孟小華，覃大勝，鄭冬琴，周玉宇

(暨南大學(xué) a．計(jì)算機(jī)科學(xué)系;b．物理系，廣州510632)

1 概述

自從文獻(xiàn)［1］首次應(yīng)用分子動(dòng)力學(xué)研究硬球系統(tǒng)以來(lái)，分子動(dòng)力學(xué)廣泛應(yīng)用于晶體生長(zhǎng)、壓痕試驗(yàn)、摩擦學(xué)以及低壓金剛石合成等領(lǐng)域。在新興的納米工程領(lǐng)域，建立在連續(xù)介質(zhì)基礎(chǔ)上的宏觀機(jī)理很難解釋納米工程中出現(xiàn)的一些特殊現(xiàn)象，因而分子動(dòng)力學(xué)方法成為重要的研究手段之一［2］。文獻(xiàn)［3］通過(guò)分子動(dòng)力學(xué)模擬了Ni針尖在Au(001)表面的納米壓痕過(guò)程，其模擬結(jié)果發(fā)表在《科學(xué)》上，成為該領(lǐng)域的標(biāo)志性成果。文獻(xiàn)［4］通過(guò)分子動(dòng)力學(xué)仿真算法，研究了不同晶粒尺寸的多晶銅塑性變形過(guò)程，從而發(fā)現(xiàn)晶粒尺寸與強(qiáng)度不完全滿足Hall-Petch關(guān)系。

分子動(dòng)力學(xué)仿真算法，有著理論分析方法和實(shí)驗(yàn)方法無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)，但是其計(jì)算要求極高，往往受限于計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力。為了提高仿真算法規(guī)模，國(guó)內(nèi)外許多專家學(xué)者做了大量研究［5-7］。仿真算法已由最初提高單機(jī)規(guī)模的串行算法［8］，發(fā)展到如今通過(guò)將計(jì)算任務(wù)分配給多個(gè)CPUs，從而提高模擬規(guī)模的并行算法［9］，規(guī)模也由最初的幾千個(gè)原子提高到上百萬(wàn)、上千萬(wàn)甚至到上億個(gè)原子。由于碳納米管［10］系統(tǒng)中含有大量粒子，結(jié)構(gòu)和受力復(fù)雜［11］，其分子動(dòng)力學(xué)模擬需要極強(qiáng)的計(jì)算能力，對(duì)CPU處理能力也有較高的要求。而利用CPU實(shí)現(xiàn)仿真串行算法，計(jì)算量極大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，并且模擬粒子數(shù)也受到很大的限制。

本文基于CUDA平臺(tái)，通過(guò)調(diào)度GPU多個(gè)流處理單元［12-13］，利用GPU強(qiáng)大的并行計(jì)算能力和高效的數(shù)據(jù)傳輸能力，對(duì)碳納米管分子動(dòng)力學(xué)的并行仿真算法進(jìn)行研究和實(shí)現(xiàn)，通過(guò)把碳納米管系統(tǒng)分成多層可并行處理的單元進(jìn)行并行計(jì)算。

2 分子動(dòng)力學(xué)Verlet仿真算法

分子動(dòng)力學(xué)是一套分子模擬方法，是一種重要且有效的原子尺度計(jì)算機(jī)模擬手段。該方法主要依靠牛頓力學(xué)來(lái)模擬分子體系的運(yùn)動(dòng)，以在由分子體系的不同狀態(tài)構(gòu)成的系統(tǒng)中抽取樣本，從而計(jì)算體系的構(gòu)型積分，并以構(gòu)型積分的結(jié)果為基礎(chǔ)進(jìn)一步計(jì)算體系的熱力學(xué)量和其他宏觀性質(zhì)。因而，用分子動(dòng)力學(xué)是碳納米管仿真的重要途徑。

在分子動(dòng)力學(xué)Verlet仿真算法中，粒子位置的泰勒展開式如下:

(1)將x(t+Δt)和x(t－Δt)進(jìn)行泰勒展開如下式所示:

其中，x(t－Δt)表示為前一時(shí)刻的位置;x(t+Δt)表示為后一時(shí)刻的位置。

(2)將式(1)和式(2)相加，得到位置表達(dá)式如下:

(3)將式(1)和式(2)相減，再兩邊同時(shí)除以2Δt，獲得速度的表達(dá)式如下:

