黃華龍，李益民，潘文強(qiáng)

（中南大學(xué)粉末冶金國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083）

自20世紀(jì)80年代以來，功能梯度材料（FGM）由于其成分或組織沿截面呈梯度連續(xù)變化，能夠同時(shí)獲得高硬度與高韌性，在切削工具、礦用工具和耐磨耐蝕零件等方面有著廣泛的應(yīng)用[1-5].但是大部分功能梯度材料在共燒結(jié)法制備過程中會(huì)出現(xiàn)液相，并可能產(chǎn)生兩個(gè)方面的問題：第一，由于熱膨脹系數(shù)的差異，在燒結(jié)過程中界面兩端材料容易產(chǎn)生界面應(yīng)力，促進(jìn)或者抑制了共燒結(jié)合金的致密化[6-10]；第二，由于共燒結(jié)過程出現(xiàn)液相，界面兩端毛細(xì)管力的差異引起液相的擴(kuò)散遷移，容易影響到共燒結(jié)合金的密度梯度再分布[11-14]，由于兩者的變化過程異常復(fù)雜，因而目前對(duì)于液相共燒結(jié)的作用機(jī)理也沒有研究清楚.然而隨著計(jì)算機(jī)模擬仿真技術(shù)的快速發(fā)展，許多學(xué)者通過建立合適參數(shù)的模型，對(duì)液相燒結(jié)、液相遷移和固相共燒結(jié)的作用機(jī)理進(jìn)行了有益探索，其中J.Svoboda等[15-16]通過分析液相燒結(jié)機(jī)制得到一個(gè)液相燒結(jié)模型，Zhigang Zak Fang等[17]通過分析液相遷移動(dòng)力學(xué)原理得到一個(gè)液相遷移模型，何浩等[9-10]基于黏彈性本構(gòu)方程得到一個(gè)固相共燒結(jié)模型，但現(xiàn)有的這些理論模型不能較好地反映生產(chǎn)實(shí)踐中液相共燒結(jié)的液相遷移以及致密化過程，因此開展液相共燒結(jié)模型的研究顯得十分重要.

本文首先建立液相共燒結(jié)的物理模型和數(shù)學(xué)模型，研究界面應(yīng)力和液相遷移對(duì)兩側(cè)液相共燒結(jié)材料燒結(jié)行為的作用機(jī)理，建立異種材料的液相共燒結(jié)模型.其次通過YG8硬質(zhì)合金共燒結(jié)實(shí)驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證.最后探討了模型的關(guān)鍵問題和適用范圍.

1 模型建立

本研究中的液相共燒結(jié)，主要是指由硬質(zhì)耐火相基體材料 （如Si3N4、WC等）和黏結(jié)相添加物 （如Al2MgO4、Co等）構(gòu)成的材料體系，采用粉末冶金方法制備共燒結(jié)壓胚，在室溫下逐漸升溫，在遠(yuǎn)低于基體材料熔點(diǎn)溫度下其黏結(jié)相會(huì)形成液相并發(fā)生遷移，從而使共燒結(jié)體快速達(dá)到全致密，因此可將液相共燒結(jié)分為3個(gè)階段：固相共燒結(jié)階段、部分液相共燒結(jié)階段、完全液相共燒結(jié)階段.

1.1 基本假設(shè)

一般在液相等溫?zé)Y(jié)開始之前，黏結(jié)相已經(jīng)完全液化而且燒結(jié)體已高度致密化，如WC-Co系列合金Co相熔點(diǎn)在 1 367.718～1 375.086℃之間[18]，在等溫?zé)Y(jié)前其相對(duì)密度接近1（平均值為0.97）如圖1所示[19].即在升溫?zé)Y(jié)出現(xiàn)液相的時(shí)候，燒結(jié)體致密化速率在很短時(shí)間內(nèi)達(dá)到峰值，又升溫速度較快時(shí)間較短，由此可認(rèn)為在升溫過程中形成的液相只是促進(jìn)燒結(jié)體致密化而沒有發(fā)生遷移.

圖1 WC-Co致密化曲線

同時(shí)根據(jù)液相遷移模型和固相共燒結(jié)模型的分析可知，界面應(yīng)力和液相遷移壓力產(chǎn)生的機(jī)理完全不同，因此可作以下合理假設(shè)：①在等溫?zé)Y(jié)之前，共燒結(jié)兩端形成的液相主要是促進(jìn)了致密化而沒有發(fā)生遷移；②在等溫?zé)Y(jié)之后，兩端的黏結(jié)相已經(jīng)完全熔化并逐漸開始遷移；③在等溫?zé)Y(jié)之后，界面應(yīng)力和液相遷移壓力都是隨著相應(yīng)狀態(tài)變量的變化而變化，兩者沒有必然聯(lián)系.

