潘 茜，張育平，陳海燕

(南京航空航天大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210016)

模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評價方法*

潘 茜，張育平，陳海燕

(南京航空航天大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210016)

針對模糊非確定現(xiàn)象的評價問題，提出了模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評價方法。模糊數(shù)學(xué)評價法和中介真值理論的方法都是從量的角度研究和處理模糊現(xiàn)象。但是，模糊數(shù)學(xué)評價法注重應(yīng)用而缺乏系統(tǒng)理論的支持，其模糊合成算子在多因素情況下很難確定，且度量值域局限于[0,1]；中介真值理論的評價方法在處理因素較多且權(quán)重難以細(xì)分的情況時，也具有一定的局限性。因此，將模糊數(shù)學(xué)與中介真值相結(jié)合，將模糊數(shù)學(xué)的評價方法運用到二級指標(biāo)的評定，將中介真值理論的評價方法運用到一級指標(biāo)的綜合評定，由此確定最佳選擇方案。最后，將該方法運用于軟件質(zhì)量評估，并分別與模糊數(shù)學(xué)評價法和中介真值理論的評價方法相比較，結(jié)果表明該方法是可行的、合理的，并具有一定優(yōu)勢。

模糊數(shù)學(xué);中介真值理論;度量值域;指標(biāo)體系;質(zhì)量度量

1 引言

所謂評價，即價值的確定，是通過對照某些標(biāo)準(zhǔn)來判斷測量結(jié)果，并賦予一定價值。早期的評價方法有總分評定法、排隊計分法、綜合指數(shù)法等。這些方法簡單，但原始數(shù)據(jù)遺失較大，評價結(jié)果也不夠全面,因此涌現(xiàn)出很多評價方法，例如：層次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)[1]、逼近理想解排序法[2]、模糊評價法[3]、多元統(tǒng)計分析法[4]、灰色關(guān)聯(lián)分析法[5]、遺傳算法[6]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7]等，以及這些方法的改進算法。但實際生活中，很多客觀事物都呈現(xiàn)出“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象，模糊現(xiàn)象是普遍而客觀存在的，因此需要一種基于邏輯的、相對合理的、有效解決模糊現(xiàn)象的方法。

1965年美國自動控制專家查德(Zadeh L A)教授提出了模糊數(shù)學(xué)評價法，它是在模糊環(huán)境下，考慮多種因素的影響，為了某種目的對評價對象做出綜合決策的方法[8]。它根據(jù)隸屬度理論將定量與定性相結(jié)合，能較好地解決模糊的、難以量化的問題。模糊數(shù)學(xué)已在水質(zhì)勘測、環(huán)境度量、軟件度量等領(lǐng)域得到應(yīng)用[9～11]，但它完全是從應(yīng)用的角度出發(fā)，缺乏系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論的支持，仍存在一些不足：(1)在因素較多，既要突出某個主要因素，又要兼顧其他因素時，模糊合成因子很難確定；(2)度量值域局限于[0,1]。

20世紀(jì)80年代，朱梧檟教授和肖奚安教授[12]提出了中介原則，中介真值理論由此誕生。中介真值理論的方法是以中介數(shù)學(xué)系統(tǒng)[13]為背景，通過描述數(shù)值區(qū)域與其對應(yīng)謂詞的關(guān)系進行數(shù)值度量的方法[14]。它的誕生，從理論上對模糊數(shù)學(xué)評價法進行了擴充。它不僅提出了介于好與壞之間的“中介”狀態(tài)，而且提出了“更好”與“更壞”的超態(tài)概念。超態(tài)概念的引入，理論上使度量值域從模糊數(shù)學(xué)的[0,1]擴展為(-∞,+∞)。這將促使人們更加方便地與計算機進行對話，現(xiàn)已在很多領(lǐng)域得到運用[15～17]。但是，在因素較多的情況下，如果將其分層，那么二級指標(biāo)采用中介真值理論的計算結(jié)果不僅偏小，甚至含有大量0、1和負(fù)值的情況，不利于一級指標(biāo)的評定，而層次越多結(jié)果也越不準(zhǔn)確。

