汪潔+郭利娜

摘 要：機械波是大學物理教學中的重點也是難點，以平面簡諧波為例，具體闡明了波動方程所描述的物理意義，討論了介質中兩相干波源傳播過程中各點的相位差，分析了其相干疊加過程，對學生在此問題中易犯的錯誤進行了分析，并利用數(shù)值模擬與數(shù)值計算軟件Matlab做出相干疊加效果圖，便于學生清晰明確地理解。

關鍵詞：機械波 ?相位 ?相干疊加

中圖分類號：G64 ? ?文獻標識碼：A ?文章編號：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

機械波是振動的系統(tǒng)在彈性介質中的傳播，波動中傳播的只是振動狀態(tài)和能量。不同性質的波動雖然機制各不相同，但它們在空間的傳播規(guī)律卻具有共性。波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內的許多質元上，我們通常是以平面簡諧波（橫波）為例來研究機械波的性質和規(guī)律，任何復雜波都可以分解為頻率或波長不同的許多平面簡諧波的疊加。而平面簡諧波的描述是由波動方程給出的，波動的基本規(guī)律不僅適用于機械波，而且還適用于電磁波、光波以及實物粒子的德布羅依波，因而正確掌握平面簡諧波波動方程的物理意義和正確運用它來解決實際問題對今后有關部分的學習無疑會打下良好的基確，獲得事半功倍的效果。

1 平面簡諧波波動方程所描述的物理意義

平面簡諧波在介質中傳播，雖然各質點都按余弦（或正弦）規(guī)律運動，但同一時刻各質點的運動狀態(tài)各不相同。平面簡諧波的波動方程是描述波射線上各點做簡諧振動的情況，它是任一波線上任一點的振動方程的通式[1]。

設有一平面簡諧波，在理想介質中沿著x軸傳播，x軸即為某一波射線，在此波射線上任取一點為坐標原點，已知原點O的振動方程為：，設波動在介質中傳播時的傳播速度為u，當振動傳到介質中的各個質點時，各質點重復波源的振動。并且，沿波的傳播方向上的各質點振動的相位依次落后，則可得到波沿正、負向傳播的波動方程為：，大學物理教材在推導波動方程時，都是把波源放在坐標原點。但是在習題中波源往往不在坐標原點，如果直接使用教材上的公式計算就會出錯，因此我們將該問題引申一下：（1）若已知點的振動不在原點，已知始點P的振動方程為：，且P點的位置坐標為x0，則我們可推導出機械波沿正負方向傳播的波動方程[2-3]：;這里不論坐標原點O與P點是否在同一波線上，此式均適用。（2）若坐標原點O與始點P不在同一波射線，如圖1：假設A點為波源，已知始點P的振動方程為：，同理可以得到正、負向傳播的波動方程為：

這里需要注意公式的適用范圍：正向波中，x≥xA才有物理意義，而在負向波中，x≤xA才有物理意義。

2 機械波在介質中傳播，任意兩點之間的相位差

機械波在介質中傳播振動狀態(tài)，確定系統(tǒng)任意時刻振動狀態(tài)的一個重要的物理量是振動的相位[4-5]，研究同一時刻單個機械波在波線上坐標為x1和x2兩點處質點振動的相位分別為：

它們的相位差為（1），得出了在同一時刻，波線上任意兩點的相位差Δφ與波程差Δx的關系，反映了兩個振動不同程度的參差錯落。若介質中的兩點在不同的波射線上，又該如何來求兩點的相差呢？如，一平面簡諧波沿x軸傳播，波長為λ，頻率為f，波源位于So點。

如圖2所示，以波源So處為坐標原點O，C、D兩點坐標分別為-xC，xD，如果用公式（1）來求C、D 兩點的相差就會出錯，我們可先求D、O兩點的相差ΔφDO和C、O兩點的相差ΔφCO：

，

。則C、D兩點的相差：。從以上例子中我們可以得出波源、始點的位置及波射線的方向都對波動方程及質點的振動狀態(tài)有影響，是我們必須要仔細分析的。

3 兩相干機械波源相遇區(qū)域各點的相位差及相干疊加后的振幅

如果是兩個相干波源，在兩機械波相遇的區(qū)域就會發(fā)生相干疊加，在相遇的區(qū)域各點的相位差又如何求？比如，有S1和S2為兩相干波源，振幅均為A1，相距λ/4，S1較S2位相超前π/2，如圖3所示。