1.2 物理模型

液相共燒結(jié)試樣示意圖如圖2（a）所示，A和B分別為兩側(cè)不同材料，長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)，x為距離界面處的距離，假設(shè)初始時(shí)刻B端較A端收縮較快，取共燒結(jié)界面A、B兩側(cè)無限靠近界面處的兩微元進(jìn)行分析，并根據(jù)基本假設(shè)可以得到液相共燒結(jié)3個(gè)階段的物理模型：①在固相共燒結(jié)階段，兩端還沒有形成液相，根據(jù)固相共燒結(jié)模型可知，該階段只有界面應(yīng)力在影響兩端的致密化過程，其中界面應(yīng)力△σ作用示意圖如圖2（b）所示；②在部分液相共燒結(jié)階段，兩端不一定會(huì)同步形成液相，既可能存在界面應(yīng)力也可能存在液相遷移，難以定量分析兩端液相遷移壓力和致密化速率的變化，根據(jù)基本假設(shè)可知該階段兩端形成的液相主要是促進(jìn)致密化而沒有發(fā)生遷移，即可以假想界面處存在一堵墻如圖2（c）所示，該階段是界面應(yīng)力在影響兩端致密化過程；③在完全液相共燒結(jié)階段，兩端的黏結(jié)相已經(jīng)完全變成液相，既存在界面應(yīng)力也存在液相遷移，而且該階段往往會(huì)發(fā)生在等溫?zé)Y(jié)之前，由于升溫速度較快時(shí)間較短，可認(rèn)為界面處的假想墻在等溫?zé)Y(jié)之后才撤掉，該階段界面應(yīng)力和液相遷移會(huì)同時(shí)影響兩端密度梯度的分布.根據(jù)液相遷移模型可以假想界面處存在一個(gè)液池如圖2（d）所示，兩端液相遷移的方向是一致的，假設(shè)B端液相遷移壓力大于A端的，那么液相會(huì)從A端遷移到B端，界面處液池會(huì)從A端吸入液體引起A端體積收縮，而B端會(huì)從液池吸入液體引起B(yǎng)端膨脹，又由液相燒結(jié)模型可知液相含量對(duì)固相顆粒燒結(jié)頸長(zhǎng)大機(jī)制影響很小甚至可以忽略，也就是說液相遷移只是引起了兩端液相體積分?jǐn)?shù)和孔隙率的變化，因此在液相共燒結(jié)模型計(jì)算過程中，需要使用液相遷移模型更新兩端的液相體積分?jǐn)?shù)，同時(shí)也要使用固相共燒結(jié)模型更新兩端的實(shí)際燒結(jié)應(yīng)力，然后不斷迭代計(jì)算便可得到任意時(shí)刻共燒結(jié)體兩端的黏結(jié)相和密度梯度分布情況.

1.3 數(shù)學(xué)模型

由液相共燒結(jié)物理模型可知，共燒結(jié)試樣兩端液相和密度梯度分布的計(jì)算只有數(shù)值解，故可采取有限元法求解，把每燒結(jié)10 s（dt）作為一個(gè)計(jì)算時(shí)間節(jié)點(diǎn)，在長(zhǎng)度方向把共燒結(jié)試樣兩端都分成n段，然后以硬質(zhì)耐火相顆粒半徑、相對(duì)密度和液相體積分?jǐn)?shù)為基本參數(shù)從室溫升溫?zé)Y(jié)開始計(jì)算，根據(jù)兩端基本參數(shù)的初始值以及溫度變化可以更新迭代相應(yīng)數(shù)值，不過在每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)計(jì)算前，都需要先對(duì)兩端界面處自由燒結(jié)收縮速率的大小進(jìn)行判斷，確定界面應(yīng)力作用的方向，以求出兩端在界面應(yīng)力作用下的實(shí)際燒結(jié)應(yīng)力.詳細(xì)計(jì)算過程如圖3所示，根據(jù)兩端初始相對(duì)密度D0A、D0B、黏結(jié)相初始質(zhì)量分?jǐn)?shù)wt0A、wt0B以及硬質(zhì)耐火相初始顆粒半徑R0A、R0B，可以將整個(gè)計(jì)算過程分為以下三步：