因此，本文從理論與應(yīng)用的雙層角度出發(fā)，將模糊數(shù)學(xué)評價法和中介真值理論的評價方法相結(jié)合，根據(jù)因素集中各指標(biāo)的關(guān)系進行分層，利用模糊數(shù)學(xué)評價法在單因素評價上的優(yōu)勢，將其運用于二級指標(biāo)的評定，并將中介真值理論的評價方法運用于最終的一級指標(biāo)評定。本文旨在為模糊非確定現(xiàn)象的處理提供一種基于邏輯的、能夠被計算機理解的評價方法，為今后更深層次的研究打下基礎(chǔ)。

2 模糊數(shù)學(xué)和中介真值理論相結(jié)合的評價方法

利用模糊數(shù)學(xué)與中介真值理論相結(jié)合的評價方法對指標(biāo)體系進行評價，首先需要根據(jù)指標(biāo)集中各因素的關(guān)系進行分類，用以解決因素過多、權(quán)重難以劃分的問題。再將模糊數(shù)學(xué)評價方法用于二級指標(biāo)的評定，中介真值理論的評價方法用于一級指標(biāo)的綜合評定。最終確定最佳選擇方案。

2.1 中介真值理論相關(guān)定義

中介真值理論的評價法最突出的一點，就是比模糊數(shù)學(xué)評價法具有更系統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論的支持，以下是中介真值理論的部分定義：

在中介數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，記P為一個謂詞，x為一變量，P(x)表示x完全具有性質(zhì)P。符號“╕”表示 “對立于”，則╕P表示P的反對對立面。符號“～”稱為模糊否定詞，解釋為“部分”。符號“+”表示“更”，因此+P表示比P更P。文獻(xiàn)[14]給出了如下定義：

定義1若給定非空對象集合x，稱映射F:X→Rn是對象集合X的數(shù)值化映射。

定義2對于x∈X,子集T?Rn和F?Rn分別滿足:f(x)∈T?P(x)及f(x)∈F?╕P(x),就稱T和F分別是謂詞P的“真數(shù)值區(qū)域”和“假數(shù)值區(qū)域”。

定義3f是非空對象集合X的一維數(shù)值化映射，即f:X→R。與謂詞P的真值對應(yīng)的數(shù)值區(qū)域是閉區(qū)間[α-ε,α+ε]，則稱α為P的ε標(biāo)準(zhǔn)度。數(shù)值區(qū)域與謂詞的對應(yīng)關(guān)系如圖1所示。

Figure 1 Corresponding relationship between numerical area and predicate

從圖1中可以直觀地看出，度量域從 [0,1]擴展為(-∞,+∞)。

定義4相對于P的距離比值函數(shù)hT:f(X)→R，當(dāng)取y=f(x)∈f(X)時，

(1)

hT(y)越大，y相對于P的真值程度越大，y相對于╕P的真值程度就越小。

定義5f:X→Rn是對象集合X的n維數(shù)值化映射。當(dāng)取yi=(f1(xi),f2(xi),…,fn(xi))=(yi1,yi2,…,yin)∈f(X)時，有：

對應(yīng)P的距離比例和函數(shù)：

hnT-S(yi)=∑(hT(yik))

(2)

對應(yīng)P的距離比例平均函數(shù)：

(3)

2.2 單因素模糊評價步驟

對單因素進行評價，主要利用模糊數(shù)學(xué)評價法，其步驟如下：

(1)對于任一對象，將其待評價的因素記為u1,u2,…,um，即評價集為U={u1,u2,…,um}，如軟件質(zhì)量評價U={功能性，可靠性，易用性}；

(2)給出評價等級集合V={v1,v2,…,vn}，如V={優(yōu)，中等，差}；

(3)確定評價指標(biāo)的權(quán)重W=(w1,w2,…,wm)，且∑wi=1；

(4)通過專家打分或問卷調(diào)查等形式確定m*n的評價矩陣R，即:

(5)通過評價矩陣R和權(quán)重系數(shù)矩陣W得到模糊評判集S，即:

