張 帥，滕克難，肖 飛，孫 媛

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺 264001）

基于Vari-Metric的艦載機可修復(fù)件庫存配置模型*

張 帥，滕克難，肖 飛，孫 媛

（海軍航空工程學(xué)院，山東 煙臺 264001）

針對艦載機可修復(fù)備件配置問題，提出了基于Vari-Metric的多等級、多層級庫存優(yōu)化配置模型。首先，對艦載機保障過程進行分析；其次，進行可修復(fù)備件配置優(yōu)化分析，根據(jù)艦載機保障特點，給出了備件短缺數(shù)、備件需求率和備件供應(yīng)渠道模型；然后，給出基于邊際優(yōu)化算法的配置優(yōu)化模型；最后，進行了實例分析，證明了模型的有效性，能夠為保障人員備件配置優(yōu)化提供一定的決策依據(jù)。

可修復(fù)件，Vari-Metric模型，艦載機，期望短缺數(shù)，優(yōu)化配置，邊際分析

0 引言

可修復(fù)備件是故障或損壞后，采用經(jīng)濟可行的技術(shù)手段修理，能恢復(fù)其原有功能的備件［1］，主要指供修理周轉(zhuǎn)的外場可更換件（LRU）和內(nèi)場可更換件（SRU）［2］。艦載機上可修復(fù)備件數(shù)量較大且占據(jù)了絕大部分的備件保障經(jīng)費，可修復(fù)備件大多直接關(guān)系到艦載機的可用度，實踐證明，貴重件的修復(fù)，不僅可以節(jié)約維修資源和費用，而且對提高裝備可用性有著重要的作用［3-4］?？尚迯?fù)件通常具有較長的訂貨間隔期，儲備一定數(shù)量的可修復(fù)件用于補償修復(fù)與再循環(huán)時間、運輸與購買交付時間等，對于保持艦載機的可用性具有積極意義［5］。

可修復(fù)件庫存的理論基礎(chǔ)是Palm于1938年提出的排隊論［6］，該定理假設(shè)需求量為常數(shù)和修理時間為獨立變量。Sherbrooke以Palm定理為基礎(chǔ)提出研究多等級備件配置的Metric模型［7］；Simon研究提出用常數(shù)取代任意再供給時間，用泊松分布替代符合泊松分布［8］；Kruse提出多等級問題的精確解法［9］；Slay提出改進的Vari-Metric模型［10］；Sherbrooke提出多等級、多層級綜合理論［11］。文獻(xiàn)［12-18］在以上研究基礎(chǔ)上進行了應(yīng)用研究。

本文基于Vari-Metric理論和以上研究，針對艦載機可修復(fù)件進行配置優(yōu)化研究。

1 艦載機多級維修保障系統(tǒng)描述

1.1 艦載機使用及維修保障過程

可修復(fù)件比消耗件復(fù)雜的原因是不僅要關(guān)心各個飛行場地的備件需求，還有包括負(fù)責(zé)保障的上一級保障機構(gòu)的備件庫存數(shù)及維修能力。海軍艦載機實行三級維修保障模式：艦員級、中繼級和基地級［12-19］。艦員級維修以換件維修為主；中繼級維修主要進行組件級維修；基地級維修提供全面維修保障。

航母編隊任務(wù)期內(nèi)艦載機按計劃完成一定的飛行任務(wù)。若艦載機發(fā)生故障，則拆換故障LRU，送母艦中繼級維修部門，并向供應(yīng)部門申請LRU。若有庫存，則發(fā)出一件完好LRU；否則，就發(fā)生一次備件短缺。中繼級維修部門維修能力有限，故障LRU送到中繼級維修部門后，確定是否可修，如果可修，則進行修理，并在修復(fù)完成后發(fā)到供應(yīng)部門。供應(yīng)部門若有短缺，則利用此修復(fù)的LRU直接補充短缺；若無短缺，則儲存在供應(yīng)部門。如果故障LRU超過中繼級維修能力，則發(fā)往后方航空基地，同時向基地申請對該LRU進行補給。延遲某時間段后，母艦供應(yīng)部門將收到補給件。

設(shè)故障LRU僅因一件SRU所致，對于在母艦中繼級維修的故障LRU，如果母艦供應(yīng)站有庫存該SRU，就將其安裝到故障LRU上替換掉故障SRU。若母艦中繼級不具備修理此SRU能力，則發(fā)往后方航空基地，同時提出補給申請。如果航空基地有庫存，則補充一件該SRU到航空母艦；若無庫存，則發(fā)生補給延誤。可修復(fù)件的修理和補給延誤具有不確定性，假設(shè)服從某概率分布。

