig.2 Curves of phase difference，amplitude attenuation with resistivity

2）求解區(qū)域網(wǎng)格離散，離散后再進(jìn)行節(jié)點(diǎn)編號(hào)和元素編號(hào)。

3）選擇基函數(shù)以及加權(quán)函數(shù)，運(yùn)用Galerkin加權(quán)余量法或Ritz變分法將微分控制方程離散化為線性方程組；矢量有限元采用四面體元素，四面體單元中任一點(diǎn)的電場(chǎng)矢量可以表示為

其中：

式中：Ve為單元體積；｛Ee｝和｛Je｝分別代表電場(chǎng)和電流源離散后的總體矢量。

4）消去邊界上的未知量并求解矩陣方程，得出所求解區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)分布。

5）后處理，計(jì)算出所需的參數(shù)［6－9］。

本文采用Ritz變分法進(jìn)行分析，將電場(chǎng)微分方程簡(jiǎn)化為線性方程組得到電場(chǎng)值。

3 地層視電阻率和介電常數(shù)

隨鉆電磁波測(cè)井儀受地層電阻率和介電常數(shù)的影響表現(xiàn)出不同的響應(yīng)特性，在將幅度衰減（A）和相位差（ΔΦ）分別轉(zhuǎn)換為地層視電阻率和視介電常數(shù)時(shí)，常用的方法是聯(lián)立A和ΔΦ表達(dá)式，然后采用鏈表法建立地層視電阻率（Ra）、視介電常數(shù)（εr）與數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。使用時(shí)則相反，由測(cè)井時(shí)讀到的數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）查表求數(shù)據(jù)對(duì)（Ra，εr）［10－14］。筆者在采用有限元素法算得可靠的校正圖版后，根據(jù)圖版中數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）、（Ra，εr）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，給出了一種采用交匯解釋圖版將A和ΔΦ同時(shí)轉(zhuǎn)換為地層視電阻率和地層視介電常數(shù)的方法，并通過實(shí)際地層模型驗(yàn)證該方法的合理性。

計(jì)算I為Schlumberger公司的隨鉆電阻率測(cè)井儀，源距16in，工作頻率為2MHz，計(jì)算不同地層電阻率和不同介電常數(shù)下的相位差和幅度衰減曲線。圖3是文獻(xiàn)［1］與本文計(jì)算的數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）、（Ra，εr）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖。由圖3可知：當(dāng)介電常數(shù)一定時(shí)，隨著地層電阻率的增大，相位差和幅度衰減均減小；當(dāng)?shù)貙与娮杪室欢〞r(shí)，隨著介電常數(shù)的增大，相位差增大而幅度衰減減小，且當(dāng)?shù)貙与娮杪瘦^小時(shí)，相位差和幅度衰減受介電常數(shù)的影響較小。

圖3 文獻(xiàn)［1］與本文計(jì)算的數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）、（Ra，εr）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.3（A，ΔΦ），（Ra，εr）relationship chart comparation in reference［1］and our’s

實(shí)際地層模型如圖4所示：模型為5層模型，地層分界面坐標(biāo)為－11、－3、6和15m，井眼直徑D為8.5in，泥漿電阻率Rm為0.2Ω·m，目的層真電阻率Rt分別為70、50、20、30和50Ω·m，介電常數(shù)εt分別為50、40、20、40和10，測(cè)量點(diǎn)起始位置為－20m，測(cè)量間隔0.3m。

圖4 實(shí)際計(jì)算地層模型Fig.4 Actual calculation formation model

圖5和圖6分別表示由此模型下讀到的數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）用交匯解釋方法同時(shí)得到的地層視電阻率曲線和介電常數(shù)曲線。通過與模型文件對(duì)比可知，轉(zhuǎn)換后的地層視電阻率與模型設(shè)置較為一致；轉(zhuǎn)換后的地層介電常數(shù)當(dāng)測(cè)量點(diǎn)在目的層中間時(shí)與模型文件設(shè)置值吻合性較好，在地層分界面處存在著差異。

圖5 地層視電阻率曲線Fig.5 Formation apparent resistivity curve

上述結(jié)果表明，筆者提出的利用交匯解釋圖版同時(shí)轉(zhuǎn)換地層電阻率和介電常數(shù)的方法是有效的。根據(jù)隨鉆電磁測(cè)井儀測(cè)量的相位差和幅度衰減曲線不僅可以計(jì)算出地層的視電阻率，同時(shí)還可計(jì)算出該層的視介電常數(shù)。

圖6 地層視介電常數(shù)曲線Fig.6 Formation apparent dielectric constant curve

4 各向異性介質(zhì)響應(yīng)

當(dāng)?shù)貙哟嬖诟飨虍愋詴r(shí)，隨鉆電磁波測(cè)井響應(yīng)曲線會(huì)受地層傾角的影響，使測(cè)得的地層視電阻率不能真實(shí)地反映原狀地層的電阻率，造成解釋上的偏差［15－18］。地層各向異性主要由水平電阻率與垂直電阻率的比值決定。但在斜井測(cè)量中，地層傾角隨著測(cè)量深度的變化而變化，故此時(shí)測(cè)得的視電阻率曲線不僅受水平電阻率（Rh）與垂直電阻率（Rv）比值的影響，還受測(cè)量點(diǎn)地層傾角的影響；因此，有必要探究此種情形下儀器的響應(yīng)情況。

計(jì)算II為Baker Hughes公司的隨鉆電阻率測(cè)井儀，Rh為1Ω·m，Rv為5Ω·m，分別計(jì)算2MHz和400kHz工作頻率下，長(zhǎng)、短源距的相位差視電阻率和幅度衰減視電阻率。