而°即為模糊合成算子。

模糊合成算子有四種形式：

①M(∧,∨)算子：

Sk=∨(wj∧rjk)=max{min(wj,rjk)}

(4)

②M(·,∨)算子：

Sk=∨(wj·rjk)=max{wj,rjk}

(5)

③M(∧,⊕)算子：

Sk=min{1,∑ min(wj,rjk)}

(6)

④M(·,⊕)算子：

Sk=min{1,∑wj,rjk}

(7)

其中,M(∧,∨)算子和M(·,∨)算子比較能突出評價中起主要作用的因素，在確定W時其分量之和不一定為1；M(∧,⊕)算子和M(·,⊕)算子能夠兼顧各因素的作用，W分量之和一定為1。

2.3 多因素的評定步驟

根據(jù)因素集中各指標(biāo)的關(guān)系進行分類，每類有k個指標(biāo)，則第二級評價因素集為Ui={ui1,ui2,…,uik}，相應(yīng)權(quán)重矩陣為wi=(wi1,wi2,…,wik)，相應(yīng)單因素評判矩陣為:

(1)根據(jù)2.2節(jié)的單因素評定步驟得到模糊評判矩陣A，即：

(8)

(2)采用中介真值理論的評價方法，記謂詞P(x)表示對應(yīng)程度，即對象質(zhì)量為優(yōu)，則╕P(x)表示對象質(zhì)量差，～P(x)表示對象質(zhì)量中等，+P(x)表示對象質(zhì)量特優(yōu)，╕+P(x)表示對象質(zhì)量特差；

(3)建立P與╕P之間的標(biāo)準(zhǔn)度αF和αT，其中αF為每列最小值，αT為每列最大值，εF=εT為每列的最小距離值，并計算出αF-εF,αF+εF,αT-εT,αT+εT；

(4)根據(jù)定義4中的公式，計算出距離比例函數(shù)h(aij)，得到另一個m*n階矩陣B，即：

(5)根據(jù)定義5中的公式，分別計算出距離比例和函數(shù)和距離比例平均函數(shù)hnT-S(yi)和hnT-M(yi)，并比較大小，確定最佳選擇方案。

3 實驗證明及分析

將模糊數(shù)學(xué)和中介真值理論相結(jié)合的評價方法用于軟件質(zhì)量評價中，并分別與模糊數(shù)學(xué)評價法和中介真值理論的評價方法相比較，以證明該方法的可行性和有效性。本文所用實驗數(shù)據(jù)皆來自文獻(xiàn)[18]。

本文以文獻(xiàn)[18]中的遞階層次分析結(jié)構(gòu)模型為例，包含6個一級指標(biāo)和24個二級指標(biāo)，如圖2所示。

Figure 2 Hierarchic analysis structure model of the software quality metric

采用文獻(xiàn)[12]中給出的權(quán)重值，其主要采用了專家排序法，所得過程我們不做過多贅述，引用目的在于驗證本文所提方法的可行性。

一級指標(biāo)權(quán)重為：

W=(w1,w2,w3,w4,w5,w6)=(0.27，0.22，0.15，0.13，0.17，0.06)

二級指標(biāo)權(quán)重為：

w1=(0.27,0.35,0.16,0.22)；w2=(0.40,0.27,0.19,0.14)；w3=(0.28,0.31,0.23,0.18)；w4=(0.31,0.33,0.12,0.24)；w5=(0.22,0.26,0.43,0.09)；w6=(0.29,0.45,0.07,0.19)

實驗數(shù)據(jù)：引用文獻(xiàn)[12]中實例分析中的數(shù)據(jù)可知，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四種軟件質(zhì)量的解決方案，需對這四種方案進行綜合度量，并為企業(yè)推薦一種最優(yōu)的解決方案。該企業(yè)聘請了領(lǐng)域?qū)＜覍Ω黜椂壷笜?biāo)進行打分，并對結(jié)果進行規(guī)范化處理，所得結(jié)果如表1所示。

(1)采用2.2節(jié)中單因素模糊評價步驟分別對二級指標(biāo)進行評定：由于需要兼顧每個因素的作用，所以選擇M(·，⊕)算子，根據(jù)式(7)和式(8)計算得一級指標(biāo)評價結(jié)果，如表2所示。