艦載機保障中，艦員級和中繼級處于同一地點，兩者共享庫存。因此，艦載機保障是三維修等級、兩供應(yīng)等級模式。將艦員級和中繼級看作基層站點，則艦載機是兩級保障模式。故障件送修過程如圖1所示。

1.2 模型假設(shè)

為簡化模型表達(dá)和方便求解，對建模過程作如下基本假設(shè)。

①任務(wù)期間，艦載機任務(wù)安排均勻，備件需求率服從Poisson分布；②備件是否在某機構(gòu)修理與庫存量或修理工作量無關(guān)，由修理機構(gòu)修理能力決定；③不允許橫向供應(yīng)，上級機構(gòu)對下級進行備件補給；④不同部件故障發(fā)生、維修相互獨立，故障件修復(fù)如新；⑤不同故障部件具有相同的重要度，缺件均導(dǎo)致艦載機停飛；⑥故障件維修和補給過程采取先到先供應(yīng)、先到先維修策略；⑦各站點采取連續(xù)檢查的（s-1，s）庫存策略；⑧后方保障基地具備全部維修保障能力。

1.3 模型參數(shù)定義與符號說明

i：備件項目編號，i=0代表LRU，i=1，…，I代表SRU；

j：站點編號，基地級站點為j=0，基層級站點為j=1，…，J；

mi，j：站點j備件i的年平均需求；

Ti，j：站點j備件i的以年為時間單位的平均修理時間；

si，j：站點j備件i的庫存水平；

ri，j：備件i能在站點j修理的概率；

Qi，j：基地有庫存時，基地向其申請（訂貨）部件i的站點j交貨的平均時間；

Xi，j：站點j備件i的供應(yīng)渠道件數(shù)；

h：部件族（產(chǎn)品樹）編號，由LRU及其子部件SRU構(gòu)成的集合，h=1，…，H，H為部件族種類數(shù)；

ch，i：部件族h備件i的單價；

nj：站點j的艦載機架數(shù)nj=1，…，Nj；

Zi：單機安裝數(shù)。

2 可修復(fù)備件配置優(yōu)化分析

2.1 備件短缺數(shù)

備件短缺數(shù)是持續(xù)某一時間內(nèi)，備件需求未滿足的數(shù)量［3］。備件短缺數(shù)反映庫存效能和維修系統(tǒng)效能，是綜合保障指標(biāo)，利用備件短缺數(shù)還可以方便求得可用度。備件期望短缺數(shù)（Expected Number ofBackorders,EBO）是短缺數(shù)的均值函數(shù)，由備件庫存量si，j和供應(yīng)渠道件數(shù)Xi，j求得：

在艦載機所有備件故障次數(shù)相互獨立且無串件拼修時，站點j機群可用度可表示為［3］：

其中，Zh，o，j為LRUh的單機安裝數(shù)，Nj為艦載機在使用現(xiàn)場 j的配置數(shù)量，sh，o，j為使用現(xiàn)場 j的LRUh庫存水平。對上式取對數(shù)，得到冪級展開式：

可用度對數(shù)是備件短缺函數(shù)的可分離加法函數(shù)，且是凸函數(shù)。可以通過求取備件短缺數(shù)極小值得到可用度極大值。所有艦載機的可用度A就是所有基層可用飛機的百分比［3］：

各個基層站點艦載機架數(shù)相等時，求取基層站點LRU短缺數(shù)之和極小值才等價于求取艦載機可用度的極大值。對于相同類型的航母而言，駐艦艦載機聯(lián)隊一般具有相同的艦載機編成，因此，可以通過式（4）轉(zhuǎn)換為所有基層站點備件短期數(shù)之和最小值進行備件配置。若各基層站點艦載機數(shù)量不同，不能通過將式（4）進行對數(shù)轉(zhuǎn)換分解為單個基地進行計算。此時，可以運用邊際分析方法，對于所有的基層站點，通過計算可用度遞增量乘以艦載機架數(shù)除以備件單價得出每一步的備件配置方案。這種近似最優(yōu)方法計算的各個基層站點艦載機可用度可能會不同，如果需要調(diào)整各個基地可用度，可以通過賦予并調(diào)整各個基地的權(quán)重。