圖2 液相共燒結(jié)不同階段的物理模型

第一步是計(jì)算固相共燒結(jié)致密化過程，該過程沒有形成液相，因此gA=gB=0，由方程（A-1）可知該階段界面處兩端的固相相對(duì)密度等于整體相對(duì)密度，即D0sA=D0A、D0sB=D0B，根據(jù)方程（A-6）可以得到兩端界面處的體積黏度K0A、K0B，根據(jù)方程（A-4）可得到燒結(jié)開始0 s時(shí)界面處兩端自由燒結(jié)的燒結(jié)應(yīng)力σ0sA、σ0sB，根據(jù)方程（A-1～A-3）可得到界面處兩端自由燒結(jié)的收縮速率D˙0fA、D˙0fB，根據(jù)方程（A-8）可得到界面處的界面應(yīng)力Δσ0，根據(jù)方程（A-10）可得到0 s時(shí)界面處兩端在界面應(yīng)力作用下的實(shí)際收縮速率D˙0A、D˙0B，然后乘以燒結(jié)時(shí)間dt，就可以得到10 s時(shí)間后界面處兩端相對(duì)密度的增量 ΔD0A、ΔD0B，然后與D0A、D0B相加即可得到10 s時(shí)間后兩端的相對(duì)密度D10A=D0A+ΔD0A、D10B=D0B+ΔD0B，同樣地根據(jù)方程（A-5）可得到10 s時(shí)兩端硬質(zhì)耐火相的顆粒半徑R10A、R10B.這就完成了一個(gè)循環(huán)，如此循環(huán)迭代，就可以得到兩端界面處在固相共燒結(jié)階段任意時(shí)刻的相對(duì)密度數(shù)值，根據(jù)方程（A-9）可以得到其他位置相同時(shí)刻的相對(duì)密度數(shù)值.

第二步是計(jì)算部分液相共燒結(jié)致密化過程，設(shè)液相開始形成的第一個(gè)時(shí)刻為t1，根據(jù)物理模型可知該過程與固相共燒結(jié)類似，只是在使用方程（A-1）計(jì)算固相相對(duì)密度的時(shí)候不能再把兩端的液相體積分?jǐn)?shù)看成0，即gt1A≠0、gt1B≠0，需先根據(jù)與溫度有關(guān)的函數(shù)求出t1時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)g（t1）A、g（t1）B，然后根據(jù)方程 （A-1）便可得到兩端界面處的固相體積分?jǐn)?shù)D0sA＝D0A（1-g（t1）A）、D0sB＝D0B（1-g（t1）B），同樣地，接下來全部按照第一步的步驟可以計(jì)算出（t1+10）s時(shí)界面處兩端的相對(duì)密度D（t1+10）A、D（t1+10）B以及硬質(zhì)耐火相的顆粒半徑R（t1+10）A、R（t1+10）B.這就完成了一個(gè)循環(huán)，如此循環(huán)迭代，就可以得到兩端界面處在部分液相共燒結(jié)階段任意時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)和相對(duì)密度數(shù)值，根據(jù)方程（A－9）可以得到其他位置相同時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)和相對(duì)密度數(shù)值.

第三步是計(jì)算完全液相共燒結(jié)液相遷移以及致密化過程，設(shè)等溫?zé)Y(jié)第一個(gè)時(shí)刻為t2，根據(jù)物理模型可知該過程與部分液相共燒結(jié)致密化類似，所不同的是在計(jì)算液相體積分?jǐn)?shù)時(shí)只需考慮液相遷移而不用考慮溫度引起的變化，而且在t2時(shí)刻界面處兩端的液相體積分?jǐn)?shù)根據(jù)第二步結(jié)束時(shí)的計(jì)算結(jié)果可以得到，設(shè)為g（t2）A、g（t2）B，然后根據(jù)方程（A－1）便可得到兩端界面處的固相體積分?jǐn)?shù)D0sA＝D0A（1-g（t2）A）、D0sB＝D0B（1-g（t2）B），同樣地，接下來全部按照第一步的步驟可以計(jì)算出（t2+10）s時(shí)界面處兩端的相對(duì)密度D（t2+10）A、D（t2+10）B以及硬質(zhì)耐火相的顆粒半徑R（t2+10）A、R（t2+10）B，特別需要說明的是最后需要根據(jù)方程（A-7）更新下一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)界面處兩端的液相體積分?jǐn)?shù)g（t2+10）A、g（t2+10）B.這就完成了一個(gè)循環(huán)，如此循環(huán)迭代，就可以得到兩端界面處在完全液相共燒結(jié)階段任意時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)和相對(duì)密度數(shù)值，根據(jù)方程（A-9）可以得到其他位置相同時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)和相對(duì)密度數(shù)值.

