王卓健，虞健飛，王禮沅，沈安慰

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安710038；2.北京航空工程技術(shù)研究中心，北京100076）

國內(nèi)生存分析在可靠性數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用進(jìn)展*

王卓健1，虞健飛2，王禮沅2，沈安慰1

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安710038；2.北京航空工程技術(shù)研究中心，北京100076）

針對(duì)可靠性數(shù)據(jù)分析中遇到的小樣本、異總體、刪失和截尾問題，引入現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要分支——生存分析理論，分別從參數(shù)生存分析模型、非參數(shù)生存分析模型和半?yún)?shù)生存分析模型3個(gè)方面分析了國內(nèi)生存分析在可靠性數(shù)據(jù)分析中的研究現(xiàn)狀與應(yīng)用進(jìn)展。

生存分析，可靠性，刪失，截尾，異總體，小樣本

0 引言

可靠性數(shù)據(jù)分析是通過收集系統(tǒng)或單元產(chǎn)品在研制、試驗(yàn)、生產(chǎn)和使用中所產(chǎn)生的可靠性數(shù)據(jù)，并依據(jù)系統(tǒng)的功能或可靠性結(jié)構(gòu)，利用概率統(tǒng)計(jì)方法，給出系統(tǒng)各種可靠性數(shù)量指標(biāo)的定量估計(jì)［1］，方法論上屬于歸納的范疇。它作為描述、評(píng)價(jià)產(chǎn)品可靠性的理論方法，隨著可靠性應(yīng)用的逐步發(fā)展，已成為可靠性工程的重要組成部分和基礎(chǔ)性工作，在其產(chǎn)品的全壽命階段均顯示出其重要的價(jià)值和作用。

在目前的工程應(yīng)用中，可靠性數(shù)據(jù)分析中面臨著一些新的困難和挑戰(zhàn)。一是由于科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，航空部件的可靠性越來越高，在一定的時(shí)間區(qū)間內(nèi)故障信息樣本越來越少，導(dǎo)致了小樣本問題。二是由于可靠性工程中固有的“試驗(yàn)-分析-改進(jìn)（TAAF）”過程的存在，以及系統(tǒng)本身技術(shù)狀態(tài)變化迅速，可靠性數(shù)據(jù)收集來源雜亂，導(dǎo)致了異總體問題。三是在可靠性數(shù)據(jù)收集過程中，觀測對(duì)象進(jìn)入或退出觀察時(shí)間的差別，導(dǎo)致了刪失和截尾的問題。因此，可靠性數(shù)據(jù)分析應(yīng)打開思路，借鑒其他學(xué)科的經(jīng)驗(yàn)與學(xué)術(shù)成果勢在必行。

在醫(yī)學(xué)、生物學(xué)、保險(xiǎn)精算學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域，都存在對(duì)某給定事件發(fā)生時(shí)間進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測的問題。例如，疾病發(fā)生的時(shí)間，治療后疾病復(fù)發(fā)的時(shí)間，發(fā)行債券的違約時(shí)間，被保險(xiǎn)人的索賠時(shí)間等。而這些問題催生了一門新的學(xué)科，即生存分析。研究事件發(fā)生時(shí)間的規(guī)律就是生存分析這門新的學(xué)科所要解決的主要問題。狹義來講，生存分析就是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論和方法解決與特定事件發(fā)生時(shí)間相關(guān)問題的一門學(xué)科，而可靠性的定義在廣義上而言就是與時(shí)間相關(guān)的質(zhì)量，因此，從這個(gè)角度來說，可靠性數(shù)據(jù)分析正被包含在生存分析學(xué)科之中。正是基于這一認(rèn)識(shí)，國內(nèi)外對(duì)生存分析在可靠性中的應(yīng)用研究也日益繁榮，其中有代表性的國內(nèi)學(xué)者有：北京大學(xué)的陳家鼎教授與房祥忠教授，復(fù)旦大學(xué)的鄭祖康教授，華東師范大學(xué)的茆師松教授和湯銀才教授，西北工業(yè)大學(xué)的師義民教授，南京理工大學(xué)的韓玉啟教授，上海大學(xué)的葛廣平教授，上海師范大學(xué)的費(fèi)鶴良教授，中科院系統(tǒng)所的李國英研究員等。本文將集中在3個(gè)方向研究。

