汪 雷，劉 欣，楊 濤，張夢櫻

（國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院，長沙410073）

高超聲速滑翔式再入飛行器外形通常采用升力體或乘波體，可實(shí)現(xiàn)高升阻比再入，利用空氣動(dòng)力控制飛行軌跡，能夠完成遠(yuǎn)距離的非彈道式再入機(jī)動(dòng)飛行。高超聲速滑翔式飛行器以其在增大射程、突破導(dǎo)彈防御系統(tǒng)和再入段機(jī)動(dòng)等方面具備的強(qiáng)大優(yōu)勢而備受矚目，成為近年來的研究熱點(diǎn)，美國的HTV－2是其典型代表。高超聲速滑翔式飛行器再入后通過氣動(dòng)力控制彈道，可實(shí)現(xiàn)大范圍的機(jī)動(dòng)飛行。本文將飛行器可通過機(jī)動(dòng)飛行到達(dá)的區(qū)域稱為目標(biāo)覆蓋范圍，國外的文獻(xiàn)［1］中一般將這個(gè)區(qū)域稱為“footprint”，此區(qū)域可初步反映飛行器的射程能力和機(jī)動(dòng)能力。另外，當(dāng)飛行中飛行器出現(xiàn)故障或飛行任務(wù)變更需改變落點(diǎn)時(shí)，必須知道當(dāng)前彈道參數(shù)下飛行器的目標(biāo)覆蓋范圍，以便選擇可行的落點(diǎn)。Lu Ping等人［2］采用偽平衡滑翔條件，研究了再入飛行過程中的目標(biāo)覆蓋范圍的快速生成。

本文首先介紹了高超聲速滑翔式飛行器的再入動(dòng)力學(xué)模型和再入過程中受到的彈道約束；然后給出了利用彈道優(yōu)化算法求解目標(biāo)覆蓋范圍的基本流程，在合理選擇優(yōu)化指標(biāo)與約束條件的情況下，選用偽譜法來完成優(yōu)化計(jì)算。鑒于上述方法計(jì)算量過大，本文提出了一種基于高度－速度（h－v）剖面跟蹤的目標(biāo)覆蓋范圍求解方法，通過對不同h－v曲線的跟蹤和側(cè)向機(jī)動(dòng)得到完整的射程覆蓋范圍。以典型高超聲速滑翔式再入飛行器為對象，驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 再入動(dòng)力學(xué)模型

由于高超聲速滑翔式飛行器外形為升力體，彈體扁平，常采用傾斜（BTT）轉(zhuǎn)彎技術(shù)，故可假設(shè)飛行中側(cè)滑角保持為零。假設(shè)地球?yàn)椴恍D(zhuǎn)圓球，建立三自由度運(yùn)動(dòng)模型，其中位置參數(shù)以地心距r、經(jīng)度λ和緯度φ3個(gè)參數(shù)來描述；速度參數(shù)由速度大小v、速度傾角θ和速度偏角σ確定。速度傾角θ是速度向量與當(dāng)?shù)厮矫娴膴A角，速度向量指向水平面上方時(shí)θ為正。速度偏角σ是速度向量在當(dāng)?shù)厮矫娴耐队芭c正北方向的夾角，從正北方向到速度向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)σ為正；ν為傾側(cè)角。無動(dòng)力三自由度再入運(yùn)動(dòng)方程為［3］

式中：m為飛行器質(zhì)量；飛行器高度h＝r－R0，R0為平均地球半徑；重力加速度g＝μ／r2，μ＝3.986 005×1014m3／s2為 地 球 引 力 系 數(shù)分別為飛行器的氣動(dòng)阻力和升力；Cx，Cy分別為阻力系數(shù)、升力系數(shù)；ρ為大氣密度；S為飛行器參考面積。

2 彈道約束與再入走廊

飛行器再入過程是一個(gè)非常復(fù)雜的飛行過程，必須考慮熱流、動(dòng)壓、過載及機(jī)動(dòng)能力等因素對飛行器的影響，即這些因素不能超過飛行器的最大承受能力。