圖3 液相共燒結(jié)模型計(jì)算過程示意圖

然而在實(shí)際計(jì)算過程中，需要先根據(jù)兩端自由燒結(jié)的收縮速率大小來判斷界面應(yīng)力的作用方向，為簡(jiǎn)化公式表示，現(xiàn)假設(shè)界面應(yīng)力的作用方向一直不變，那么兩端界面處整個(gè)計(jì)算過程可用以下部分公式進(jìn)行表示：

以此類推，一直計(jì)算到時(shí)間t1，這時(shí)候黏結(jié)相開始形成液相但是沒有發(fā)生遷移，假設(shè)使用F（T）來表示液相體積分?jǐn)?shù)隨著溫度變化的函數(shù)，因此

以此類推，一直計(jì)算到時(shí)間t2，這時(shí)候黏結(jié)相已經(jīng)完全融化成為液相并開始遷移，假設(shè)使用P（g）來表示液相體積分?jǐn)?shù)隨著液相遷移變化的函數(shù)，因此

以此類推，一直計(jì)算到等溫?zé)Y(jié)結(jié)束，假設(shè)此時(shí)為t3，那么就可以得到兩端界面處的液相體積分?jǐn)?shù)g（t3）A、g（t3）B和相對(duì)密度數(shù)值D（t3）A、D（t3）B，根據(jù)液相體積分?jǐn)?shù)可求出黏結(jié)相的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，從而可以估算得到相應(yīng)的理論密度 ρ（t3）Amax、ρ（t3）Bmax，最終得到相應(yīng)的密度值 ρ（t3）A、ρ（t3）B：

同樣地也可以得到其他位置相同時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)、相對(duì)密度以及密度數(shù)值.

2 模型驗(yàn)證

假設(shè)A、B兩端采用平均粒度分別為3 μm(R0A=1.5 μm)和 0.8 μm(R0B=0.4 μm)的 YG8 硬質(zhì)合金混合料，按照與黏結(jié)劑按體積比58∶42放入XSM1/20-80混煉機(jī)中在溫度170℃時(shí)混煉3 h并破碎，真空干燥8 h，采用HTSJ160B型夾層注射成型機(jī)制備均勻兩層試驗(yàn)樣品，并加工成5 mm×5 mm×36 mm長(zhǎng)方體試樣.壓胚經(jīng)過脫脂后相對(duì)密度分別為D0A=0.574、D0B=0.574，接下來將壓胚進(jìn)行真空燒結(jié)，其中燒結(jié)工藝如下：先以5℃/min加熱到600℃保溫60 min，然后以5℃/min升溫至1 100℃保溫40 min，最后以5℃/min加熱到1 420℃保溫60 min.采用EDX-GENESIS 60S能譜儀測(cè)量共燒結(jié)試樣的元素分布，得到兩端Co含量梯度分布.將真空共燒結(jié)后的試樣切成9段如圖4所示，再對(duì)每段試樣密度進(jìn)行測(cè)量，得到兩端密度梯度分布.根據(jù)以上初始參數(shù)和附錄B的相應(yīng)數(shù)據(jù)，代入液相共燒結(jié)模型進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證.

圖4 試樣分割示意圖

2.1 Co相梯度

根據(jù)模型可以預(yù)測(cè)共燒結(jié)試樣在1 420℃溫度下燒結(jié)不同時(shí)間的Co相梯度分布如圖5所示，可見隨著時(shí)間的推移，Co相梯度分布趨向平緩，液相遷移壓力梯度逐漸減小.

將模擬的數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的Co相含量梯度分布進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示，從圖6中可以看出共燒結(jié)試樣在1 420℃下等溫?zé)Y(jié)60 min液相遷移的模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果趨勢(shì)一致.

