靳寶霞/廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院

線性代數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用實(shí)例

靳寶霞/廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院

線性代數(shù)理論有著悠久的歷史和豐富的內(nèi)容。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是電子計(jì)算機(jī)使用的日益普遍，作為重要的數(shù)學(xué)工具之一，線性代數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)深入到了自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)、管理等各個(gè)領(lǐng)域。但是對(duì)于剛接觸線性代數(shù)的大多數(shù)學(xué)生而言，仍然感到其理論比較枯燥，不知道學(xué)習(xí)線性代數(shù)到底能用到生活中的哪些地方，本文將舉出幾個(gè)其在實(shí)際生活中的例子來(lái)展示線性代數(shù)應(yīng)用的廣泛性，同時(shí)也能更好的加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

線性代數(shù)； 矩陣； 方程組

1 交通問(wèn)題

四個(gè)城市的單向航線圖如下

2 藥方配置問(wèn)題

問(wèn)題：某中藥廠用九種中草藥（A-I）根據(jù)不同的比例配制成了7中特效藥，各用量成份見(jiàn)表一（單位：克）

?

(1)某醫(yī)院要購(gòu)買(mǎi)這七種特效藥，但藥廠的第3號(hào)藥和第6號(hào)藥已經(jīng)賣(mài)完，請(qǐng)問(wèn)能否用其它特效藥配制出這兩種脫銷的藥品？

(2)現(xiàn)在醫(yī)院想用這7種草藥配制三種新的特效藥，表2給出了三種新的特效藥的成份，請(qǐng)問(wèn)能否配制？如何配制？

1號(hào)新藥2號(hào)新藥3號(hào)新藥A 40 162 88 B 62 141 67 C 14 27 8 D 44 102 51 E 53 60 7 F 50 155 80 G 71 118 38 H 41 68 21 I 14 52 30

解：（1）把每一種特效藥看成一個(gè)九維列向量，分析7個(gè)列向量構(gòu)成向量組的線性相關(guān)性。

若向量組線性無(wú)關(guān)，則無(wú)法配制脫銷的特效藥；

若向量組線性相關(guān)，并且能找到不含 u3,u6的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，則可以配制3號(hào)和6號(hào)藥品。

經(jīng)計(jì)算該向量組線性相關(guān)，一個(gè)最大無(wú)關(guān)組為u1,u2,u4,u5,u7且u3=u1+2u2，u6=3u2+u4+u5.所以可以配置處這兩種脫銷的藥品。

（2）三種新藥用v1,v2,v3表示，問(wèn)題化為v1,v2,v3能否由u1—u7線性表示，若能表示，則可配制；否則，不能配制。

經(jīng)計(jì)算可得：v1=u1+3u2+2u4，v2=3u1+4u2+2u4+u7，v3則不能被線性表示，所以無(wú)法配藥。

3 產(chǎn)品成本的計(jì)算

某廠生產(chǎn)三種成品，每件產(chǎn)品的成本及每季度生產(chǎn)件數(shù)已知。試提供該廠每季度在每種產(chǎn)品上的成本表。

解 將M和P相乘，得到的矩陣設(shè)為Q，Q的第一行第一列元素為Q(1,1)=0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870

不難看出，Q表示了夏季消耗的原材料總成本。

4 人口遷徙模型

設(shè)在一個(gè)大城市中的總?cè)丝谑枪潭ǖ?。人口的分布則因居民在市區(qū)和郊區(qū)之間遷徙而變化。每年有6％的市區(qū)居民搬到郊區(qū)去住，而有2％的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。假如開(kāi)始時(shí)有30％的居民住在市區(qū)，70％的居民住在郊區(qū)，問(wèn)10年后市區(qū)和郊區(qū)的居民人口比例是多少？30年、50年后又如何？

解 這個(gè)問(wèn)題可以用矩陣乘法來(lái)描述。把人口變量用市區(qū)和郊區(qū)兩個(gè)分量表示。

從初始到k年，此關(guān)系保持不變，因此上述算式可擴(kuò)展為

經(jīng)Mablab計(jì)算可得：

當(dāng)無(wú)限增加時(shí)間k，市區(qū)和郊區(qū)人口之比將趨向一組常數(shù)0.25/0.75。

5 化學(xué)方程的配平

試確定x1,x2,x3,x4，配平上面化學(xué)方程式。

解 使方程兩邊原子數(shù)相同稱為方程式的配平。則可得到下列方程

寫(xiě)成矩陣方程為

以上是幾個(gè)簡(jiǎn)單的能用線性代數(shù)的知識(shí)解決的案例，其中比較復(fù)雜的計(jì)算可用數(shù)學(xué)軟件Matlab來(lái)解決，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性代數(shù)的應(yīng)用會(huì)越來(lái)越多，越來(lái)越簡(jiǎn)單。

【1】線性代數(shù)∕段復(fù)建主編.— 北京：科學(xué)出版社，2010.

【2】線性代數(shù)的應(yīng)用 西安理工大學(xué)數(shù)學(xué)系.

【3】黃玉梅，彭濤.線性代數(shù)中矩陣的應(yīng)用典型案例 蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）

2014年廣西高等教育教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目《數(shù)學(xué)軟件在獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)類課程中的應(yīng)用研究與實(shí)踐》（項(xiàng)目編號(hào)：2014JGZ192）;2015年廣西科技大學(xué)鹿山學(xué)院轉(zhuǎn)型發(fā)展專項(xiàng)項(xiàng)目《公共數(shù)學(xué)課“教、學(xué)、評(píng)”的研究與實(shí)踐》（項(xiàng)目編號(hào)：2015ZXZD004）。