1 參數(shù)生存分析

參數(shù)生存分析在某些文獻(xiàn)有這種提法，但并無確切的定義。本文認(rèn)為參數(shù)生存分析與統(tǒng)計(jì)學(xué)中的參數(shù)分析相對(duì)應(yīng)，就對(duì)產(chǎn)品的壽命分布類型提前做出特定假設(shè)，通過參數(shù)模型的假設(shè)和樣本的結(jié)合做出一定的統(tǒng)計(jì)推斷，稱之為參數(shù)生存分析。在經(jīng)典的可靠性工程文獻(xiàn)中，介紹最多同時(shí)也較為成熟的就是參數(shù)法。某種意義上，可以說可靠性領(lǐng)域和生存分析等其他學(xué)科領(lǐng)域共同推動(dòng)了參數(shù)法的發(fā)展。

參數(shù)估計(jì)就是利用樣本構(gòu)造出適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量來估計(jì)總體參數(shù)。對(duì)于總體估計(jì)有兩種形式，一種是點(diǎn)估計(jì)，一種是區(qū)間估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)是由樣本求出未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值，區(qū)間估計(jì)則要由樣本給出參數(shù)值的一個(gè)估計(jì)范圍。

文獻(xiàn)［1］對(duì)指數(shù)分布情形下各種截尾形式（無替換定數(shù)（定時(shí)）截尾，有替換定數(shù)（定時(shí)）截尾，定時(shí)間隔測試，隨機(jī)截尾）的點(diǎn)估計(jì)（以極大似然方法為主）和區(qū)間估計(jì)分別做了詳細(xì)介紹。文獻(xiàn)［2］對(duì)威布爾分布、正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)也做了相應(yīng)介紹，其相應(yīng)的方法在具體的可靠性工程上應(yīng)用較為成熟。

極大似然法是計(jì)算點(diǎn)估計(jì)的重要方法，也是一種有統(tǒng)計(jì)特色的思想方法。目前研究的熱點(diǎn)主要集中在數(shù)據(jù)缺失機(jī)制下的極大似然估計(jì)。彭非和王偉在理論上討論了含有隨機(jī)右刪失數(shù)據(jù)且在刪失值遺漏的情況下，指數(shù)分布的極大似然函數(shù)［3］。北京大學(xué)的陳家鼎從理論上主要討論了似然函數(shù)與最大似然估計(jì)的存在性，（n，r，T）型方案與隨機(jī)右截尾下的極大似然估計(jì)，分組數(shù)據(jù)情形下的極大似然估計(jì)等理論問題［2］。程從華提出了基于循序-Ⅰ型刪失數(shù)據(jù)的極大似然估計(jì)的新方法（主要針對(duì)指數(shù)分布和威布爾分布），并通過數(shù)值模擬研究說明了其方法的有效性［4］。

在算法的研究上，Dempster等人1977年提出的在不完全數(shù)據(jù)情況下計(jì)算極大似然估計(jì)的迭代算法［5］，它可以很好地解決不完全數(shù)據(jù)情況下的統(tǒng)計(jì)分析問題。該算法強(qiáng)調(diào)迭代的兩個(gè)步驟，即E步（Expectation Step，期望步）和M步（Maximum likelihood Step，極大似然步），并且要求在E步和M步之間不斷迭代直到收斂為止，這種算法簡稱為EM算法。EM算法的優(yōu)勢在于它在一定的意義下可靠地收斂到局部最大，也就是說在一般條件下每次迭代都增加似然函數(shù)值，當(dāng)似然函數(shù)值有界時(shí)，迭代序列收斂到一個(gè)穩(wěn)定值的上確界。EM算法的缺點(diǎn)是當(dāng)缺失數(shù)據(jù)比例較大時(shí)，收斂比率極其緩慢［6］。EM算法經(jīng)過多年的發(fā)展，出現(xiàn)了較多的改進(jìn)算法，具體情況可參閱文獻(xiàn)［6］。北京強(qiáng)度環(huán)境研究所的李海波（2009）將參數(shù)的極大似然估計(jì)對(duì)火箭發(fā)動(dòng)機(jī)試車數(shù)據(jù)進(jìn)行了可靠性評(píng)估分析［7］，并取得了較好的結(jié)果。四川大學(xué)的吳耀國（2005）將EM算法用于隨機(jī)右刪失數(shù)據(jù)下指數(shù)分布、威布爾分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布的參數(shù)估計(jì)，并作了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)模擬［8］。安徽大學(xué)的官飛討論了在數(shù)據(jù)隨機(jī)刪失和數(shù)據(jù)分組與右刪失兩種情形下指數(shù)分布的參數(shù)估計(jì)問題，并用EM算法對(duì)參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)［9］。目前主要的問題是大量的研究主要集中在指數(shù)和威布爾分布，其他類型分布研究較少，其有效性也難以知曉。

