西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院 四川成都 611756

摘要：本文根據(jù)1998-2012年北京市居民人均年收入與該市私人汽車保有量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別建立了二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型和灰色預(yù)測(cè)模型，分析比較得出在數(shù)據(jù)量較小、預(yù)測(cè)時(shí)期較短的情況下，灰色預(yù)測(cè)更有優(yōu)勢(shì)的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：二次指數(shù)平滑；灰色預(yù)測(cè)；分析比較

根據(jù)1998-2012年北京市居民人均年收入與該市私人汽車保有量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假設(shè)搜集到的數(shù)據(jù)均準(zhǔn)確可靠，現(xiàn)用其來(lái)對(duì)北京市2013年私人汽車保有量進(jìn)行預(yù)測(cè)，并檢驗(yàn)預(yù)測(cè)的誤差。

一、二次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)

指數(shù)平滑法是對(duì)時(shí)間序列由近及遠(yuǎn)采取具有逐步衰減性質(zhì)的加權(quán)處理，是移動(dòng)平均法的改進(jìn)型。根據(jù)平滑次數(shù)的不同，可分為一次、二次、三次指數(shù)平滑法。一次指數(shù)平滑法適用于平穩(wěn)時(shí)間序列，二次指數(shù)平滑法（也稱為雙重指數(shù)平滑[1]或線性二次指數(shù)平滑）是對(duì)一次指數(shù)平滑值再進(jìn)行一次平滑，適用于具有線性趨勢(shì)的時(shí)間序列。三次指數(shù)平滑法適用于時(shí)間序列的變化呈現(xiàn)二次曲線趨勢(shì)時(shí)的預(yù)測(cè)。

（1）數(shù)據(jù)分析

將1998-2012年北京市私人汽車保有量的數(shù)據(jù)輸入EXCEL內(nèi)，畫(huà)出北京市私人汽車保有量隨時(shí)間變化的折線圖，分析可知，北京市私人汽車保有量隨時(shí)間大致呈現(xiàn)線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，故這里選取二次指數(shù)平滑法進(jìn)行預(yù)測(cè)。

（2）二次指數(shù)平滑模型

二次指數(shù)平滑法是對(duì)一次指數(shù)平滑序列再進(jìn)行一次指數(shù)平滑。設(shè)時(shí)間序列{yt}，一次指數(shù)平滑計(jì)算公式為：

（1.1）

式中：

——第期的一次指數(shù)平滑值；

——第期的觀測(cè)值；

——加權(quán)系數(shù)，。

二次指數(shù)平滑法的計(jì)算公式為：

（1.2）

式中：

——第期的二次指數(shù)平滑值。

二次指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)步驟為：

①確定加權(quán)系數(shù)和初始值；

②對(duì)時(shí)間序列計(jì)算和；

③利用和估計(jì)線性趨勢(shì)模型的截距和斜率：（1.3）

④建立線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型，并進(jìn)行預(yù)測(cè)： （1.4）

（3）確定加權(quán)系數(shù)和初始值

因數(shù)列發(fā)展趨勢(shì)較明顯，故應(yīng)取大值，這里不妨取，以跟蹤近期數(shù)據(jù)的變化。

又因?yàn)闀r(shí)間序列的樣本容量，初始值對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果影響較大，應(yīng)選取最初幾期觀測(cè)值的均值作為初始值，這里選取前3期的觀測(cè)值作為初始值，則。

令，對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果影響不大。

（4）分別計(jì)算和

（5）建立線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型

由公式（1.3）計(jì)算參數(shù)和：

于是，得到時(shí)的線性趨勢(shì)預(yù)測(cè)模型為：

（6）預(yù)測(cè)2013年的北京市私人汽車保有量

（7）計(jì)算追溯預(yù)測(cè)值，并求平均絕對(duì)百分比誤差

將式（1.3）代入預(yù)測(cè)模型（1.4）中，并令，得到追溯預(yù)測(cè)值計(jì)算公式：

（1.5）

本題中

令，由上式可求出各期的追溯預(yù)測(cè)值，則

分析數(shù)據(jù)及平均絕對(duì)百分比誤差可知，預(yù)測(cè)效果較好。

二、灰色預(yù)測(cè)

灰色預(yù)測(cè)[2]是指利用GM模型對(duì)既含有已知信息又含有不確定信息的灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，就是對(duì)在一定范圍內(nèi)變化的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)。

灰色預(yù)測(cè)的主要特點(diǎn)是模型使用的不是原始數(shù)據(jù)序列，而是生成的數(shù)據(jù)序列。其核心體系是灰色模型[3]（Grey Model，GM），即對(duì)原始數(shù)據(jù)作累加生成（或其他方法生成）得到近似的指數(shù)規(guī)律再進(jìn)行建模的方法。優(yōu)點(diǎn)是不需要很多的數(shù)據(jù)（一般只需要4個(gè)數(shù)據(jù)）就能解決歷史數(shù)據(jù)少、序列的完整性及可靠性低的問(wèn)題；能利用微分方程來(lái)充分挖掘系統(tǒng)的本質(zhì)，精度高；能將無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成序列，運(yùn)算簡(jiǎn)便，易于檢驗(yàn)，不考慮分布規(guī)律，不考慮變化趨勢(shì)。缺點(diǎn)是只適用于中短期的預(yù)測(cè)，只適合指數(shù)增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)。