由于是相干波源，S1S2滿足頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相差相同或位相差恒定的相干條件。假設以S1為原點，沿S1S2方向建立x坐標軸，并假設S1S2都可以同時沿著x坐標軸的正、負方向傳播。S1的振動方程為：（由已知S1較S2位相超前π/2），可得到S1同時沿x軸正、負向傳播的波動方程：

≥ ?（2）

≤ ?（3）

同理可得，S2同時沿x軸正、負向傳播的波動方程為：

≥ ?（4）

≤ ?（5）

兩波源在相遇區(qū)域各點的相位差，可以分三個不同區(qū)域進行討論：

（1）區(qū)域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x軸負向傳播，適用的波動方程分別為（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）區(qū)域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x軸正向傳播，而S2沿x軸負向傳播，適用的波動方程分別為（2）和（5），

因此：，疊加后的振幅與位置坐標x有關，

（3）區(qū)域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x軸正向傳播，適用的波動方程分別為（2）和（4），所以：，干涉相長。

利用Matlab可以作出不同區(qū)域的相干疊加效果圖如圖4：可以清楚的看到相干疊加后的波形圖：區(qū)域Ⅰ振幅都為0（干涉相消）、區(qū)域Ⅱ振幅隨著位置坐標x不同、區(qū)域Ⅲ為余弦（或正弦）函數(shù)（干涉相長）。

學生在處理這類問題時一般會把它簡單地分為兩個區(qū)域：

（1）在區(qū)域Ⅰ，距離為的點，傳到該點引起的位相差為

，得到合振幅。

（2）在區(qū)域Ⅲ，距離為的點，傳到該點引起的位相差為，得到合振幅為

。

而對于區(qū)域Ⅱ（S1S2之間的區(qū)域）就不知怎么分析了。這里還有兩個問題需要更正和說明的：（1）題目告訴我們S1和S2兩相干波源的振幅為A1，由于機械波中每個質點的距離原點的位移y是時間t和位置坐標x的雙重函數(shù)，因此這兩列波各自單獨傳播到任一點P時，到達P點時的位移y不一定就是A1，也就是說：在S2外側，S1S2波源傳到該相遇區(qū)域在任一點引起的振動位相差為0，兩相干波干涉相長，但該點的合振動并不是一個恒定的量2A1，而是如圖4中區(qū)域Ⅲ部分的曲線所示，仍為原波動方程所描述的余弦（或正弦）函數(shù)，由于兩波源振幅相同，所以合振幅整體提高了一倍。（2）此外波的強度雖然與振幅的平方成正比，但波的強度I并不一定就等于振幅的平方，所以學生認為在相長干涉中波的強度I=A2=4A12也是不完全正確的，是需要有前提條件的。

4 結語

該文從平面簡諧波的波動方程的物理意義出發(fā)，對平面簡諧波在介質中傳播任意兩點間的相位差進行了一系列的分析，重在理解平面簡諧波在相遇區(qū)域相干疊加的相位差和振幅及波的強度，并利用數(shù)值模擬和數(shù)值計算軟件Matlab對所研究對象進行了模擬分析及作圖，讓學生能更清晰地理解這部分內容，對波的干涉知識融會貫通。

參考文獻

[1] 趙近芳.大學物理簡明教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2008.

[2] 郭歡，周玉龍.關于機械波中的幾個問題[J].黑龍江科技信息，2010（5）.

[3] 楊百愚，馮大毅，張崇輝，等.如何“寫”出平面簡諧波的波函數(shù)[J].物理與工程，2008（10）.

[4] 楊改蓉.如何求解平面簡諧波的波動方程[J].實驗科學與技術，2006（2）.