極大似然估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是適用面廣，不足之處是有時(shí)似然函數(shù)比較復(fù)雜，求最大值點(diǎn)在技術(shù)上遇到了困難，有時(shí)連最大值點(diǎn)的存在性也難以判斷，另一方面，在小樣本情形下極大似然估計(jì)也不一定最優(yōu)。因此，在點(diǎn)方法的選用上還有線性估計(jì)和矩法，這方面的研究主要針對(duì)的是位置-刻度分布族?？紤]位置-刻度分布族的好處在于對(duì)定數(shù)截尾情形下的數(shù)據(jù)可用線性模型的知識(shí)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；對(duì)定時(shí)截尾情形下的數(shù)據(jù)可用矩法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)［1］。文獻(xiàn)［1］從理論上主要討論了定數(shù)截尾下的最好線性無偏估計(jì)（BLUE）與最好線性不變估計(jì)（BLLE），定時(shí)截尾的矩估計(jì)等。

參數(shù)的區(qū)間估計(jì)就是由樣本給出參數(shù)的估計(jì)范圍，并使未知參數(shù)在其中具有指定的概率。一般而言，常用的區(qū)間估計(jì)方法有樞軸量方法，假設(shè)檢驗(yàn)方法，樣本空間排序法等。目前大多數(shù)文獻(xiàn)集中在樞軸量方法和假設(shè)檢驗(yàn)方法。胡思貴討論了指數(shù)分布區(qū)間型刪失數(shù)據(jù)下的可靠度最優(yōu)置信下限的估計(jì)問題［10］。董巖討論了對(duì)數(shù)正態(tài)型元件貯備系統(tǒng)可靠性的置信下限問題，并在小樣本下通過數(shù)值比較研究了Fiducial置信下限和Bayes置信下限的覆蓋率性質(zhì)［11］。吳和成基于元件的定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，給出了單個(gè)貯備系統(tǒng)、兩貯備系統(tǒng)組成的串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性的置信下限［12］。盛驟考慮由3個(gè)獨(dú)立工作的成敗型元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)，利用隱蔽的系統(tǒng)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，用廣義似然比檢驗(yàn)求出元件可靠性的區(qū)間估計(jì)［13］。郭維長利用經(jīng)典的區(qū)間估計(jì)方法，計(jì)算了液體發(fā)動(dòng)機(jī)的熱試車壽命數(shù)據(jù)的可靠性置信下限，有一定的工程意義［14］。石春華對(duì)成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠性近似置信下限較為系統(tǒng)的介紹［15］。陳文華將Bootstrap估計(jì)方法引入到可靠性統(tǒng)計(jì)分析，提出了可靠性參數(shù)和特征量的Bootstrap區(qū)間估計(jì)方法，同時(shí)，通過對(duì)Bootstrap估計(jì)值進(jìn)行糾偏處理，解決了小樣本條件下Bootstrap區(qū)間估計(jì)的精度問題［16］。王智明在其博士論文中將模擬抽樣方法擴(kuò)充樣本容量，并將其應(yīng)用到機(jī)床可靠性區(qū)間估計(jì)上，有效減少了區(qū)間長度［17］。

2 非參數(shù)生存分析

在處理現(xiàn)場數(shù)據(jù)時(shí)，故障數(shù)據(jù)往往找不到一個(gè)合適的分布來模擬，此時(shí)使用非參數(shù)方法是比較有效的［3］。對(duì)刪失數(shù)據(jù)的處理，將生存分析理論中對(duì)于存在刪失數(shù)據(jù)的處理方法引入可靠性數(shù)據(jù)分析。為了估計(jì)航空產(chǎn)品的可靠度，常用的非參數(shù)估計(jì)方法主要分為三類。第一類是針對(duì)隨機(jī)右刪失數(shù)據(jù)下的點(diǎn)估計(jì)，這也是可靠性估計(jì)中最常見的類型，主要方法有平均秩次法、殘存比率法、Kaplan-Meier估計(jì)、Nelson-Aalen估計(jì)、Herd-Johnson估計(jì)等。第二類是針對(duì)同時(shí)存在左截尾與右刪失數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)其可靠度函數(shù)的估計(jì)方法主要有特恩伯估計(jì)、修正乘積限估計(jì)等。第三類主要是針對(duì)只知道產(chǎn)品在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)發(fā)生故障或者右刪失，不必知道準(zhǔn)確的故障時(shí)間或右刪失時(shí)刻，對(duì)其可靠度函數(shù)的估計(jì)方法主要是壽命表法。