（1）數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)與處理

首先，為了保證此模型的可行性，需要對(duì)已知數(shù)據(jù)數(shù)列做必要的檢驗(yàn)處理，設(shè)參考數(shù)據(jù)為，計(jì)算數(shù)列的級(jí)比

（2.1）

如果所有的級(jí)比都落在可容覆蓋內(nèi)，則數(shù)列可以作為模型GM（1，1）和進(jìn)行數(shù)據(jù)灰色預(yù)測(cè)。

結(jié)合本題數(shù)據(jù)，這里采取就近原則，根據(jù)已知的2003-2012這最近10年的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)2013年的數(shù)據(jù)，則這里。用求解得到2003-2012這10年的級(jí)比。

本題要求的區(qū)間是[0.8338，1.1994]，由此可以看到所計(jì)算得出的級(jí)比是符合要求的。故經(jīng)檢驗(yàn)，本題數(shù)據(jù)所有級(jí)比均落在可容覆蓋內(nèi)，滿足要求。

（2）灰色預(yù)測(cè)模型GM（1，1）的建立

給出按2003-2012這10年的時(shí)間序列數(shù)據(jù)：

（2.2）

對(duì)進(jìn)行一次累加，即

，，

則生成的新序列：

（2.3）

取的加權(quán)均值，其中。

令為臨緊均值（mean）數(shù)列，有

（2.4）

式（6.3.3）中為確定參數(shù)，一般取，即

（2.5）

則

（2.6）

建立GM（1，1）灰微分方程為：

（2.7）

式（6.3.6）中，稱為灰導(dǎo)數(shù)，稱為發(fā)展系數(shù)，稱為白化背景值，稱為灰作用量。

則GM（1，1）灰微分方程對(duì)應(yīng)的白化微分方程為

（2.8）

引入矩陣向量記號(hào)：

u = ， Y = ，

B =

于是GM（1，1）模型可表示為

Y = Bu （2.9）

用最小二乘法求得參數(shù)的估計(jì)值為

（BTB）-1BTY（2.10）

由此得到的響應(yīng)方程為：

，

（2.11）

則預(yù)測(cè)值為：

（2.12）

（3）模型求解

根據(jù)上述模型，利用軟件求解得到，，于是求解方程（2.8）得時(shí)間響應(yīng)函數(shù)

（2.13）

令，由式（2.13）的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)可算得，其中取，由，

取，得

。

（4）預(yù)測(cè)值的檢驗(yàn)

為判斷此模型的預(yù)測(cè)值是否達(dá)到要求，還需對(duì)其進(jìn)行如下檢驗(yàn)：

1）相對(duì)誤差檢驗(yàn)：令相對(duì)誤差為，計(jì)算

（2.14）

如果，則認(rèn)為該預(yù)測(cè)模型可以達(dá)到一般要求；如果，則認(rèn)為達(dá)到較高要求。

2）級(jí)比偏差值檢驗(yàn)：首先由參考數(shù)據(jù)，計(jì)算出級(jí)比，再用發(fā)展系數(shù)求出相應(yīng)的級(jí)比偏差

（2.15）

如果，則可認(rèn)為達(dá)到一般要求；如果，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求。

本題中，，。經(jīng)多次檢驗(yàn)， 求解得到北京市私人汽車保有量的預(yù)測(cè)值、殘差值、相對(duì)誤差和級(jí)比偏差。

可以看出：

1）2003-2012年這10年所有的相對(duì)誤差均小于0.1，說(shuō)明對(duì)于北京市私人汽車保有量的預(yù)測(cè)達(dá)到較高要求。

2）2003-2012年這10年所有的級(jí)比偏差值均小于0.1，說(shuō)明對(duì)于北京市私人汽車保有量的預(yù)測(cè)達(dá)到較高要求。

綜上，上述模型對(duì)于北京市私人汽車保有量的預(yù)測(cè)達(dá)到較高要求，及北京市2013年私人汽車保有量的預(yù)測(cè)值是比較科學(xué)合理的。

三、結(jié)論

以上兩種預(yù)測(cè)方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，總體比較看來(lái)，在數(shù)據(jù)量較小，預(yù)測(cè)時(shí)期較短的情況下，灰色預(yù)測(cè)更有優(yōu)勢(shì)。因?yàn)槎沃笖?shù)平滑預(yù)測(cè)需要對(duì)加權(quán)系數(shù)的取值進(jìn)行估算與試算；而灰色預(yù)測(cè)可以在數(shù)據(jù)量很少、數(shù)據(jù)序列完整性及可靠性較低的情況下利用微分方程來(lái)充分挖掘系統(tǒng)的本質(zhì)，能將無(wú)規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行生成得到規(guī)律性較強(qiáng)的生成序列，運(yùn)算簡(jiǎn)便，易于檢驗(yàn)，且精度較高，是此類中短期指數(shù)增長(zhǎng)預(yù)測(cè)的首選方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐國(guó)祥.統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)和決策（第三版）.上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2008，104.

[2]卓金武.MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011，30-32.

[3]韓中庚.數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用（第二版）.北京：高等教育出版社，2009，371.