駐點(diǎn)熱流約束：

式中：ks為取決于飛行器頭部形狀的熱流傳遞系數(shù)。

法向過載約束：

式中：ny為法向過載，α為攻角。

動(dòng)壓約束：

式中：q為動(dòng)壓，qmax為最大動(dòng)壓。

另外，基于再入制導(dǎo)控制能力的考慮，為保證彈道的可控性，必須保證沿彈道飛行時(shí)飛行器可獲得的最大升力始終能夠平衡其它力，此約束被稱之為平衡滑翔約束，可取約束條件為

定義再入走廊為再入飛行器安全返回所必須滿足的各種約束條件的交集，再入走廊可直觀地反映飛行器再入過程約束。取指數(shù)大氣密度模型：ρ（H）＝ρ0e－h(huán)／hs，其中，ρ0為海平面大氣密度，hs＝7.11km。根據(jù)駐點(diǎn)熱流、動(dòng)壓、法向過載約束以及平衡滑翔約束，可得h－v剖面內(nèi)與各約束條件對應(yīng)的再入走廊邊界：

式中：Cy，max表示對應(yīng)速度下的最大升力系數(shù)。

代入各約束的具體取值，可計(jì)算得再入走廊，如圖1所示。

此外，彈道約束還包括控制量約束和終端彈道參數(shù)約束等。作為對地打擊的再入飛行器，根據(jù)作戰(zhàn)需要，通常還對落地速度和落地彈道傾角有要求，即

式中：θf為落地的最小彈道傾角，vf為落地最小速度，tf表示彈道終端時(shí)刻。

如進(jìn)行目標(biāo)覆蓋能力的分析，則終端位置約束只考慮r（tf）＝rf。

圖1 高度－速度剖面再入走廊

3 目標(biāo)覆蓋范圍的優(yōu)化求解流程

目標(biāo)覆蓋范圍可通過計(jì)算一系列最優(yōu)再入彈道確定。彈道優(yōu)化的算法可采用目前飛行器再入軌跡優(yōu)化領(lǐng)域較為流行的偽譜法。

3.1 目標(biāo)覆蓋范圍優(yōu)化問題與求解方法

彈道優(yōu)化問題可描述為一般的最優(yōu)控制問題，即在時(shí)間區(qū)間［t0，tf］中尋找最優(yōu)控制變量u（t）∈Rl，最小化性能指標(biāo)：

且使?fàn)顟B(tài)變量x（t）∈Rn、初始時(shí)間t0、終端時(shí)間tf滿足運(yùn)動(dòng)微分方程約束：

以及邊界條件（端點(diǎn)約束）：

和過程約束：

彈道優(yōu)化的算法可采用目前飛行器再入軌跡優(yōu)化領(lǐng)域較為流行的偽譜法。偽譜法的基本原理是依據(jù)Legendre－Gauss（LG）等離散點(diǎn)對時(shí)間軸進(jìn)行離散化處理，并利用Lagrange多項(xiàng)式作為基函數(shù)來近似狀態(tài)變量與控制變量，然后引入導(dǎo)數(shù)矩陣將動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為等式約束，最終將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題求解，其基本原理可見文獻(xiàn)［4］。目前已出現(xiàn)一些基于偽譜法的優(yōu)化軟件包，本文采用基于Matlab的Gpops軟件包［5］完成優(yōu)化計(jì)算。

3.2 優(yōu)化流程

目標(biāo)覆蓋范圍的優(yōu)化求解流程如下。

①計(jì)算“最偏”的2條彈道。

分別將優(yōu)化指標(biāo)取為J＝min［±σB（tf）］，其中，σB（tf）為再入點(diǎn)與彈道終點(diǎn)的連線與正北方向的夾角，其取值可根據(jù)再入點(diǎn)與彈道終點(diǎn)的經(jīng)緯度計(jì)算：