(2)利用2.3節(jié)中中介真值理論的評價方法對表2中的結(jié)果進行計算，根據(jù)定義5中式(1)～式(3)，分別計算得到距離比例函數(shù)h(aij)、距離比例和函數(shù)hnT-S(yi)、距離比例平均函數(shù)hnT-M(yi)，如表3所示。從距離比例和函數(shù)和距離比例平均函數(shù)值可以看出，就優(yōu)越性而言，丙方案優(yōu)于其他三種方案，乙方案為備選方案。

(3)用模糊數(shù)學(xué)評價法和中介真值理論的評價方法分別對其進行計算，并比較結(jié)果。

①采用模糊數(shù)學(xué)評價法，對二級指標(biāo)評價結(jié)果不變，但是模糊合成算子的選擇會對結(jié)果產(chǎn)生很大影響，分別采用四個算子，根據(jù)式(4)～式(7)對一

Table 1 Software quality evaluation results of the second level index表1 軟件質(zhì)量二級指標(biāo)評價結(jié)果

Table 2 Software quality evaluation results of the first level index表2 軟件質(zhì)量一級指標(biāo)評價結(jié)果

Table 3 Distance ratio function value,sum distance ratio function value and average distance ratio function value表3 距離比例函數(shù)值、距離比例和函數(shù)值和距離比例平均函數(shù)值

級指標(biāo)進行評價，所得結(jié)果如表4所示。

Table 4 Evaluation results of the four fuzzy synthesis operators表4 四個模糊合成算子評價結(jié)果

由表4可以看出，M(∧,∨)和M(∧,⊕)所得結(jié)果根本無法起到評價作用，那是因為權(quán)重值的大小和各指標(biāo)的分值大小之間存在很大差距；M(·,∨)和M(·,⊕)中，如果只根據(jù)最大隸屬度原則進行選擇，只考慮了隸屬度最大的點，其他點都沒有考慮，信息損失大。由此可見，模糊數(shù)學(xué)評價法在模糊合成算子和評價原則選擇上都存在一定問題，一旦選擇不當(dāng)，就會對評價結(jié)果產(chǎn)生重大影響。

②采用中介真值理論的評價方法，對二級指標(biāo)評價過程過于繁瑣，所得結(jié)果也非常小，含有很多0、1值，甚至在一些情況下會含有負(fù)值，如功能性U1的二級指標(biāo)評價結(jié)果：

Bi中含有大量的0和1，對其進行一級指標(biāo)評定所得結(jié)果具有很大爭議性，尤其是結(jié)果中出現(xiàn)負(fù)值的時候，評價結(jié)果無法使人信服。一旦我們采用三級、四級的分層方式時，這樣的現(xiàn)象將更為明顯，例如我們將上式B1采用中介真值理論的評價方法進行若干次計算，結(jié)果如下：

B12=…=B1n

從以上結(jié)果可以看出，以后的計算結(jié)果與第一次所得結(jié)果完全相同，失去了分層的意義。

從以上三者的比較中可以看出，模糊數(shù)學(xué)和中介真值理論相結(jié)合的評價方法是最為合理有效的，既排除了模糊數(shù)學(xué)評價方法中模糊合成算子的影響，又使得在使用中介真值理論的評價方法時，不受0、1及負(fù)數(shù)的制約，所以最終評定丙方案為最佳方案，乙方案為備選方案。

4 結(jié)束語

本文通過對以往各種評價方法的學(xué)習(xí)和比較，從理論和實際應(yīng)用相結(jié)合的角度出發(fā)，設(shè)計出了一種新的、基于邏輯的評價方法。該方法將模糊數(shù)學(xué)評價法與中介真值理論的評價方法相結(jié)合，利用模糊數(shù)學(xué)在處理單因素問題上的優(yōu)勢，將其用于二級指標(biāo)的評定；利用中介真值理論評價法在度量域上的優(yōu)勢，以及其強有力的數(shù)學(xué)理論支持，將其運用于一級指標(biāo)的綜合評定。最后將該方法用于軟件質(zhì)量評價中，以綜合考慮多方因素為實質(zhì)，分別與模糊數(shù)學(xué)評價法和中介真值理論的評價方法相比較，計算結(jié)果準(zhǔn)確，計算過程簡單，便于計算機理解，更利于實際項目中指標(biāo)的評價。