(4)由式(1)～式(4)，在已知粒子 t－2Δt時(shí)刻的位置 x(t－2Δt)、t－Δt時(shí)刻的位置 x(t－Δt)和t－Δt時(shí)刻的加速度a(t－Δt)的情況下，啟動(dòng)Verlet算法進(jìn)行積分:根據(jù) x(t－2Δt)，x(t－Δt)和 a(t－Δt)，將 t=t－Δt代入式(3)，獲得 x(t);根據(jù) x(t)，基于一定的勢(shì)函數(shù)更新a(t);同時(shí)，根據(jù)x(t)和x(t－2Δt)，將t=t－Δt代入式(4)，更新v(t－Δt);即得到粒子x(t)，v(t－Δt)和a(t)，重復(fù)執(zhí)行該步驟。

由上，可利用Verlet列表法設(shè)計(jì)串行仿真算法的實(shí)現(xiàn)步驟如下:

(1)先構(gòu)造如圖1所示的碳納米管結(jié)構(gòu)模型，并設(shè)置各種參值。

(2)設(shè)計(jì)前端熱浴和后端熱浴。

(3)構(gòu)造并調(diào)用計(jì)算碳納米管結(jié)構(gòu)內(nèi)部的力的結(jié)構(gòu)函數(shù)及計(jì)算碳納米球C60與碳納米管間范德華力的函數(shù)等。

(4)計(jì)算所有的力，解牛頓運(yùn)動(dòng)方程，分層計(jì)算并積分(算法的核心)。

(5)模擬出碳納米球C60隨著熱浴時(shí)間的運(yùn)行軌跡，根據(jù)運(yùn)算結(jié)果，可畫出和碳納米管內(nèi)隨著能量傳送的溫度變化曲線圖。

3 基于CUDA并行仿真算法的研究與實(shí)現(xiàn)

3．1 碳納米管系統(tǒng)模型的建立

在數(shù)據(jù)庫(kù)文件中讀取碳納米管系統(tǒng)的參數(shù)條件，如初始溫度、粒子數(shù)、密度時(shí)間等，構(gòu)造碳納米管系統(tǒng)模型MOD1及參數(shù)模型MOD2，模型MOD2可以設(shè)置各種參數(shù)在模型MOD1上使用，模型MOD1如圖1～圖3所示，由碳納米管和設(shè)置在碳納米管內(nèi)部的一個(gè)足球狀C60分子(由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯)組成，所述碳納米管為層狀中空結(jié)構(gòu)，管身是準(zhǔn)圓管結(jié)構(gòu)，由多個(gè)六邊形碳環(huán)結(jié)構(gòu)單元組成，其直徑一般在一到幾十個(gè)納米之間，長(zhǎng)度則遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其直徑，對(duì)該模型進(jìn)行初始化，讀取模型中所有粒子的速度和位置坐標(biāo)。

圖1 碳納米管

圖2 C60分子

圖3 碳納米管系統(tǒng)模型

在碳納米管中，除管口層粒子外，其余粒子相互組成正六邊形。如圖4所示，非管口粒子都有3個(gè)近鄰粒子(ip，jp，kp均為idx粒子的近鄰粒子)。

圖4 碳納米結(jié)構(gòu)

在碳納米管系統(tǒng)中，因?yàn)镃60分子受到碳納米管管壁上碳粒子產(chǎn)生的力，在平衡位置上來(lái)回振動(dòng)，當(dāng)C60分子處于平衡狀態(tài)時(shí)，采用Gaussian熱浴法(約束溫度調(diào)節(jié)方法)，在碳納米管兩端同時(shí)分別設(shè)置不同溫度的熱浴條件，并設(shè)定熱浴時(shí)間，使碳納米管管壁上碳粒子和C60分子因平衡狀態(tài)被打破而發(fā)生位置和速度的變化。而這些變化是相互影響的，具有傳遞性，伴隨著這些粒子位置和速度的變化，能量在長(zhǎng)管狀的碳納米管系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生傳遞。由于C60分子位于碳納米管內(nèi)，其受力會(huì)隨著碳納米管組成粒子的位置改變而改變，因此伴隨著能量傳遞的過(guò)程，C60分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和能量也會(huì)發(fā)生改變;采用Gaussian熱浴法的基本原理是在運(yùn)動(dòng)方程中加入摩擦力fi，并將其與粒子速度vi聯(lián)系起來(lái)，其受力公式為:

當(dāng)平衡態(tài)時(shí)，系統(tǒng)溫度不變，因此有dEk/dt=0。即有:，由此可得

3．2 并行仿真算法研究

在CUDA平臺(tái)上對(duì)碳納米管進(jìn)行分割，分割成多層大小適宜、相互獨(dú)立的計(jì)算單元，分割原則是在避免過(guò)多重復(fù)計(jì)算的前提上提高并行度，即分割的計(jì)算單元必須合理粗細(xì)化。因?yàn)橛?jì)算單元過(guò)大，則并行不明顯，計(jì)算單元過(guò)小，會(huì)導(dǎo)致太多不必要的重復(fù)計(jì)算。由于粒子間的作用力間距影響較大，必須設(shè)定一個(gè)距離臨界值，以判斷其位置關(guān)系，當(dāng)粒子間的間距小于距離臨界值，為近鄰粒子;當(dāng)粒子間的間距大于距離臨界值，為次鄰粒子，則認(rèn)為其相互間的分子作用力可以忽略不計(jì)。