圖5 預(yù)測(cè)試樣在1 420℃溫度下燒結(jié)不同時(shí)間的Co相梯度分布圖

圖6 Co相含量梯度分布模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

2.2 密度梯度

根據(jù)模型可以預(yù)測(cè)共燒結(jié)試樣在任意位置任意時(shí)間的致密化過程，由于模擬計(jì)算過程中認(rèn)為兩端沒有受到界面應(yīng)力影響，因此將試樣兩端端點(diǎn)處以及界面處致密化曲線的模擬結(jié)果對(duì)比如圖7所示，可見在界面應(yīng)力和液相遷移的作用下，促進(jìn)了界面處附近粗晶端的燒結(jié)而抑制了細(xì)晶端的燒結(jié).

圖7 兩端以及界面處的模擬致密化曲線對(duì)比圖

為進(jìn)一步驗(yàn)證液相共燒結(jié)模型致密化規(guī)律，使用模型中方程（4）估算模擬密度的梯度分布，并與實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的密度梯度分布對(duì)比如圖8所示，可見模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合很好.

圖8 密度梯度分布模擬與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

3 模型討論

3.1 主要因素

在液相共燒結(jié)過程中，界面應(yīng)力和液相遷移對(duì)兩端燒結(jié)形成包括液相含量和密度的梯度分布至關(guān)重要.燒結(jié)前期兩端不存在液相，只存在界面應(yīng)力，為保持界面連續(xù)，界面應(yīng)力會(huì)抑制收縮較快端的燒結(jié)而促進(jìn)收縮較慢端的燒結(jié)，而且兩端的收縮速率差異越大，則產(chǎn)生的界面應(yīng)力越大，其作用會(huì)隨著界面距離的增大而逐漸減弱，可見在燒結(jié)前期這個(gè)階段的致密化是以界面應(yīng)力的作用為主導(dǎo)；燒結(jié)后期兩端已經(jīng)高度致密化，雖然同時(shí)存在界面應(yīng)力和液相遷移，而且液相遷移可能會(huì)引起界面應(yīng)力的突變，然而由于體積黏度較大，兩端致密化速率受到界面應(yīng)力的影響很小甚至可以忽略，最后即使兩端都達(dá)到全致密了，但是假如依然存在液相遷移壓力梯度，液相還是會(huì)發(fā)生遷移，引起液相體積分?jǐn)?shù)的變化，從而極大地影響了兩端的致密化速率，可見在燒結(jié)后期這個(gè)階段的致密化是以液相遷移的作用為主導(dǎo).

簡(jiǎn)而言之，在液相共燒結(jié)法制備功能梯度材料的生產(chǎn)實(shí)踐中，液相遷移對(duì)于兩端最終液相以及密度的梯度分布具有較大的主導(dǎo)性作用，而界面應(yīng)力對(duì)于最終的密度梯度分布影響較小，然而界面應(yīng)力對(duì)于實(shí)際共燒結(jié)過程中界面的失效分析顯得更為重要.

3.2 適用范圍

液相共燒結(jié)模型是在液相燒結(jié)、液相遷移和固相共燒結(jié)模型的基礎(chǔ)上提出來的，因此需要同時(shí)符合3個(gè)模型的基本假設(shè)，如液相燒結(jié)模型和固相共燒結(jié)模型都是基于黏彈性本構(gòu)方程建立的；界面應(yīng)力是基于連續(xù)介質(zhì)不出現(xiàn)裂紋等宏觀斷裂缺陷的假設(shè)推導(dǎo)得到的，也就是說界面應(yīng)力全部參與了致密化過程沒有做其他形式的功；液相遷移模型要求固相骨架不是剛性的，從而隨著液相體積的增減膨脹或者收縮，也就是說在邊界移動(dòng)的同時(shí)長(zhǎng)度也會(huì)發(fā)生變化，而且系統(tǒng)不同位置只存在液相濃度梯度而不存在其他化學(xué)梯度；不同于常見的固-液-氣三相系統(tǒng)，液相遷移的熱力學(xué)驅(qū)動(dòng)力是固液兩相系統(tǒng)整體界面自由能的降低，即使在達(dá)到全致密不存在毛細(xì)管力的時(shí)候，只要存在液相遷移壓力梯度，液相遷移依然會(huì)發(fā)生，因此在使用液相遷移模型的時(shí)候要求材料盡可能接近全致密；特別地，對(duì)于等溫?zé)Y(jié)才發(fā)生液相遷移的假設(shè)，實(shí)際上往往還沒開始等溫?zé)Y(jié)就已經(jīng)完全液化并發(fā)生遷移或者部分液化也會(huì)發(fā)生液相遷移，但是由于升溫速度較快時(shí)間較短，在等溫?zé)Y(jié)前的液相遷移相對(duì)影響很小甚至可以忽略，例如模型驗(yàn)證的YG類硬質(zhì)合金，液相出現(xiàn)到等溫?zé)Y(jié)只用了10多分鐘，而將原來的等溫?zé)Y(jié)時(shí)間疊加20 min后再進(jìn)行模擬，發(fā)現(xiàn)模擬結(jié)果與原來結(jié)果差別很小，因此驗(yàn)證了這個(gè)假設(shè)的合理性.