將優(yōu)化所得的σB（tf）最大值、最小值分別記為σB，fmax和σB，fmin，引入新的彈道終端約束條件：

式中：w∈［0，1］，為權(quán)重系數(shù)。

②計(jì)算目標(biāo)覆蓋范圍的遠(yuǎn)邊界。

加入式（13）所示的新的彈道終端約束，其余彈道約束不變，取不同的w值分別進(jìn)行最大射程優(yōu)化，即優(yōu)化指標(biāo)取為J＝min（－L（tf））（L表示射程），可得到一組優(yōu)化彈道，其落點(diǎn)將組成飛行器目標(biāo)覆蓋范圍的遠(yuǎn)邊界。

③計(jì)算目標(biāo)覆蓋范圍的近邊界。

在加入式（13）的約束情況下，再取不同的w值分別進(jìn)行最小射程優(yōu)化，即優(yōu)化指標(biāo)取為J＝minL（tf），可得到一組優(yōu)化彈道，其落點(diǎn)將組成飛行器射程覆蓋范圍的近邊界。

最后，將前面得到的最優(yōu)彈道的落點(diǎn)連接起來，得到目標(biāo)覆蓋范圍。

3.3 算例分析

取飛行器的彈道起點(diǎn)為再入點(diǎn)，參數(shù)為：地心距r0＝（R0＋90）km，經(jīng)度λ0＝0°，緯度φ0＝0°，速度v0＝4 600m／s，速度傾角θ0＝－6.5°，速度偏角σ0＝45°，彈道終端高度為0，速度為1 000m／s，傾角為－60°，彈道約束考慮駐點(diǎn)熱流、動(dòng)壓、過載以及平衡滑翔約束。計(jì)算得到“最偏”的2條彈道的地面軌跡如圖2最上端2條曲線所示，最大射程彈道的地面軌跡如圖3所示，最小射程彈道的地面軌跡如圖2所示。最終得到的目標(biāo)覆蓋范圍為橢圓形區(qū)域，如圖4所示，在部分最小射程彈道中，飛行器實(shí)現(xiàn)了大角度的迂回飛行，使得近邊界曲線向內(nèi)凹陷。

圖2 組成近邊界彈道的地面軌跡

圖3 組成遠(yuǎn)邊界彈道的地面軌跡

圖4 目標(biāo)覆蓋范圍（優(yōu)化）

由圖5可見，熱流、動(dòng)壓等再入過程約束對最大射程彈道基本不產(chǎn)生約束作用，最大射程彈道主要受飛行器氣動(dòng)性能和落點(diǎn)約束的影響，落點(diǎn)速度降低或飛行器最大升阻比提升，則可達(dá)的射程變大，目標(biāo)覆蓋范圍的遠(yuǎn)邊界更遠(yuǎn)。由圖6可知，最小射程彈道主要受熱流、動(dòng)壓等過程約束影響，若放松這些約束，則可實(shí)現(xiàn)更小的射程，近邊界更近。

圖5 組成遠(yuǎn)邊界彈道的高度－速度曲線

圖6 組成近邊界彈道的高度－速度曲線

通過最優(yōu)彈道的計(jì)算能獲得較精確的目標(biāo)覆蓋范圍，但在整個(gè)求解過程中需要完成數(shù)十次的優(yōu)化計(jì)算，計(jì)算耗時(shí)較大，只能用于飛行性能的離線分析，無法應(yīng)用于飛行任務(wù)在線規(guī)劃等對計(jì)算快速性要求較高的場合。