2.2 備件需求率

備件需求基于一定的任務(wù)需求，基于任務(wù)需求分析備件需求時要考慮時間的度量標(biāo)準(zhǔn)，如可能基于日歷時間，飛行時間，或起降架次。

艦載機使用現(xiàn)場產(chǎn)生備件需求。設(shè)LRU的平均故障間隔時間為MTBF，艦載機數(shù)量為Nj，任務(wù)期內(nèi)，每架艦載機平均飛機時間為TFY，則LRU故障率為：

故障LRU在中繼級維修有一定的維修概率ro，j，假設(shè)LRU故障僅因下層級某SRU故障所致，所占比例為qi，j，則此SRU備件需求率為：

后方基地的LRU需求是各基層送修的超出其維修能力的故障LRU和：

后方基地SRU需求由兩部分組成：一是基層級送修的故障SRU；二是后方基地修理LRU產(chǎn)生的SRU需求。后方基地SRU需求率為：

2.3 備件供應(yīng)渠道［3］

2.3.1 供應(yīng)渠道備件件數(shù)

供應(yīng)渠道（pipeline）備件件數(shù)是指某項備件在某地正在修理的件數(shù)，或者由上級保障機構(gòu)正在補給到本地的備件件數(shù)。

①基地供應(yīng)渠道LRU的均值和方差

因基地修理LRU產(chǎn)生的SRUi需求比例是

基地修理的LRU由兩部分組成：一是不存在延誤，基地送修的LRU件數(shù)；二是因基地?zé)oSRU而延誤的送修LRU件數(shù)。基地供應(yīng)渠道LRU均值和方差為

②基層級供應(yīng)渠道SRU的均值和方差

由基地補給到基層j的SRU占基地所需SRU比例為

基層j的SRU供應(yīng)渠道均值和方差為

③基層級供應(yīng)渠道LRU的均值和方差

基層j所需基地補充的LRU占基地LRU需求的比例為

基層j供應(yīng)渠道包括：一是供應(yīng)渠道無短缺時LRU件數(shù)；二是基地LRU短缺造成補給延誤的件數(shù)；三是基層j因SRU短缺而延誤修理的LRU件數(shù)?；鶎觠供應(yīng)渠道件數(shù)均值和方差為0

2.3.2 供應(yīng)渠道備件件數(shù)分布［10］

針對Muckstadt于1973年提出的Mod-Metric模型［20］有時和實際情況相差較大，1984年Slay提出改進的Vari-Metric模型，提出既考慮供應(yīng)渠道均值，也考慮方差，根據(jù)供應(yīng)渠道差均比，采取不同的計算模型，由此得出更精確的結(jié)果。

供應(yīng)渠道差均比為1時，運用泊松分布描述備件供應(yīng)渠道：

供應(yīng)渠道差均比大于1時，利用負(fù)二項分布近似描述備件供應(yīng)渠道：

其中a＞0，0＜b＜1。它是指通過a+Xi，j次試驗，達(dá)到a次成功的概率，其中每次成功的概率均為1-b。參數(shù)a和b的值可以根據(jù)負(fù)二項分布由供應(yīng)渠道的均值和方差求得。

供應(yīng)渠道差均比小于1時，用二項分布描述備件供應(yīng)渠道：

其中ρ是每次試驗成功的概率，Xi，j是n次試驗中成功的次數(shù)。參數(shù)ρ和n可以根據(jù)二項分布由供應(yīng)渠道的均值和方差求得。

3 可修件優(yōu)化配置模型

3.1 邊際優(yōu)化算法

邊際優(yōu)化算法由Gross提出［21］，它是一種漸進優(yōu)化技術(shù)，用于合理利用有限資源獲取最大收益［11］。邊際優(yōu)化分析算法是在一定約束下依次迭代，直到滿足目標(biāo)值，通過對邊際單位收益和損耗的綜合權(quán)衡，達(dá)到對資源的有效利用。

邊際分析的步驟：首先確定系統(tǒng)控制變量；其次在每輪迭代中，依次使控制變量加1，計算并記錄相應(yīng)的邊際效益增加量和邊際費用的增加量，確定對邊際效益影響最大的備件配置策略，并認(rèn)為該輪中此調(diào)整策略最優(yōu)，將此策略作為下一次迭代的初始策略；最終，在若干次迭代調(diào)整后，達(dá)到系統(tǒng)目標(biāo)要求，此時的備件配置策略即為優(yōu)化結(jié)果，迭代結(jié)束。