綜上所述，液相共燒結(jié)模型需要滿足以下假設(shè)：①基于黏彈性流動(dòng)理論；②界面連續(xù)不出現(xiàn)裂紋等缺陷；③不是剛性的固相骨架；④不存在其他化學(xué)梯度；⑤出現(xiàn)液相到等溫?zé)Y(jié)的時(shí)間較短，而且在等溫?zé)Y(jié)時(shí)已高度致密化.

4 結(jié) 論

1）以顆粒半徑、固相相對(duì)密度和液相體積分?jǐn)?shù)為基本參數(shù)，建立了基于黏彈性理論的液相共燒結(jié)模型，并通過YG8硬質(zhì)合金的實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證，能較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)密度梯度和Co相梯度分布情況.

2）造成液相共燒結(jié)梯度分布的主要原因是界面應(yīng)力和液相遷移，燒結(jié)前期界面應(yīng)力主導(dǎo)，而燒結(jié)后期液相遷移主導(dǎo).如果只是粗略估算液相共燒結(jié)密度梯度分布可直接通過液相遷移模型進(jìn)行簡(jiǎn)單估算.

3）液相共燒結(jié)模型可為梯度功能材料制備與結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)，由于模型中的參數(shù)都具有物理意義，因此可進(jìn)一步推廣到其他雙相結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的相關(guān)性能研究.

附錄A

根據(jù)P.E.Mchugh等[16]的液相燒結(jié)模型可知，固相相對(duì)密度（也稱為固相體積分?jǐn)?shù)）增長(zhǎng)速率，其中分別代表顆粒重排、液相熔化和燒結(jié)頸長(zhǎng)大引起固相相對(duì)密度的變化速率，因此可得到整體相對(duì)密度D、固相相對(duì)密度Ds以及液相體積分?jǐn)?shù)g的關(guān)系為：

Ds為固相相對(duì)密度（如果），b是無量綱的因子 （b=1），δb為平衡狀態(tài)的液體薄膜厚度（δb≈1.5 nm），R為固相顆粒半徑，σs為燒結(jié)應(yīng)力，σm為外加機(jī)械應(yīng)力，η為液體黏度，c為燒結(jié)頸接觸半徑（根據(jù)幾何關(guān)系可得c2=2R2δ）.此時(shí)，燒結(jié)頸長(zhǎng)大引起固相相對(duì)密度的變化速率（f）為：

Ds為固相相對(duì)密度，δ為壓應(yīng)變，為應(yīng)變速率，R是顆粒半徑，Z是晶粒配位數(shù)，σs是燒結(jié)應(yīng)力，σm是外加機(jī)械應(yīng)力，Δp是氣孔氣壓和外部氣壓的差（在計(jì)算過程中認(rèn)為Δp=0），c是燒結(jié)頸接觸半徑 （根據(jù)幾何關(guān)系可得c2=2R2δ），L是固相原子溶解析出反應(yīng)速率常數(shù)，Ω是固相原子體積，k是波爾茲曼常數(shù)，T是溫度，C1是燒結(jié)頸處液相中的固相原子濃度，δb是液相薄膜厚度（δb≈1.5 nm），Db是固相原子在液相晶界的擴(kuò)散系數(shù)，一般認(rèn)為L(zhǎng)Ω和C1ΩδbDb是與溫度有關(guān)的函數(shù).在不考慮化學(xué)勢(shì)存在的前提下，燒結(jié)應(yīng)力σs主要包括毛細(xì)管力σ1和固液界面應(yīng)力σs1，即：