[5] 田野，王秀清.關于簡諧振動和簡諧波的研究（Ⅰ）[J].河北北方學院學報：自然科學版，2005（2）.endprint

摘 要：機械波是大學物理教學中的重點也是難點，以平面簡諧波為例，具體闡明了波動方程所描述的物理意義，討論了介質中兩相干波源傳播過程中各點的相位差，分析了其相干疊加過程，對學生在此問題中易犯的錯誤進行了分析，并利用數(shù)值模擬與數(shù)值計算軟件Matlab做出相干疊加效果圖，便于學生清晰明確地理解。

關鍵詞：機械波 ?相位 ?相干疊加

中圖分類號：G64 ? ?文獻標識碼：A ?文章編號：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

機械波是振動的系統(tǒng)在彈性介質中的傳播，波動中傳播的只是振動狀態(tài)和能量。不同性質的波動雖然機制各不相同，但它們在空間的傳播規(guī)律卻具有共性。波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內的許多質元上，我們通常是以平面簡諧波（橫波）為例來研究機械波的性質和規(guī)律，任何復雜波都可以分解為頻率或波長不同的許多平面簡諧波的疊加。而平面簡諧波的描述是由波動方程給出的，波動的基本規(guī)律不僅適用于機械波，而且還適用于電磁波、光波以及實物粒子的德布羅依波，因而正確掌握平面簡諧波波動方程的物理意義和正確運用它來解決實際問題對今后有關部分的學習無疑會打下良好的基確，獲得事半功倍的效果。

1 平面簡諧波波動方程所描述的物理意義

平面簡諧波在介質中傳播，雖然各質點都按余弦（或正弦）規(guī)律運動，但同一時刻各質點的運動狀態(tài)各不相同。平面簡諧波的波動方程是描述波射線上各點做簡諧振動的情況，它是任一波線上任一點的振動方程的通式[1]。

設有一平面簡諧波，在理想介質中沿著x軸傳播，x軸即為某一波射線，在此波射線上任取一點為坐標原點，已知原點O的振動方程為：，設波動在介質中傳播時的傳播速度為u，當振動傳到介質中的各個質點時，各質點重復波源的振動。并且，沿波的傳播方向上的各質點振動的相位依次落后，則可得到波沿正、負向傳播的波動方程為：，大學物理教材在推導波動方程時，都是把波源放在坐標原點。但是在習題中波源往往不在坐標原點，如果直接使用教材上的公式計算就會出錯，因此我們將該問題引申一下：（1）若已知點的振動不在原點，已知始點P的振動方程為：，且P點的位置坐標為x0，則我們可推導出機械波沿正負方向傳播的波動方程[2-3]：;這里不論坐標原點O與P點是否在同一波線上，此式均適用。（2）若坐標原點O與始點P不在同一波射線，如圖1：假設A點為波源，已知始點P的振動方程為：，同理可以得到正、負向傳播的波動方程為：

這里需要注意公式的適用范圍：正向波中，x≥xA才有物理意義，而在負向波中，x≤xA才有物理意義。

2 機械波在介質中傳播，任意兩點之間的相位差

機械波在介質中傳播振動狀態(tài)，確定系統(tǒng)任意時刻振動狀態(tài)的一個重要的物理量是振動的相位[4-5]，研究同一時刻單個機械波在波線上坐標為x1和x2兩點處質點振動的相位分別為：

它們的相位差為（1），得出了在同一時刻，波線上任意兩點的相位差Δφ與波程差Δx的關系，反映了兩個振動不同程度的參差錯落。若介質中的兩點在不同的波射線上，又該如何來求兩點的相差呢？如，一平面簡諧波沿x軸傳播，波長為λ，頻率為f，波源位于So點。

如圖2所示，以波源So處為坐標原點O，C、D兩點坐標分別為-xC，xD，如果用公式（1）來求C、D 兩點的相差就會出錯，我們可先求D、O兩點的相差ΔφDO和C、O兩點的相差ΔφCO：

，

。則C、D兩點的相差：。從以上例子中我們可以得出波源、始點的位置及波射線的方向都對波動方程及質點的振動狀態(tài)有影響，是我們必須要仔細分析的。

3 兩相干機械波源相遇區(qū)域各點的相位差及相干疊加后的振幅

如果是兩個相干波源，在兩機械波相遇的區(qū)域就會發(fā)生相干疊加，在相遇的區(qū)域各點的相位差又如何求？比如，有S1和S2為兩相干波源，振幅均為A1，相距λ/4，S1較S2位相超前π/2，如圖3所示。