4 基于彈道跟蹤的目標(biāo)覆蓋范圍求解方法

本文提出的基于彈道跟蹤的目標(biāo)覆蓋范圍求解方法的基本思路是：首先將再入過程約束轉(zhuǎn)化為hv平面內(nèi)的再入走廊，在再入走廊內(nèi)產(chǎn)生可行的h－v曲線；然后通過反饋線性法對h－v曲線進(jìn)行跟蹤以獲得飛行攻角的取值，取不同的側(cè)傾角，實(shí)現(xiàn)側(cè)向機(jī)動(dòng)，其中在零側(cè)傾角情況下對最大升阻比平衡滑翔曲線和再入走廊下邊界的跟蹤，得到縱向最大射程和最小射程彈道，對應(yīng)目標(biāo)覆蓋范圍的最遠(yuǎn)端和最近端；最后通過對不同h－v曲線的跟蹤和側(cè)向機(jī)動(dòng)得到完整的目標(biāo)覆蓋范圍。

4.1 生成可行的h－v曲線

再入走廊下邊界由動(dòng)壓、熱流和過載約束邊界組成。再入走廊的上邊界通過平衡滑翔約束得到，表達(dá)式為

將式中的Cy，max改為其他狀態(tài)下的升力系數(shù)，可得再入走廊內(nèi)可行的平衡滑翔曲線。再入走廊邊界與平衡滑翔曲線如圖7所示。

圖7 再入走廊邊界與平衡滑翔曲線

可將這些曲線擬合成速度的三次函數(shù)，用于彈道跟蹤：

4.2 反饋線性化彈道跟蹤

為實(shí)現(xiàn)對h－v曲線的跟蹤，本文采用反饋線性化方法來設(shè)計(jì)跟蹤制導(dǎo)律。該方法的基本思想是：首先用代數(shù)變換將一個(gè)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性轉(zhuǎn)換成線性的動(dòng)態(tài)特性；然后用熟知的線性控制理論進(jìn)行設(shè)計(jì)。在推導(dǎo)過程中，僅考慮縱平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)方程為

該縱向動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為（rvθ）。由于飛行器再入后僅由氣動(dòng)力控制軌跡，選取縱向升力作為動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的輸入：

為了實(shí)現(xiàn)對h－v曲線的跟蹤，選取系統(tǒng)的輸出為

式中：h＝r－R0。

通過以上輸入、輸出的選取，h－v曲線的跟蹤問題就變?yōu)檩斎霝閡、輸出為h的單輸入單輸出非線性系統(tǒng)跟蹤控制問題。為了產(chǎn)生輸出與輸入之間的線性微分關(guān)系，可重復(fù)地對輸出函數(shù)y進(jìn)行微分直到結(jié)果中出現(xiàn)輸入u的顯式表達(dá)式，然后設(shè)計(jì)新的輸入去抵消非線性。對y＝h兩邊求二階導(dǎo)數(shù)，可得：

式中：θT為需跟蹤的彈道速度傾角。

將簡化的縱平面動(dòng)力學(xué)方程代入式（19）可得：

可見，經(jīng)過2次微分后，在式（20）中顯式地出現(xiàn)了輸出y與輸入u的關(guān)系。由于返回過程中b（x）不為0，則可以選擇新輸入u＊，使其與輸入u具有如下關(guān)系：

則式中非線性被消去，輸出y與新輸入的關(guān)系可表示為一個(gè)簡單的線性雙積分器關(guān)系：

可將閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差設(shè)計(jì)為一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)：

式中：h為當(dāng)前飛行高度；為參考高度；ζ為阻尼系數(shù)，一般取為0.7；ω為自然頻率，其值可由飛行器的可用控制能力給出［6］。

根據(jù)誤差方程可知：而＝＝a（x）＋b（x）u，則可得到系統(tǒng)的控制輸入：

可以看出，u作為非線性輸入，包含r，v，θ3個(gè)狀態(tài)變量，它可通過反饋的方式將動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)關(guān)于高度h的非線性跟蹤控制轉(zhuǎn)化為線性雙積分器的控制形式。由于r，v，θ3個(gè)狀態(tài)變量可以在實(shí)際飛行過程中測量得到，且標(biāo)準(zhǔn)彈道的二階導(dǎo)數(shù)一般也易求得，因此，控制輸入是可以得到的。