可以預(yù)料到的是每個(gè)中心粒子最多只會(huì)對(duì)其3個(gè)近鄰及3個(gè)近鄰的各2個(gè)近鄰，即6個(gè)次鄰施力?？梢赃@樣來(lái)考慮，以中心粒子以及3個(gè)近鄰6個(gè)次鄰劃分到一組計(jì)算。分批次并行計(jì)算。在某一批次計(jì)算中，未當(dāng)成中心粒子計(jì)算的一個(gè)粒子加入可并行計(jì)算隊(duì)列中，由于競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，其3個(gè)近鄰6個(gè)次鄰在本批次中將不能加入隊(duì)列，同樣的，對(duì)這3個(gè)近鄰6個(gè)次鄰施力的其他所有未計(jì)算粒子也不能加入隊(duì)列中。這樣，同一批次的粒子將可以并行計(jì)算而不產(chǎn)生競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。

設(shè)計(jì)分裂算法，采用CPU遍歷計(jì)算單元得到n個(gè)可并行運(yùn)算隊(duì)列:

(1)若所有粒子均已作為中心計(jì)算粒子，跳到步驟(8)。

(2)按次序找到第一個(gè)非競(jìng)爭(zhēng)粒子并沒有按中心計(jì)算的粒子，加入可并行運(yùn)算隊(duì)列。

(3)標(biāo)記該粒子的所有近鄰為本并行隊(duì)列一度不可并行粒子，若近鄰已經(jīng)是二度不可并行粒子，則提升為一度不可計(jì)算。

(4)標(biāo)記該粒子所有次鄰為本并行隊(duì)列二度不可并行粒子，若次鄰為一度不可并行粒子，則不修改其度數(shù)。

(5)標(biāo)記本粒子為已按中心計(jì)算粒子。

(6)判斷是否已遍歷到粒子隊(duì)尾。若是繼續(xù)執(zhí)行，若否跳到步驟(1)。

(7)下一個(gè)可并行隊(duì)列開始，返回步驟(2)。

(8)結(jié)束。

分裂算法在CPU預(yù)處理階段完成，只計(jì)算一次得出的可并行隊(duì)列可以在后面的循環(huán)計(jì)算中一直使用。當(dāng)循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，分裂算法所使用的時(shí)間占總時(shí)間比例將大大減少，對(duì)程序總體性能影響也降到比較低的程度。但是由于算法核心是批次計(jì)算，因此計(jì)算力時(shí)將多次啟動(dòng)內(nèi)核計(jì)算函數(shù)，一定程度上加大了運(yùn)行開銷。

如圖5和圖6所示，調(diào)度GPU的流處理單元，采用Verlet算法進(jìn)行并行運(yùn)算和處理:

(1)按碳納米管系統(tǒng)模型所有粒子的位置，計(jì)算近鄰粒子以及次鄰粒子間的鍵關(guān)系和角度關(guān)系。

(2)調(diào)度GPU的流處理單元，并行計(jì)算被分割在不同計(jì)算單元里的粒子，并積累計(jì)算碳納米管管壁上每個(gè)粒子與其近鄰粒子的相互作用力。

(3)根據(jù)C60分子所在區(qū)域，計(jì)算C60分子內(nèi)每個(gè)粒子與其所在碳納米管區(qū)域中的每個(gè)粒子的相互作用力(范德華力)。

(4)根據(jù)粒子所受到的力及其速度，更新粒子位置，再執(zhí)行步驟(2)和步驟(3)。

(5)根據(jù)粒子所受到的力，計(jì)算粒子本次速度及碳納米管前、后兩端熱浴的熱流值。

(6)若達(dá)到循環(huán)頻數(shù)，則計(jì)算結(jié)束;否則，在CPU端間隔保存粒子的數(shù)據(jù)，返回步驟(4)。

圖5 碳納米管分子動(dòng)力學(xué)并行仿真中的調(diào)度模式

圖6 碳納米管分子動(dòng)力學(xué)并行仿真算法的流程

4 GPU并行算法的優(yōu)化

Verlet仿真程序是一個(gè)計(jì)算力→計(jì)算位置→計(jì)算速度→計(jì)算力……的不斷循環(huán)過(guò)程，每個(gè)粒子獨(dú)立運(yùn)行一個(gè)線程，然后循環(huán)成千上萬(wàn)次甚至更多，因此小部分的程序優(yōu)化也會(huì)給整個(gè)程序帶來(lái)極大的性能提升。對(duì)于CUDA的程序而言，優(yōu)化主要集中在指令優(yōu)化、存儲(chǔ)器訪問(wèn)優(yōu)化、網(wǎng)格優(yōu)化以及資源均衡等。

