宮 莉

加權(quán)平均在評價決策、工程管理、經(jīng)濟統(tǒng)計等方面有廣泛的應(yīng)用，如決策模型的求解、質(zhì)量控制等.如果對象的評價值或權(quán)重的界限表現(xiàn)不確定，為使決策者以及評價對象本身所具有的模糊性能有效地利用起來，進行綜合評價，可以把它們表達成模糊數(shù)，進行模糊加權(quán)平均，其輸出結(jié)果就包含有更多的信息，表明了評價結(jié)果的各種可能性，為決策者提供更好的依據(jù)和參考，對此，文獻［1－2］進行了模糊綜合評判，但評價結(jié)果是各方案滿足總目標的隸屬函數(shù)值，本質(zhì)上也是一個確定值.BUCKLY、值田等利用模糊集合［3－4］處理類似問題.近些年來，許多學者都對此方面進行了相關(guān)研究［5－9］.

目前的論文在利用模糊加權(quán)平均法求解決策模型［10］時，大多忽略了模型中系數(shù)之間的限定運算問題，求解結(jié)果使人難以信服.針對此問題，本文結(jié)合模糊結(jié)構(gòu)元理論［11］，首先對模糊加權(quán)平均的運算問題進行討論，然后在此基礎(chǔ)上給出了一種隨機模擬的求解方法，有效地解決了決策模型中系數(shù)的限定性運算問題，便于應(yīng)用，值得進一步研究推廣.

1 模糊數(shù)運算及結(jié)構(gòu)元表示

定義1［12］對于模糊集∈F(R)，稱為R上的有界閉模糊數(shù)當且僅當滿足:(1)是正規(guī)的，即存在∈R，使得()=1;(2)對于 λ∈(0，1］，={x|(x)≥λ}是閉區(qū)間;(3)為有界.記R上的有界閉模糊數(shù)全體為F(R).

定義2［13］設(shè)E為實數(shù)域R上的模糊集，隸屬函數(shù)記為E(X)，x∈R.如果E(x)滿足下述性質(zhì):(1)E(0)=1;(2)在區(qū)間［－1，0)上E(x)是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(0，1］上E(x)是單降左連續(xù)函數(shù);(3)當－∞ ＜x＜－1或者1＜x＜∞時，E(x)=0.則稱模糊集E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元.

定理1［13］對于給定的一個正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有限模糊數(shù)，總存在一個在［－1，1］上的單調(diào)有界函數(shù)f，使得=f(E).嚴格地說，存在f的集值延拓，使得=(E)，并稱模糊數(shù)是由模糊結(jié)構(gòu)元生成的.

定理2［13］若模糊數(shù)=f(E)，則的隸屬函數(shù)為E(f－1(x))，這里 f－1(x)關(guān)于變量 x和 y的輪換對稱函數(shù)(若f(x)是連續(xù)嚴格單調(diào)的，則f－1(x)是f(x)的反函數(shù)).

若D［－1，1］為區(qū)間［－1，1］上同序單調(diào)函數(shù)全體，定義D［－1，1］上的同序單調(diào)變換:

其中 fτ0(x)=f(x)，fτ1(x)=－f(－x)，fτ2(x)=(f(－x)≠0)，fτ3(x)=－(f(x)≠0)(x∈［－1，1］).

定理3［13］設(shè) E 為對稱模糊結(jié)構(gòu)元，f和 g 是［－1，1］上的同序單調(diào)有界函數(shù)，模糊數(shù)=f(E)，=g(E)，則有:(1)+=f(E)+g(E)=(f+g)(E);(2)－=f(E)－g(E)=(f+gτi)(E);(3)=f(E)g(E)(fg)(E);當 k 為非負實數(shù)時，k=(kf)(E);(4)=f(E)gτ2(E)=(fgτ2)(E).

上述定理證明可參考文獻［11－13］.

2 基于結(jié)構(gòu)元理論的模糊加權(quán)平均的運算

證明 對于v∈V有

根據(jù)Zadeh的擴張原理，對于任意t∈R有

下面證明多元函數(shù) h(v，t)=(v·A)(t)，v∈V，t∈R 是一致連續(xù)的.實際上，記 Xv，t={X∈Rn|v·x=t}，則h(v，t)=或 h(v，t)

類似f(v)一致連續(xù)性證明，易A(x)證在Rn上一致連續(xù)，而Xv，t表示Rn中的連續(xù)超平面，對于任意v∈V，根據(jù)數(shù)學分析的知識，知h(v，t)關(guān)于變量t在R上的連續(xù)凸函數(shù).同理，可知對于任意t∈R，h(v，t)為關(guān)于變量v在V上的連續(xù)凸函數(shù).故h(v，t)在v×R上一致連續(xù).