進(jìn)一步可得到跟蹤h－v剖面所需的攻角或側(cè)傾角，本文取側(cè)傾角為常值ν0，以攻角為主要控制量，此時(shí)跟蹤h－v剖面所需的升力系數(shù)值為

可通過對升力系數(shù)反插值獲得攻角。通過以上反饋線性化方法，可實(shí)現(xiàn)對h－v剖面的有效跟蹤。進(jìn)行離線彈道計(jì)算時(shí)，可通過上述跟蹤方法得到相應(yīng)的控制指令，然后積分三自由度運(yùn)動(dòng)方程，得到其他彈道參數(shù)。

4.3 算例分析

仿真條件與3.3節(jié)保持一致。利用基于彈道跟蹤的目標(biāo)覆蓋范圍求解方法進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖8～圖11所示。

圖8 跟蹤彈道的地面軌跡

飛行路程的遠(yuǎn)近取決于飛行器縱向升阻比的大小和再入彈道約束。從優(yōu)化計(jì)算的結(jié)果可以看出，組成目標(biāo)覆蓋范圍邊界的彈道在h－v曲線上具有一些共同點(diǎn)，遠(yuǎn)邊界彈道的h－v曲線基本沿最大升阻比攻角對應(yīng)的平衡滑翔曲線波動(dòng)（圖5），而近邊界彈道的h－v曲線則基本緊貼著再入走廊下邊界（圖6）。零側(cè)傾角情況下，通過對最大升阻比平衡滑翔曲線和再入走廊下邊界的跟蹤，可近似縱向最大射程彈道和最小射程彈道，如圖8、圖9所示，圖中，F(xiàn)L，max為最大升力，F(xiàn)L／FD，max為最大升阻比。蹤方法得到的目標(biāo)覆蓋范圍比彈道優(yōu)化方法得到的范圍要小，主要原因是由于采用常值側(cè)傾角來進(jìn)行側(cè)向機(jī)動(dòng)，沒有充分發(fā)揮飛行器的橫向機(jī)動(dòng)能力。

基于彈道跟蹤的目標(biāo)覆蓋范圍求解方法，在彈道跟蹤規(guī)律確定的情況下，得到目標(biāo)覆蓋范圍只需完成數(shù)十次的彈道積分運(yùn)算，相比彈道優(yōu)化方法，計(jì)算耗時(shí)大大減少。

圖9 跟蹤彈道的高度－速度曲線

圖10 側(cè)向機(jī)動(dòng)彈道的地面軌跡

圖11 2種方法的目標(biāo)覆蓋范圍比較

取常值側(cè)傾角即可實(shí)現(xiàn)側(cè)向彈道機(jī)動(dòng)。如果在對最大升阻比平衡滑翔曲線進(jìn)行跟蹤的同時(shí)分別取30°和－30°的常值側(cè)傾角，所得彈道的地面軌跡如圖10所示。通過對再入走廊內(nèi)若干h－v曲線的跟蹤，采用常值側(cè)傾角產(chǎn)生側(cè)向機(jī)動(dòng)，可得一系列跟蹤彈道，將所得彈道的地面軌跡的終點(diǎn)連接起來，可得到近似的目標(biāo)覆蓋范圍，如圖11所示。采用彈道跟

5 結(jié)論

本文給出的2種計(jì)算方法均能完成目標(biāo)覆蓋范圍的計(jì)算?；趶椀纼?yōu)化的計(jì)算方法，在合理設(shè)置優(yōu)化指標(biāo)和終端彈道約束的情況下，通過求取一系列最優(yōu)彈道，最終獲得目標(biāo)覆蓋范圍的邊界，其計(jì)算精度較高?；趶椀栏櫟挠?jì)算方法，對再入走廊邊界曲線的跟蹤，在計(jì)算速度方面具有優(yōu)勢，計(jì)算簡單方便，能夠快速地計(jì)算出再入落點(diǎn)區(qū)域。2種計(jì)算方法各具特點(diǎn)，能滿足不同場合的計(jì)算需求。

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