由于是相干波源，S1S2滿足頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相差相同或位相差恒定的相干條件。假設以S1為原點，沿S1S2方向建立x坐標軸，并假設S1S2都可以同時沿著x坐標軸的正、負方向傳播。S1的振動方程為：（由已知S1較S2位相超前π/2），可得到S1同時沿x軸正、負向傳播的波動方程：

≥ ?（2）

≤ ?（3）

同理可得，S2同時沿x軸正、負向傳播的波動方程為：

≥ ?（4）

≤ ?（5）

兩波源在相遇區(qū)域各點的相位差，可以分三個不同區(qū)域進行討論：

（1）區(qū)域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x軸負向傳播，適用的波動方程分別為（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）區(qū)域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x軸正向傳播，而S2沿x軸負向傳播，適用的波動方程分別為（2）和（5），

因此：，疊加后的振幅與位置坐標x有關，

（3）區(qū)域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x軸正向傳播，適用的波動方程分別為（2）和（4），所以：，干涉相長。

利用Matlab可以作出不同區(qū)域的相干疊加效果圖如圖4：可以清楚的看到相干疊加后的波形圖：區(qū)域Ⅰ振幅都為0（干涉相消）、區(qū)域Ⅱ振幅隨著位置坐標x不同、區(qū)域Ⅲ為余弦（或正弦）函數(shù)（干涉相長）。

學生在處理這類問題時一般會把它簡單地分為兩個區(qū)域：

（1）在區(qū)域Ⅰ，距離為的點，傳到該點引起的位相差為

，得到合振幅。

（2）在區(qū)域Ⅲ，距離為的點，傳到該點引起的位相差為，得到合振幅為

。

而對于區(qū)域Ⅱ（S1S2之間的區(qū)域）就不知怎么分析了。這里還有兩個問題需要更正和說明的：（1）題目告訴我們S1和S2兩相干波源的振幅為A1，由于機械波中每個質點的距離原點的位移y是時間t和位置坐標x的雙重函數(shù)，因此這兩列波各自單獨傳播到任一點P時，到達P點時的位移y不一定就是A1，也就是說：在S2外側，S1S2波源傳到該相遇區(qū)域在任一點引起的振動位相差為0，兩相干波干涉相長，但該點的合振動并不是一個恒定的量2A1，而是如圖4中區(qū)域Ⅲ部分的曲線所示，仍為原波動方程所描述的余弦（或正弦）函數(shù)，由于兩波源振幅相同，所以合振幅整體提高了一倍。（2）此外波的強度雖然與振幅的平方成正比，但波的強度I并不一定就等于振幅的平方，所以學生認為在相長干涉中波的強度I=A2=4A12也是不完全正確的，是需要有前提條件的。

4 結語

該文從平面簡諧波的波動方程的物理意義出發(fā)，對平面簡諧波在介質中傳播任意兩點間的相位差進行了一系列的分析，重在理解平面簡諧波在相遇區(qū)域相干疊加的相位差和振幅及波的強度，并利用數(shù)值模擬和數(shù)值計算軟件Matlab對所研究對象進行了模擬分析及作圖，讓學生能更清晰地理解這部分內容，對波的干涉知識融會貫通。

參考文獻

[1] 趙近芳.大學物理簡明教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2008.

[2] 郭歡，周玉龍.關于機械波中的幾個問題[J].黑龍江科技信息，2010（5）.

[3] 楊百愚，馮大毅，張崇輝，等.如何“寫”出平面簡諧波的波函數(shù)[J].物理與工程，2008（10）.

[4] 楊改蓉.如何求解平面簡諧波的波動方程[J].實驗科學與技術，2006（2）.