4．1 指令優(yōu)化

目前，GPU單精度計(jì)算性能要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)雙精度計(jì)算性能，因此，程序中對(duì)精度要求不高的部分可使用單精度運(yùn)算代替雙精度運(yùn)算。在GPU中整數(shù)乘法、除法、求模運(yùn)算的指令吞吐量較為有限，而控制流指令由于會(huì)影響指令發(fā)射器的并行發(fā)射，打斷指令流開銷巨大。此時(shí)，在可知整數(shù)范圍中以經(jīng)優(yōu)化的庫(kù)24位整數(shù)運(yùn)算__mul24，__umul24代替32位整數(shù)運(yùn)算，以__sinf(x)，__fdivide(x，y)等代替相應(yīng)的運(yùn)算。盡量避免整數(shù)除和模運(yùn)算，或以(i＆(n－1))代替(i%n)，除數(shù)是2的冪次方時(shí)以移位運(yùn)算代替除法。

4．2 存儲(chǔ)器訪問(wèn)優(yōu)化

合理使用share memory資源，減少不必要的臨時(shí)變量，使用精簡(jiǎn)函數(shù)以減少register使用。同時(shí)，將程序中的常量以及計(jì)算中可合并常量保存于constant memory常量存儲(chǔ)器中。Global memory是顯存中容量最大的存儲(chǔ)器，可被任意GPU線程讀寫存儲(chǔ)器任意位置，但由于全局存儲(chǔ)器沒有緩存，具有較高的訪存延遲。因此，程序中在減少不必要全局存儲(chǔ)讀寫的同時(shí)，增加處理器占用率，即當(dāng)一個(gè)block訪存時(shí)，另一個(gè)block可切入運(yùn)算隱藏延遲。此外，改變顯存的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，盡量滿足合并訪問(wèn)存儲(chǔ)器。

4．3 CPU+GPU 處理

考慮到GPU并行處理要發(fā)揮其強(qiáng)大的并行計(jì)算能力，要有足夠多的線程并行運(yùn)算。因此，把部分較小計(jì)算量的計(jì)算交給CPU執(zhí)行。如計(jì)算C60與炭納米管間范德華力函數(shù)，由于C60只有60個(gè)粒子，相對(duì)來(lái)說(shuō)并行度小，將其計(jì)算放到CPU里。由于內(nèi)核的啟動(dòng)是異步的，因此把CPU函數(shù)放到內(nèi)核啟動(dòng)函數(shù)下面，CPU啟動(dòng)內(nèi)核執(zhí)行GPU運(yùn)算時(shí)可立即返回執(zhí)行CPU程序，實(shí)現(xiàn)CPU與GPU的并行處理。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文測(cè)試在 Widows 7平臺(tái)下進(jìn)行，GPU1和GPU2是2個(gè)不同型號(hào)的顯卡，每次實(shí)驗(yàn)只選取其中一塊顯卡。為準(zhǔn)備記錄運(yùn)行時(shí)間并方便CPU與GPU并行運(yùn)行，測(cè)試時(shí)間以CPU時(shí)間為記錄。部分硬件參數(shù)如表1所示。

表1 測(cè)試平臺(tái)部分硬件參數(shù)

分別使用CPU串行、GeForce GT 430顯卡和Quadro 2000顯卡按不同粒子數(shù)計(jì)算，測(cè)試三者耗時(shí)，如表2所示。

表2 串行并行程序運(yùn)行于不同硬件平臺(tái)時(shí)的數(shù)據(jù)

5．1 不同GPU間并行算法性能對(duì)比

為使數(shù)據(jù)形象化，將GPU1與GPU2數(shù)據(jù)繪制成條狀圖。由圖7可得，前期粒子數(shù)較少時(shí)，2種顯卡耗時(shí)相差不大，但隨著粒子數(shù)的增加，GeForce GT 430顯卡耗時(shí)增長(zhǎng)速度逐漸快于Quadro 2 000顯卡。而當(dāng)粒子數(shù)量增加到120 000個(gè)時(shí)，前者耗時(shí)幾乎是后者的2倍。