圖7是文獻(xiàn)［2］與本文計(jì)算的地層傾角解釋圖版對(duì)比圖。通過離散圖版定量分析本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)［2］的誤差（表1）。

表1 各向異性－地層傾角解釋圖版誤差對(duì)比Table 1 Error comparision in aeolotropy－formation dip interpretation chart

表1表明本文計(jì)算的MPR（multiple propagation resistivity）儀器地層傾角解釋圖版與文獻(xiàn)［2］中的圖版吻合性較好，相對(duì)誤差小于3.112%。由此驗(yàn)證了本文計(jì)算的地層傾角解釋圖版是正確的。

圖7 文獻(xiàn)［2］和本文計(jì)算的地層傾角解釋圖版Fig.7 Interpretation chart of formation dip of compare results of reference［2］and our’s

圖8是本文用讀到的數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）交匯解釋圖版得到的不同傾角下的地層視電阻率曲線。

圖8 地層視電阻率曲線Fig.8 Formation apparent resistivity curve

圖7進(jìn)一步表明：當(dāng)?shù)貙觾A角為0°時(shí)，視電阻率等于水平電阻率，隨著地層傾角的增大（大于30°時(shí)），視電阻率受各向異性影響逐漸偏離水平電阻率；在相同地層傾角下，地層各向異性對(duì)相位差視電阻率的影響大于對(duì)幅度衰減電阻率的影響；源距越長(zhǎng)，儀器的工作頻率越大，2種視電阻率曲線受地層各向異性影響也越大，曲線變化也越明顯。

5 不同層厚時(shí)地層傾角影響

層厚和地層傾角對(duì)隨鉆測(cè)井響應(yīng)的影響從來都是耦合在一起的；在大斜度井和水平井的數(shù)據(jù)處理過程中，若不對(duì)測(cè)量的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的校正，則會(huì)造成很大的解釋誤差，失去隨鉆測(cè)井的地層評(píng)價(jià)意義［19－20］。因此，需要研究地層層厚和傾角對(duì)隨鉆電磁測(cè)井響應(yīng)的影響，繪制相應(yīng)的校正圖版及給出校正方法。

圖9 文獻(xiàn)［2］和本文計(jì)算的層厚與傾角圖版Fig.9 Interpretation chart of layer thickness and the formation dip in reference［2］and our’s

圖10 交匯解釋圖版方法計(jì)算的層厚與傾角圖版Fig.10 Interpretation chart of layer thickness and the formation dip by cross plot method

計(jì)算III為Halliburton公司的隨鉆電阻率測(cè)井儀器，工作頻率為2MHz，源距為15in，圍巖電阻率Rs為10Ω·m，地層傾角為40°。圖9是當(dāng)計(jì)算的相位差視電阻率Ra為20，30，50，70Ω·m時(shí)，地層真電阻率與層厚的關(guān)系曲線與文獻(xiàn)［2］中的層厚和地層傾角解釋圖版對(duì)比，表明了本文計(jì)算結(jié)果的正確性。圖10是用數(shù)據(jù)對(duì)（A，ΔΦ）交匯解釋圖版方法得到的相同條件下的傾角層厚圖版，與原來計(jì)算結(jié)果基本一致，表明交匯解釋是可靠的。

圖9表明：針對(duì)Halliburton公司的儀器，本文計(jì)算的層厚和地層傾角解釋圖版與文獻(xiàn)［2］中的結(jié)果吻合性較好。層厚越小，視電阻率受圍巖的影響越大，其值遠(yuǎn)小于地層真電阻率；隨著地層厚度增加，視電阻率才逐漸接近地層真電阻率。

6 結(jié)論

1）可將測(cè)量得到的相位差和幅度衰減通過工程轉(zhuǎn)換為相位差電阻率和幅度衰減電阻率，亦可通過交匯解釋圖版方法將相位差和幅度衰減同時(shí)轉(zhuǎn)化為地層視電阻率和地層視介電常數(shù)，且不增加計(jì)算的復(fù)雜性。

2）介電常數(shù)固定的情況下，隨著地層電阻率的增大，相位差電阻率和幅度衰減電阻率均減??；地層電阻率固定的情況下，隨著介電常數(shù)的增大，相位差電阻率增大而幅度衰減電阻率減??；當(dāng)?shù)貙与娮杪瘦^小時(shí)，介電常數(shù)對(duì)相位差電阻率和幅度衰減電阻率影響也較小。

3）當(dāng)?shù)貙觾A角小于30°時(shí)，地層各向異性對(duì)隨鉆測(cè)井響應(yīng)影響很小，視電阻率與水平電阻率接近；當(dāng)?shù)貙觾A角大于30°時(shí)，隨著地層傾角的增大，地層各向異性對(duì)測(cè)井響應(yīng)的影響逐漸增大，視電阻率逐漸偏離水平電阻率。

4）地層傾角變化時(shí)各向異性對(duì)測(cè)井儀器響應(yīng)的影響表現(xiàn)為：對(duì)相位差視電阻率的影響大于對(duì)幅度衰減視電阻率的影響；工作頻率和線圈間源距越大，各向異性影響亦越大。

5）固定地層傾角下，地層層厚越小，視電阻率受圍巖電阻率影響越大，其值要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地層真電阻率值；隨著地層層厚的不斷增大，視電阻率逐漸接近地層真電阻率，且地層電阻率與圍巖電阻率對(duì)比度越大，不受圍巖影響的最小地層厚度也越大。

6）可以利用本文數(shù)值模擬的計(jì)算圖版，校正各種環(huán)境因素的影響，甚至可通過程序?qū)崿F(xiàn)各種環(huán)境因素的自動(dòng)校正，得到更為精確的地層電阻率值。

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