σ1促進(jìn)燒結(jié)致密化，而σs1往往會(huì)阻礙燒結(jié)致密化，γ1為液相比表面能，f為孔隙率，fc0表示燒結(jié)后期大于2/3R0大孔隙的體積分?jǐn)?shù)，B和n都是可調(diào)常數(shù)，γs1為固液界面的比表面能，R是顆粒半徑，Ds為固相相對(duì)密度.此外，晶粒長(zhǎng)大速率R˙會(huì)遵守以下演變方程為：

R是顆粒半徑，γs1為固液界面的比表面能，L是固相原子溶解析出反應(yīng)速率常數(shù)，Ω是固相原子體積，一般認(rèn)為L(zhǎng)Ω是與溫度有關(guān)的函數(shù).根據(jù)方程(A-1～A-5)可以得到體積黏度K為：

根據(jù)Zhigang Zak Fang等[17]的液相遷移模型可知，液相遷移控制方程為：

A0為液相遷移方向在初始時(shí)刻的橫截面積（m2），t為時(shí)間（s），g為液相體積分?jǐn)?shù)，g0為初始時(shí)刻的液相體積分?jǐn)?shù)，l為液相遷移方向的距離（m），kp是液體滲透率（m2），μ 為液體黏度（kgm-1s-1），Pm為液相遷移壓力（Pa）.特別說明一下，液相遷移控制方程是一個(gè)非線性微分方程，需要用到預(yù)測(cè)-修正的Mac-Cormack方法進(jìn)行計(jì)算，具體可以參考文獻(xiàn)[17].

根據(jù)何浩等[9]的固相共燒結(jié)模型可知，假設(shè)B端收縮速率較A端的要快，那么界面應(yīng)力計(jì)算公式為：

KA、KB分別為A端和B端的體積黏度，fA、fB分別為A端和B端自由燒結(jié)瞬時(shí)收縮速率，根據(jù)界面應(yīng)力沿試樣呈三次方分布逐漸遞減的規(guī)律可知，界面應(yīng)力在界面處為最大值Δσ，然后以三次方規(guī)律逐漸降低，那么離界面處距離x處的界面應(yīng)力大小為：

x為距離界面處的距離，L為試樣界面到兩端的距離（m），根據(jù)三向的受力分析可得界面處A、B兩側(cè)在界面應(yīng)力作用下的實(shí)際致密化速率A、B分別為：

σsA、σsB分別為A端和B端自由燒結(jié)的燒結(jié)壓力，界面應(yīng)力在界面處為最大值Δσ，KA、KB分別為A端和B端的體積黏度.

附錄B

根據(jù)Bjorn Uhrenius[20]的研究可知液相燒結(jié)的WC和Co的摩爾體積與溫度的關(guān)系分別為：

已知WC的摩爾質(zhì)量MWC=196 g/mol，Co的摩爾質(zhì)量MCo=59 g/mol，可得已知溫度T的情況下在單位體積里Co相的質(zhì)量分?jǐn)?shù)wt和體積分?jǐn)?shù)g相互轉(zhuǎn)化的公式分別為：

根據(jù)P.E.Mchugh[16]的研究可知WC-Co燒結(jié)體系液相燒結(jié)的相關(guān)數(shù)據(jù)，由于壓胚初始密度較高，后期大孔隙的量很少，因此根據(jù)文獻(xiàn)[21]可知fc0可取0.05，具體計(jì)算如下：

由于WC-Co燒結(jié)體系在還沒達(dá)到Co相熔點(diǎn)之前就會(huì)形成大量柔軟的Co-W-C合金顆粒來填充孔隙，也就是說在重排作用下能達(dá)到最大固相相對(duì)密度D1應(yīng)該隨著柔軟的Co-W-C合金顆粒含量的增加而變大，又Co-W-C黏結(jié)相的體積分?jǐn)?shù)是有關(guān)于溫度的函數(shù)，因此方程（A-2）中的D1應(yīng)該修正如下：

根據(jù)Zhigang Zak Fang[17]的研究可知，方程（A-7）中的液相遷移壓力和滲透率計(jì)算如下：

Pm是液相遷移壓力 （Pa），g是液相體積分?jǐn)?shù)，d是顆粒尺寸大小（m），Kp是滲透率（m2），μ 是 Co 液體黏度（kgm-1s-1）.

根據(jù)劉壽榮[22]的研究可知，由WC和Co組成無孔隙的理想致密體，則合金理論密度ρt可由下式進(jìn)行估算：

XCo其中表示 Co 相的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，ρtWC、ρtCo分別代表WC和Co的理論密度（g/cm3）.

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