[1] Liu Chih-ming,Hsu Hen-shen,Wang Shen-tsu,et al.A performance evaluation model based on AHP and DEA[J].Journal of the Chinese Institute of Industrial Engineers,2005,22(3):243-251．

[2] Zhang Yi,Qiu Hai-li,Zhu Jiang. Improved TOPSIS on supplier evaluation and preference[J]. Journal of Henan University of Science and Technology(Natural Science),2013,34(3):100-104.(in Chinese)

[3] Sunday D M.A very fast substring search algorithm[J].Communications of the ACM,1990,33(3):132-142．

[4] Sheikh H R,Sabir M F,Bovik A C.A statistical evaluation of recent full reference image quality assessment algorithms[J].IEEE Transactions on Image Processing,2006,15( 11):3440-3451．

[5] Charras C,Lecroq T. Handbook of exact string-matching algorithms[M]. London:King’s Colledge London Publications,2004．

[6] Jin Ju-liang,Cheng Jian,Zhang You-fu.The fuzzy comprehensive evaluation model based on acceleration parallel genetic algorithm[J].Water Resources and Power,2005,23(6):1-4.(in Chinese)

[7] Guo Chen,Parsa V. Nonintrusive speech quality evaluation using an adaptive neuro fuzzy inference system[J].IEEE Signal Processing Letters,2005,12(5):403-406．

[8] Li Xi-can,Wang Jing,Shao Xiao-mei.Progress in the application of fuzzy mathematical method in the evaluation of land resources in Chinese[J].Progress in Geography,2009,28(3):409-416.(in Chinese)

[9] Wei Lin,Huang Feng,Li Lin.Discussion and application of the modified multilevel fuzzy comprehensive evaluation method for surface water[J]. Environmental Protection Science,2013,39(4):136-141.(in Chinese)

[10] Ding Kuang-ping,Chen Bing-hong.Application of fuzzy mathematics in environment quality evaluation[J].Journal of Zhejiang Education Institute,2002,3(3):58-62.(in Chinese)

[11] Zhu Hua-qing,Ye Jun-yao,Zou Zheng.Research on estimation of measurement of software test in fuzzy math[J]. Computer and Modernization,2007,5(3):17-19. (in Chinese)

[12] Zhang De-zhi.Application research on function of medium truth scale [D].Nanjing:Nanjing University of Technology,2008.(in Chinese)

[13] Xiao Xi-an,Zhu Wu-jia.Propositional calculus system of medium logic(I) [J].Journal Nature,1985,4(8):315-316.(in Chinese)

[14] Hong Long,Xiao Xi-an,Zhu Wu-jia.Measure of medium truth scale and its application (I) [J].Chinese Journal of Computer,2006,29(12):2186-2193.(in Chinese)

[15] Rong Zhou.Weighted data fusion in wireless sensor networks based on medium theory [J]. Journal of Electronic Measurement and Instrument,2010,24(8):705-712.(in Chinese)

[16] Du Bo,Shen Ling,Wang Liang. Fuzzy comprehensive evaluation of construction quality based on analytic hierarchy process and measure of medium truth scale [J]. Mathematics in Practice and Theory,2011,41(15):66-74. (in Chinese)

[17] Li Ai-qun, Zhang Lian-jie. Grade evaluation algorithm scheme based on medium truth scale [J]. Computer Tech-

nology and Development,2010,20(7):164-167.(in Chinese)

[18] Du Jin-huan,Jin Lu-lu. Research on process and model of software quality metrics [J].Computer Technology and Development,2014,24(4):38-40.(in Chinese)

附中文參考文獻(xiàn)：

[2] 張毅,丘海禮,朱江.改進逼近理想解排序法的供應(yīng)商評價和優(yōu)選[J].河南科技大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013,34(3):100-104.