[5] 田野，王秀清.關于簡諧振動和簡諧波的研究（Ⅰ）[J].河北北方學院學報：自然科學版，2005（2）.endprint

摘 要：機械波是大學物理教學中的重點也是難點，以平面簡諧波為例，具體闡明了波動方程所描述的物理意義，討論了介質中兩相干波源傳播過程中各點的相位差，分析了其相干疊加過程，對學生在此問題中易犯的錯誤進行了分析，并利用數(shù)值模擬與數(shù)值計算軟件Matlab做出相干疊加效果圖，便于學生清晰明確地理解。

關鍵詞：機械波 ?相位 ?相干疊加

中圖分類號：G64 ? ?文獻標識碼：A ?文章編號：1674-098X（2014）11（a）-0078-02

機械波是振動的系統(tǒng)在彈性介質中的傳播，波動中傳播的只是振動狀態(tài)和能量。不同性質的波動雖然機制各不相同，但它們在空間的傳播規(guī)律卻具有共性。波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內的許多質元上，我們通常是以平面簡諧波（橫波）為例來研究機械波的性質和規(guī)律，任何復雜波都可以分解為頻率或波長不同的許多平面簡諧波的疊加。而平面簡諧波的描述是由波動方程給出的，波動的基本規(guī)律不僅適用于機械波，而且還適用于電磁波、光波以及實物粒子的德布羅依波，因而正確掌握平面簡諧波波動方程的物理意義和正確運用它來解決實際問題對今后有關部分的學習無疑會打下良好的基確，獲得事半功倍的效果。

1 平面簡諧波波動方程所描述的物理意義

平面簡諧波在介質中傳播，雖然各質點都按余弦（或正弦）規(guī)律運動，但同一時刻各質點的運動狀態(tài)各不相同。平面簡諧波的波動方程是描述波射線上各點做簡諧振動的情況，它是任一波線上任一點的振動方程的通式[1]。

設有一平面簡諧波，在理想介質中沿著x軸傳播，x軸即為某一波射線，在此波射線上任取一點為坐標原點，已知原點O的振動方程為：，設波動在介質中傳播時的傳播速度為u，當振動傳到介質中的各個質點時，各質點重復波源的振動。并且，沿波的傳播方向上的各質點振動的相位依次落后，則可得到波沿正、負向傳播的波動方程為：，大學物理教材在推導波動方程時，都是把波源放在坐標原點。但是在習題中波源往往不在坐標原點，如果直接使用教材上的公式計算就會出錯，因此我們將該問題引申一下：（1）若已知點的振動不在原點，已知始點P的振動方程為：，且P點的位置坐標為x0，則我們可推導出機械波沿正負方向傳播的波動方程[2-3]：;這里不論坐標原點O與P點是否在同一波線上，此式均適用。（2）若坐標原點O與始點P不在同一波射線，如圖1：假設A點為波源，已知始點P的振動方程為：，同理可以得到正、負向傳播的波動方程為：

這里需要注意公式的適用范圍：正向波中，x≥xA才有物理意義，而在負向波中，x≤xA才有物理意義。

2 機械波在介質中傳播，任意兩點之間的相位差

機械波在介質中傳播振動狀態(tài)，確定系統(tǒng)任意時刻振動狀態(tài)的一個重要的物理量是振動的相位[4-5]，研究同一時刻單個機械波在波線上坐標為x1和x2兩點處質點振動的相位分別為：

它們的相位差為（1），得出了在同一時刻，波線上任意兩點的相位差Δφ與波程差Δx的關系，反映了兩個振動不同程度的參差錯落。若介質中的兩點在不同的波射線上，又該如何來求兩點的相差呢？如，一平面簡諧波沿x軸傳播，波長為λ，頻率為f，波源位于So點。

如圖2所示，以波源So處為坐標原點O，C、D兩點坐標分別為-xC，xD，如果用公式（1）來求C、D 兩點的相差就會出錯，我們可先求D、O兩點的相差ΔφDO和C、O兩點的相差ΔφCO：

，

。則C、D兩點的相差：。從以上例子中我們可以得出波源、始點的位置及波射線的方向都對波動方程及質點的振動狀態(tài)有影響，是我們必須要仔細分析的。

3 兩相干機械波源相遇區(qū)域各點的相位差及相干疊加后的振幅

如果是兩個相干波源，在兩機械波相遇的區(qū)域就會發(fā)生相干疊加，在相遇的區(qū)域各點的相位差又如何求？比如，有S1和S2為兩相干波源，振幅均為A1，相距λ/4，S1較S2位相超前π/2，如圖3所示。