其隸屬函數(shù)為

所以

3 模糊加權(quán)平均決策模型的結(jié)構(gòu)元解法

結(jié)合模糊加權(quán)運算的結(jié)構(gòu)元理論，來求解模糊加權(quán)決策模型，提出一種隨機模擬的算法來進行求解，這里給出具體的算法步驟，具體如下:

規(guī)范化公式為

其中，i=1，2，…，n.

模糊合成算子有很多，根據(jù)不同情況選擇相應(yīng)的算子.最常用的模糊合成算子是加權(quán)平均，即

根據(jù) qj，j=1，2，…，n 值的大小確定 U 中方案的優(yōu)劣排序，規(guī)則:若 qi≥qj，那么 uiuj，即方案 ui優(yōu)于方案uj.

若直接利用式(2)代入

計算P值.由于V中的點連續(xù)且式中存在連續(xù)積分，直接計算運算量很大，需采用數(shù)值計算的方式進行近似計算.簡化的方法:對V和連續(xù)積分進行離散化，用其近似形式代替.設(shè)V離散后V'={vk|vk∈V，k=1，2，…，N1}.記離散后的P值為P'.實際上，只要V'中的點在V上分布得足夠均勻、點足夠多，P'值就能以足夠的精度靠近P.

對于如何得到V'，這里提供一種隨機數(shù)生成的方法:首先，隨機生成一個N×n矩陣T=［tij］N×n，其中tij是［0，1］之間的隨機數(shù);其次，對矩陣T的行向量進行歸一化，設(shè)歸一化后的隨機矩陣為T'=［t'ij］N×n，其中隨機矩陣的行向量便組成了V'.易知，V'中的點均勻分布于V上.

4 數(shù)值實例

某單位在對干部進行考核選拔時，制定了6項考核指標(因素):思想品德f1、工態(tài)f2、工作作風f3、文化水平和知識結(jié)構(gòu)f4、領(lǐng)導(dǎo)能力f5和開拓能力f6，通過群眾推薦和評議，對各項指標分別打分，再進行統(tǒng)計處理，從中確定了5名候選人ui(i=1，2，3，4，5).由于群眾對同一候選人所給出的指標值(狀態(tài)值)并不完全相同，因此經(jīng)過統(tǒng)計處理后的每個候選人在各因素下的狀態(tài)值是以三角模糊數(shù)形式給出的，屬性值均為越大越好的效益型，具體的屬性值見表1.

表1 候選人在各因素下的屬性值及各因素的權(quán)重

步驟1 決策矩陣的結(jié)構(gòu)元表示及其規(guī)范化.根據(jù)表1，容易確定模糊決策矩陣=［］5×6，其中表示對象uj在因素fi下的屬性值.由于中每個元素均為三角模糊數(shù)，而三角模糊數(shù)結(jié)構(gòu)元表示形式為=［aij，bij，cij］=fij(E).其中，fij(x)根據(jù)式(2)，得到的規(guī)范化矩陣=［gij(E)］5×6，其中 gij(x)=fij(x)·(∑(－x))－1.

步驟2 模糊權(quán)重的結(jié)構(gòu)元表示及其規(guī)范化.這里模糊權(quán)重向量

類似于步驟1或(3)式，對W的規(guī)范化，得到規(guī)范化向量W*.

步驟3 計算P=(p1，p2，p3，p4，p5).這里在近似計算pi值時，V'的隨機實值權(quán)重向量數(shù)N1=1000，數(shù)值積分采用梯形數(shù)值積分(trapz()函數(shù))，然后，利用編程計算得到表2.

表2 基于隨機模擬下的決策排序

步驟4根據(jù)pi值大小對5個候選人進行排序結(jié)果:u2u1u5u3u4.

5 結(jié)語

本文首先結(jié)合模糊結(jié)構(gòu)元理論，對模糊加權(quán)平均數(shù)的運算及其相關(guān)性質(zhì)進行了探討與研究，并給出具體的證明，然后在此基礎(chǔ)上提出了一種隨機模擬算法，用以求解模糊加權(quán)平均決策模型，并結(jié)合模型給出了具體的求解步驟，有效地解決了模型求解過程中參數(shù)的限定性運算問題，最后通過數(shù)值實例對文中的結(jié)論進行了證明.

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