圖7 2種并行顯卡運(yùn)行程序耗時(shí)對(duì)比

由表1可知，Quadro 2 000有著2倍于GeForce GT 430的 CUDA Cores(即流處理器 stream processor)。結(jié)合GPU的線程運(yùn)行方式，當(dāng)GPU的處理單元增多，同時(shí)處于運(yùn)行狀態(tài)的線程也會(huì)相應(yīng)增加。因此，當(dāng)無(wú)其他硬件限制時(shí)，GPU并行計(jì)算的性能幾乎隨著GPU處理器的增加而線性增加，使用擁有更多處理器的GPU能給Verlet帶來(lái)更多的性能提升。

5．2 串并行算法性能對(duì)比

對(duì)比CPU串行程序與GPU并行程序的性能，計(jì)算不同粒子數(shù)下耗時(shí)，GPU使用Quadro 2000。

表格數(shù)據(jù)繪制成串并行程序執(zhí)行時(shí)間對(duì)比如圖8所示?？梢悦黠@看出，當(dāng)要計(jì)算的粒子數(shù)不斷增加時(shí)，并行程序相比于串行程序的加速比有一定程度的增加。粒子數(shù)量在1 000～4 000時(shí)，由于線程數(shù)據(jù)不足，不能很好地隱藏GPU程序加載時(shí)間、數(shù)據(jù)傳輸時(shí)間以及訪存時(shí)間。當(dāng)粒子數(shù)量不斷增加時(shí)，加速效果越來(lái)越好。

圖8 串并行程序執(zhí)行時(shí)間對(duì)比

5．3 并行算法性能分析

為分析并行算法的加速比，將表2中串并行程序運(yùn)算時(shí)間按公式:

計(jì)算，GPU使用Quadro 2000，并將結(jié)果繪制成GPU并行計(jì)算加速比，如圖9所示。

圖9 GPU并行計(jì)算加速比

可以看出，隨著粒子數(shù)的增加，GPU并行算法相比于串行算法的加速比也隨之增大。當(dāng)粒子數(shù)到達(dá)120 000個(gè)時(shí)，加速比達(dá)到1 400%，即14倍的加速效果。

為分析影響GPU并行程序性能因素，使用性能評(píng)估工具NVIDIA Visual Profiler對(duì)程序進(jìn)行分析。目標(biāo)程序計(jì)算600層12 000個(gè)粒子，每個(gè)block中有128個(gè)線程。首先分析各函數(shù)運(yùn)行時(shí)間占總運(yùn)算時(shí)間的比例。通過(guò)多次運(yùn)算求平均值，如圖10所示。

圖10 各個(gè)函數(shù)的比重

6 結(jié)束語(yǔ)

在對(duì)碳納米管分子動(dòng)力學(xué)進(jìn)行仿真時(shí)，原來(lái)的分子動(dòng)力學(xué)仿真算法有良好的效果，但因碳納米管系統(tǒng)粒子數(shù)的規(guī)模太大、計(jì)算量多、運(yùn)行時(shí)間長(zhǎng)，缺乏實(shí)用性。而由用Verlet算法實(shí)現(xiàn)的分子動(dòng)力學(xué)仿真算法具有易并行性，可以在具有強(qiáng)大圖像處理和浮點(diǎn)計(jì)算能力的GPU上并行處理，從而大大提高了碳納米管分子動(dòng)力學(xué)仿真算法的效率。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)小規(guī)模僅有120 000個(gè)粒子組成的碳納米管系統(tǒng)，在擁有192個(gè)流處理器的NVIDIA Quadro 2000顯卡上實(shí)現(xiàn)的GPU并行仿真算法，與在擁有4核8線程的Intel Xeon W3550上實(shí)現(xiàn)的基于CPU的串行仿真算法相比，其加速比即可達(dá)到十多倍，從而有效地解決了算法速度上的缺陷。

然而由于本次實(shí)驗(yàn)的硬件條件有限，所能計(jì)算的碳納米管系統(tǒng)規(guī)模有限，因此無(wú)法深度發(fā)掘CUDA的能力。而由實(shí)驗(yàn)結(jié)果所示，碳納米管系統(tǒng)的粒子數(shù)規(guī)模越大，GPU并行算法對(duì)于串行算法的加速比就越明顯。在實(shí)際運(yùn)用中，碳納米管系統(tǒng)的粒子數(shù)的規(guī)模都很大，超過(guò)千萬(wàn)乃至十億，可以預(yù)估該基于GPU的分子動(dòng)力學(xué)并行仿真算法，對(duì)碳納米管的研究會(huì)發(fā)揮至關(guān)重要的作用。

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