徐曉平

本書是一部以代數(shù)方法研究偏微分方程求解及其性質(zhì)的專著，作者介紹了大量求解偏微分方程精確解的代數(shù)技術(shù)，以及作者近年來(lái)發(fā)展的新技術(shù)。

偏微分方程是數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程領(lǐng)域中重要的基本工具。很多學(xué)科中最本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型本身就是偏微分方程（組），如電動(dòng)力學(xué)的基本規(guī)律由麥克斯韋（Maxwell）方程組來(lái)控制，激光束在克爾（Kerr）非線性介質(zhì)中傳播特性由非線性薛定諤方程（Schrdinger）來(lái)刻畫，而納維-斯托克斯（Navier-Stokes）方程是流體力學(xué)的基本方程。求解偏微方程大致有3種途徑：1.解析方法研究偏微分方程精確解的存在性和唯一性以及其他數(shù)學(xué)性質(zhì)；2.數(shù)值方法尋找偏微分方程的數(shù)值解；3.代數(shù)方法研究偏微分方程的對(duì)稱性、守恒律、精確解和完全可積性等。本書的方法歸屬于第3種途徑，介紹了近年來(lái)作者所發(fā)展的代數(shù)方法，求解偏微分方程的精確解，物理方程重點(diǎn)在于，諸如：量子多體系統(tǒng)的Calogero-Sutherland模型、麥克斯韋方程組、自由狄拉克（Dirac）方程、廣義聲方程、KdV方程、KP方程、超聲速氣流方程、短波方程、非線性聲學(xué)、地球引力勢(shì)預(yù)測(cè)方程、非線性薛定諤方程、光學(xué)耦合非線性薛定諤方程、表面波包絡(luò)的戴維-斯蒂瓦特森（Davey-Stewartson）方程、海洋動(dòng)態(tài)對(duì)流方程、地球物理學(xué)中的波辛內(nèi)斯克（Boussinesq）方程、納維-斯托克斯方程和經(jīng)典邊界層方程。

作者指出，從代數(shù)方法入手，雙曲型偏微分方程要比橢圓型方程更容易得到精確解，這是代數(shù)方法的優(yōu)點(diǎn)。對(duì)于線性偏微分方程，作者專注于尋找所有多項(xiàng)式型的解和初始值問(wèn)題的求解。而對(duì)于非線性偏微分方程，作者引進(jìn)了對(duì)稱變換方法，給出了含有多個(gè)參數(shù)的解，很大程度上簡(jiǎn)化了求解的過(guò)程。此外，作者還引進(jìn)了多種技術(shù)：梯度技術(shù)、矩陣微分算子、非線性項(xiàng)的穩(wěn)定范圍、移動(dòng)框架、對(duì)稱假設(shè)、對(duì)稱變換、線性化技術(shù)和特殊函數(shù)等。

全書分為兩大部分，共10章：第1部分 常微分方程：1.一階常微分方程；2.高階常微分方程；3.譜函數(shù)。第2部分 偏微分方程：4.一階/線性偏微分方程；5.非線性標(biāo)量偏微分方程；6.非線性薛定諤方程和戴維-斯蒂瓦特森方程；7.海洋動(dòng)態(tài)對(duì)流問(wèn)題；8.地球物理學(xué)中的波辛內(nèi)斯克方程；9.納維-斯托克斯方程；10.經(jīng)典的邊界層問(wèn)題。

本書內(nèi)容豐富，而且是自相容的，閱讀只需要最基本的微積分和線性代數(shù)知識(shí)。適合于數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域的讀者，也可以作為高年級(jí)本科生和研究生的教材。

陳濤，助教

（中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院）endprint