[6] 金菊良,程健,張有福.基于加速并行遺傳算法的模糊綜合評價模型[J].水電能源學(xué),2005,23(6):1-4.

[8] 李希燦,王靜,邵曉梅.模糊數(shù)學(xué)方法在中國土地資源評價中的應(yīng)用進展[J].地理科學(xué)進展,2009,28(3):409-416.

[9] 魏琳,黃豐,李琳.地表水多級模糊數(shù)學(xué)評價法修正應(yīng)用探討[J].環(huán)境保護科學(xué),2013,39(4):136-141.

[10] 丁匡平,陳兵紅.模糊數(shù)學(xué)在環(huán)境質(zhì)量評價中的應(yīng)用[J].浙江教育學(xué)院學(xué)報，2002,3(3):58-62.

[11] 朱華清,葉君耀,鄒正.軟件測試度量的模糊數(shù)學(xué)評價方法研究[J].計算機與現(xiàn)代化,2007,5(3):17-19.

[12] 張德志.中介真值度量函數(shù)應(yīng)用研究[D].南京:南京工業(yè)大學(xué),2008.

[13] 肖奚安,朱梧槚.中介邏輯的命題演算系統(tǒng)(Ⅰ)[J].自然雜志,1985,4(8):315-316.

[14] 洪龍,肖溪安,朱梧槚.中介真值程度的度量及其應(yīng)用(Ⅰ)[J].計算機學(xué)報,2006,29(12):2186-2193.

[15] 戎舟.基于中介理論的無線傳感器網(wǎng)絡(luò)加權(quán)數(shù)據(jù)融合[J].電子測量與儀器學(xué)報,2010,24(8):705-712.

[16] 杜博,申玲,王亮.基于層次分析和中介真值度量的工程質(zhì)量模糊綜合評判[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2011,41(15):66-74.

[17] 李愛群,張廉潔.基于中介真值程度的成績評價算法[J].計算機技術(shù)與發(fā)展,2010,20(7):164-167.

[18] 杜金環(huán),金璐璐.軟件質(zhì)量度量過程及模型研究[J].計算機技術(shù)與發(fā)展，2014,24(4):38-40.

潘茜(1990-),女,江蘇南京人，碩士生，研究方向為軟件工程。E-mail:420617478@qq.com

PAN Qian,born in 1990,MS candidate,her research interest includes software engineering.

A new valuation method based on fuzzy mathematics and medium truth theory

PAN Qian,ZHANG Yu-ping,CHEN Hai-yan

(School of Computer Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China)

Aiming at the evaluation of fuzzy and non-deterministic phenomenon, we propose an evaluation method based on fuzzy mathematics and the medium truth theory. Both the fuzzy mathematics method and the medium truth theory method study and deal with the fuzzy phenomenon from the angle of quantity. But fuzzy synthetic operator of the fuzzy mathematics method is difficult to determine when there are multiple factors, and the measurement range limit in [0,1]. The medium truth theory method also has some limitations in dealing with the situation of multiple factors when evaluate the secondary indicators. Therefore, we combine the fuzzy mathematics method and the medium truth theory method: using the former to evaluate the secondary indicators, and the latter for the first indicators, thus the best option is obtained. Finally, we apply the proposed method to software quality evaluation and compare its results with those of the fuzzy mathematics method and the medium truth theory method, Test results show that our method is feasible and reasonable, and has certain advantages.

fuzzy mathematics;medium truth theory;measurement range;indicator system;quality measures

1007-130X(2015)09-1676-06

2014-09-16;

2015-01-16基金項目：國家973計劃資助項目(2014CB744900);南京航空航天大學(xué)研究生創(chuàng)新基地開放基金資助項目(kfjj201460)

TP311.5

A

10.3969/j.issn.1007-130X.2015.09.013

通信地址：210016 江蘇省南京市秦淮區(qū)御道街29號南京航空航天大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院

Address:School of Computer Science and Technology,Nanjing University of Aeronautics & Astronautics,29 Yudao St,Qinhuai District,Nanjing 210016,Jiangsu,P.R.China