由于是相干波源，S1S2滿足頻率相同、振動方向相同、在相遇點的位相差相同或位相差恒定的相干條件。假設以S1為原點，沿S1S2方向建立x坐標軸，并假設S1S2都可以同時沿著x坐標軸的正、負方向傳播。S1的振動方程為：（由已知S1較S2位相超前π/2），可得到S1同時沿x軸正、負向傳播的波動方程：

≥ ?（2）

≤ ?（3）

同理可得，S2同時沿x軸正、負向傳播的波動方程為：

≥ ?（4）

≤ ?（5）

兩波源在相遇區(qū)域各點的相位差，可以分三個不同區(qū)域進行討論：

（1）區(qū)域Ⅰ：x≤0，S1S2都沿x軸負向傳播，適用的波動方程分別為（3）和（5），由于，

所以：，干涉相消。

（2）區(qū)域Ⅱ：0≤x≤λ/4，S1沿x軸正向傳播，而S2沿x軸負向傳播，適用的波動方程分別為（2）和（5），

因此：，疊加后的振幅與位置坐標x有關，

（3）區(qū)域Ⅲ：x≥λ/4，S1S2都沿x軸正向傳播，適用的波動方程分別為（2）和（4），所以：，干涉相長。

利用Matlab可以作出不同區(qū)域的相干疊加效果圖如圖4：可以清楚的看到相干疊加后的波形圖：區(qū)域Ⅰ振幅都為0（干涉相消）、區(qū)域Ⅱ振幅隨著位置坐標x不同、區(qū)域Ⅲ為余弦（或正弦）函數(shù)（干涉相長）。

學生在處理這類問題時一般會把它簡單地分為兩個區(qū)域：

（1）在區(qū)域Ⅰ，距離為的點，傳到該點引起的位相差為

，得到合振幅。

（2）在區(qū)域Ⅲ，距離為的點，傳到該點引起的位相差為，得到合振幅為

。

而對于區(qū)域Ⅱ（S1S2之間的區(qū)域）就不知怎么分析了。這里還有兩個問題需要更正和說明的：（1）題目告訴我們S1和S2兩相干波源的振幅為A1，由于機械波中每個質點的距離原點的位移y是時間t和位置坐標x的雙重函數(shù)，因此這兩列波各自單獨傳播到任一點P時，到達P點時的位移y不一定就是A1，也就是說：在S2外側，S1S2波源傳到該相遇區(qū)域在任一點引起的振動位相差為0，兩相干波干涉相長，但該點的合振動并不是一個恒定的量2A1，而是如圖4中區(qū)域Ⅲ部分的曲線所示，仍為原波動方程所描述的余弦（或正弦）函數(shù)，由于兩波源振幅相同，所以合振幅整體提高了一倍。（2）此外波的強度雖然與振幅的平方成正比，但波的強度I并不一定就等于振幅的平方，所以學生認為在相長干涉中波的強度I=A2=4A12也是不完全正確的，是需要有前提條件的。

4 結語

該文從平面簡諧波的波動方程的物理意義出發(fā)，對平面簡諧波在介質中傳播任意兩點間的相位差進行了一系列的分析，重在理解平面簡諧波在相遇區(qū)域相干疊加的相位差和振幅及波的強度，并利用數(shù)值模擬和數(shù)值計算軟件Matlab對所研究對象進行了模擬分析及作圖，讓學生能更清晰地理解這部分內容，對波的干涉知識融會貫通。

參考文獻

[1] 趙近芳.大學物理簡明教程[M].北京：北京郵電大學出版社，2008.

[2] 郭歡，周玉龍.關于機械波中的幾個問題[J].黑龍江科技信息，2010（5）.

[3] 楊百愚，馮大毅，張崇輝，等.如何“寫”出平面簡諧波的波函數(shù)[J].物理與工程，2008（10）.

[4] 楊改蓉.如何求解平面簡諧波的波動方程[J].實驗科學與技術，2006（2）.

[5] 田野，王秀清.關于簡諧振動和簡諧波的研究（Ⅰ）[J].河北北方學院學報：自然科學版，2005（2）.endprint