平均秩次法主要是利用平均秩或中位秩公式計(jì)算經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。因?yàn)槠骄却畏ㄓ?jì)算的簡便性及適用于樣本量較小的情形，在工程實(shí)際中大量使用。于曉紅應(yīng)用平均秩次法對(duì)30臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的壽命數(shù)據(jù)計(jì)算了經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)，然后利用最小二乘法對(duì)威布爾分布進(jìn)行了參數(shù)估計(jì)［18］。方華元提出了一種平均秩次法的改進(jìn)方法，并應(yīng)用到了某導(dǎo)彈部件的可靠性評(píng)估中，但其有效性還需探討［19］。申桂香利用平均秩次法計(jì)算了數(shù)控機(jī)床的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)［20］。殘存比率法是以條件概率公式為基礎(chǔ)，適用于樣本量較大情況，在國內(nèi)應(yīng)用也較為廣泛。在文獻(xiàn)［1］中詳細(xì)地介紹此種方法并舉出實(shí)例。焦育潔應(yīng)用殘存比率法對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)主軸軸承的壽命評(píng)估［21］。乘積限估計(jì)要求數(shù)據(jù)全部的壽終數(shù)據(jù)和右刪失數(shù)據(jù)都是確切知道的，不能有區(qū)間型數(shù)據(jù)，可以估計(jì)可靠度函數(shù)，此方法在數(shù)學(xué)理論上已經(jīng)有大量的探討［22-24］。文昌俊把殘次比率法，乘積限估計(jì)，累積風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)法，平均秩次法逐一進(jìn)行了介紹［25］。

特恩伯方法對(duì)一組數(shù)據(jù)既包含壽終數(shù)據(jù)和右刪失數(shù)據(jù)，又包含有左刪失數(shù)據(jù)的可靠度函數(shù)給出了估計(jì)方法［2］。但是此種方法在可靠性工程上的應(yīng)用文獻(xiàn)國內(nèi)幾乎沒有。

3 半?yún)?shù)生存分析

在系統(tǒng)可靠性試驗(yàn)的許多場合，需要確定產(chǎn)品壽命與某些主要伴隨變量之間的關(guān)系?？疾爝@種關(guān)系的方法之一就是建立回歸模型，在回歸中使產(chǎn)品的壽命分布依賴于某些伴隨變量，該方法稱為半?yún)?shù)生存分析。半?yún)?shù)法與非參數(shù)法相比，有較強(qiáng)的實(shí)際背景。同時(shí)和參數(shù)法相比，有較強(qiáng)的穩(wěn)健性。

比例危險(xiǎn)率模型（Cox模型）是一類非常重要的廣義半?yún)⒛Ｐ?，在可靠性分析領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用。Cox于20世紀(jì)70年代提出這個(gè)估計(jì)，認(rèn)為該模型包含有大部分協(xié)變量參數(shù)β的信息，對(duì)他的估計(jì)量的合理性進(jìn)行了辯解，但沒有給出具體證明，因此，很多人對(duì)此持懷疑態(tài)度。后來經(jīng)過一些統(tǒng)計(jì)學(xué)家的深入研究，并證明得出，在一些限制條件下，Cox估計(jì)具有相合性，即樣本量充分大時(shí)，估計(jì)值與真值相差可任意小。文獻(xiàn)［3］用兩章的內(nèi)容介紹了比例危險(xiǎn)模型，討論了回歸分析要解決的典型問題，即從總體上對(duì)β的推斷，然后對(duì)其改進(jìn)模型——分層比例危險(xiǎn)模型進(jìn)行詳細(xì)的介紹，并舉例說明該模型的應(yīng)用。文獻(xiàn)［1］也用了大量的篇幅進(jìn)行分組數(shù)據(jù)與非分組數(shù)據(jù)下的詳細(xì)推導(dǎo)。文獻(xiàn)［27］基于逐步增加Ⅱ型截尾樣本，分別在均方損失和Linex損失下，利用ML–II方法研究了比例危險(xiǎn)率模型的參數(shù)和可靠性指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)問題。

