王昊天++王凡

期中測(cè)評(píng)卷上有這樣一道填空題：已知關(guān)于x的方程x-a=x+142的解為自然數(shù)，則自然數(shù)a的最小值是________. 我們從開(kāi)始的一籌莫展到后來(lái)的新問(wèn)題提出與解決，經(jīng)歷了一種探究的過(guò)程，現(xiàn)在與大家一起分享我們的研究成果！

首先分享一個(gè)小“笑話(huà)”.考試時(shí)我一看問(wèn)題“自然數(shù)a的最小值是________”，不假思索地寫(xiě)下0，因?yàn)?是最小的自然數(shù)?。『髞?lái)細(xì)想，不對(duì)啊！將a=0代入等式中解得x=，x不是自然數(shù)，與條件相矛盾，顯然是錯(cuò)誤的. 經(jīng)過(guò)老師的點(diǎn)撥，知道前面的條件已經(jīng)限制了自然數(shù)a的取值了.

于是，應(yīng)該先解方程，即用字母a的代數(shù)式表示出x，解得x=（142+a），乘多少才使得x為自然數(shù)呢？我們應(yīng)該想到142+a必定是9的倍數(shù). 根據(jù)小學(xué)里學(xué)過(guò)的知識(shí)：只要142+a的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)就有142+a是9的倍數(shù). 顯然有：當(dāng)自然數(shù)a=2時(shí)，1+4+2+a=9是9的一倍，于是142+a是9的倍數(shù)；當(dāng)自然數(shù)a=2+9=11時(shí)，142+a必定也是9的倍數(shù)；當(dāng)自然數(shù)a=2+9+9=20時(shí)，142+a必定也是9的倍數(shù)……所以，我們就能得知符合條件的自然數(shù)a有規(guī)律地排列：2、11、20、29、38……自然數(shù)a的最小值是2.

由前面的分析可歸納出規(guī)律，當(dāng)a=2+9k（k為自然數(shù)）時(shí)，142+a是9的倍數(shù). “k為負(fù)整數(shù)時(shí)，a就是負(fù)整數(shù)，此時(shí)142+a也是9的倍數(shù)嗎？”突然我的腦海中閃現(xiàn)這樣的想法. 于是，我向老師、同學(xué)們提出了這幾個(gè)問(wèn)題：

【追問(wèn)1】 若“自然數(shù)a”改為“負(fù)整數(shù)a”

已知關(guān)于x的方程x-a=x+142的解為自然數(shù)，則負(fù)整數(shù)a的最小值是________，最大值是________.

解：根據(jù)前面的分析則有：x=（142+a）=（142+2+9k），當(dāng)k=-1時(shí)，負(fù)整數(shù)a=-7是最大值，此時(shí)x=150；當(dāng)x=-16時(shí)，負(fù)整數(shù)a=-142是最小值，此時(shí)x=0. 所以，負(fù)整數(shù)a的最小值是-142，最大值是-7.

a的取值可以為非整數(shù)嗎？帶著這個(gè)問(wèn)題，我們繼續(xù)思考.

【追問(wèn)2】 若“自然數(shù)a”改為“負(fù)數(shù)a”

已知關(guān)于x的方程x-a=x+142的解為自然數(shù)，則負(fù)數(shù)a的最大值是______.

解：由x=（142+a）思考：假如a是負(fù)分?jǐn)?shù)使得10（142+a）是9的倍數(shù)，也有解使自然數(shù)成立. 于是結(jié)合前面9的倍數(shù)數(shù)字特征，當(dāng)a=-0.7時(shí)，x=（142+a）==157，此時(shí)a=-0.7是最大的負(fù)數(shù).

如果將“解是自然數(shù)解”改為“解是正整數(shù)”，a仍然為負(fù)數(shù)呢？

【追問(wèn)3】 “解是自然數(shù)”改為“解是正整數(shù)”，a仍然為負(fù)數(shù)

已知關(guān)于x的方程x-a=x+142的解為正整數(shù)，則負(fù)數(shù)a的最小值是______.

解：由x=（142+a）思考，當(dāng)解取最小值正整數(shù)1時(shí)，a=-141.1，故負(fù)數(shù)a的最小值是-141.1.

反思：這道填空題的變式追問(wèn)和探究帶給我們很多收獲與樂(lè)趣. 老師常說(shuō)，對(duì)好的問(wèn)題要善于追問(wèn)、變式，提出新的問(wèn)題，做到“做一題，會(huì)一類(lèi)，通一片”，這樣學(xué)習(xí)效果最好. 數(shù)學(xué)真像一個(gè)無(wú)底洞，永遠(yuǎn)也探究不完，摸索的過(guò)程很有樂(lè)趣！

王老師點(diǎn)評(píng)：王昊天、王凡兩位同學(xué)對(duì)期中考試卷上一道填空題反思、探究得這么深，老師為你們高興. 從不同角度對(duì)條件或結(jié)論進(jìn)行改編追問(wèn)，使得問(wèn)題更有了深度，思維上更有了廣度. 這種“一題多變”擴(kuò)大成果的學(xué)習(xí)方式值得贊賞與推廣. 謝謝你們做了榜樣！

（指導(dǎo)教師：王憲成）