加法危險(xiǎn)回歸模型是半?yún)?shù)生存分析中另一種類型。與比例危險(xiǎn)模型不同，加法危險(xiǎn)模型主要是假設(shè)這種半?yún)?shù)協(xié)變量以線性組合的方式對(duì)維修類產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)［3］在該模型下討論了協(xié)變量參數(shù)不隨時(shí)間變化情況下的參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)問題，并給出了基于該模型的生存函數(shù)估計(jì)表達(dá)式。對(duì)于該方法的研究目前在國內(nèi)可靠性領(lǐng)域的應(yīng)用不多。

半?yún)?shù)模型中的貝葉斯生存分析模型近年來在國內(nèi)研究較多。在以往研究中所構(gòu)建的貝葉斯參數(shù)回歸模型大都依賴于對(duì)模型參數(shù)先驗(yàn)信息的認(rèn)知（包括產(chǎn)品壽命分布形式及其參數(shù)的先驗(yàn)，以及回歸系數(shù)的先驗(yàn)）；然而，當(dāng)先驗(yàn)信息不足時(shí)，貝葉斯參數(shù)回歸模型估計(jì)的穩(wěn)健性欠佳。利用半?yún)?shù)先驗(yàn)方法進(jìn)行建模分析時(shí)，僅需對(duì)模型作較少的前提假設(shè)，因此，向來為貝葉斯學(xué)者所關(guān)注。文獻(xiàn)［28］利用半?yún)?shù)貝葉斯生存分析方法進(jìn)行建模分析，僅需對(duì)模型作較少的前提假設(shè)，使得在先驗(yàn)信息不足的情況下更準(zhǔn)確地評(píng)估出回歸模型中伴隨變量對(duì)系統(tǒng)壽命分布的影響。

其他方面的研究還有：文獻(xiàn)［29］首先把擬似然估計(jì)方法引入到半?yún)?shù)模型的估計(jì)中來，研究了線性半?yún)?shù)模型和非線性半?yún)?shù)模型的參數(shù)估計(jì)。文獻(xiàn)［2］還對(duì)半?yún)?shù)生存分析中的位置刻度模型分別進(jìn)行分布參數(shù)已知和分布參數(shù)未知時(shí)的詳細(xì)推導(dǎo)。

4 總結(jié)

目前，在評(píng)估可靠性現(xiàn)場數(shù)據(jù)的工程實(shí)際應(yīng)用中，小樣本、隨機(jī)刪失、異總體等問題不斷出現(xiàn)，引入統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要分支——生存分析理論來解決可靠性評(píng)估的實(shí)際問題是目前的研究熱點(diǎn)。參數(shù)生存分析是生存分析學(xué)科中最古老也是最經(jīng)典的分析方法，目前，統(tǒng)計(jì)學(xué)者與可靠性專家還在非參數(shù)與半?yún)?shù)生存分析理論等方面進(jìn)行不斷地探索。本文在研究前人工作的基礎(chǔ)上，介紹了近年來可靠性與生存分析領(lǐng)域的最新研究進(jìn)展情況，希望能夠?yàn)樯娣治隼碚撛诳煽啃栽u(píng)估領(lǐng)域有更深入廣泛的應(yīng)用。

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Domestic Application Progress of Survival Analysis in Reliability Data Analysis Region

WANG Zhuo-jian1，YU Jian-fei2，WANG Li-yuan2，SHEN An-wei1
（1.Aeronautics Engineering College，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China；
2.Beijing Research Center of Aeronautic Engineering Technology，Beijing 100076，China）

In terms of the problem of small samples，diverse population，censoring and truncation issues for reliability data analysis，the theory of survival analysis is been introduced which using the parametric survival analysis model，non-parametric survival analysis model and semi-parametric survival analysis model.The theory of survival analysis analyses the domestic research status and the application progress of survival analysis in reliability data analysis region.

survival analysis，reliability，censoring，truncation，diverse population，small sample

V37

A

1002-0640（2015）01-0001-04

2013-11-05

2014-01-07

國家部委基金（513270303）；陜西省軟科學(xué)技術(shù)資助項(xiàng)目（2011KRM122）

王卓?。?974-），男，湖北公安人，副教授。研究方向：飛行器發(fā)展論證與RMS工程。