3.2 邊際分析優(yōu)化模型

以期望短缺數(shù)最小為優(yōu)化目標(biāo)，以費用為約束，以備件配置策略為需要調(diào)整的控制變量，邊際效益值為

在無串件拼修，各個基層站點艦載機架數(shù)相同時，求取可用度最高等價于求取期望短缺數(shù)最小。最優(yōu)模型表述如下。

4 實例分析

設(shè)有兩個相同的基層站點，兩者均配備有艦載機20架，兩個基層站點具有相同的任務(wù)安排，相同的維修能力。艦載機由備件LRU1和LRU2組成，LRU1由 LRU1，1和 LRU1，2組成，LRU2由 LRU2，1和LRU2，2組成?，F(xiàn)有總經(jīng)費5 000萬元，適當(dāng)安排各項備件配置方案，使得系統(tǒng)總的可用度最高。

由于兩個基層級站點完全相同，因此，尋求可用度最大值等價于尋求系統(tǒng)短缺數(shù)之和的最小值［3］。根據(jù)前面的分析，運用邊際分析法建模，經(jīng)過編程實現(xiàn)，經(jīng)過67輪邊際優(yōu)化迭代，求得備件最優(yōu)分配方案如表2所示。

由表2知，后方基地庫存為0，這是由于備件送修時間較長，而基層站點具備較強的維修能力，可以修復(fù)大部分故障件，修復(fù)時間相比后方基地差距不是太大。由于基層站點1和2任務(wù)需求、艦載機數(shù)量和維修能力基本相同，因此，兩者備件配置類似。

邊際效益值是增加某項備件1件時所獲得的單位費用的系統(tǒng)效能增量。這里是增加1件某項備件引發(fā)的期望備件短缺數(shù)減少量與備件單價的比值。比值越高，單位費用所獲取的期望備件短缺數(shù)減少量越大，越值得儲備。邊際效益隨費用變化如圖2所示，邊際效益值由0.027 4嚴(yán)格單調(diào)下降至0.003 8。

圖3 是備件期望短缺數(shù)減少量與費用關(guān)系曲線，圖中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出雜亂狀態(tài)，備件期望短缺數(shù)減少量與費用關(guān)系并不是單調(diào)遞減關(guān)系。這是由于選擇存儲備件項時，并不是按照備件期望短缺數(shù)減少量，而是按照考慮了備件單價的邊際效益值。從總體看，期望短缺數(shù)減少量有遞減趨勢。

圖4 為系統(tǒng)備件期望短缺數(shù)與費用關(guān)系曲線。隨著費用的增加，系統(tǒng)備件期望短缺數(shù)平穩(wěn)的降低，但是降低的趨勢逐步趨于平緩，費用增加的效果逐漸降低，即邊際效益值越來越小，是嚴(yán)格單調(diào)凸函數(shù)。在總費用為5 000萬元的約束下，系統(tǒng)備件期望短缺數(shù)由60.385 0降低到3.693 4。

經(jīng)過邊際優(yōu)化，基層站點1的系統(tǒng)可用度為0.899 3，基層站點2的系統(tǒng)可用度為0.921 1，整個系統(tǒng)可用度為0.910 2，如表3所示。

5 結(jié)束語

可修復(fù)備件庫存配置優(yōu)化是艦載機保障的重要內(nèi)容。本文基于Vari-Metric理論，結(jié)合艦載機保障實際，建立了多等級、多層級艦載機可修復(fù)備件優(yōu)化配置模型，對于提高艦載機保障能力具有積極意義。由于Vari-Metric理論基于“無限渠道排隊”假設(shè)，因此，與艦載機保障實際不完全符合。

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Multi-Echelon and Multi-Indenture Inventory Optimal Model for Carrier-based Aircraft Repairable Spare Parts Based on Vari-Metric Model

ZHANG Shuai，TENG Ke-nan，XIAO Fei，SUN Yuan
（Naval Aviation Engineering College，Yantai 264001，China）

According to inventory allocation problem for carrier-based aircraft repairable spare parts in the multi-echelon,multi-indenture construction，a multi-echelon and multi-indenture inventory model is put forward based on Vari-Metric model.First，the logistics support process of carrier-based aircraft is described.Then，the repairable spare parts optimal allocation problem is analyzed,the EBO model，the demand rates model and the pipeline model are given according to the logistics support characteristics of carrier-based aircraft.Next，the optimal model is given based on the marginal optimal analysis.Finally，an example shows that the model is feasible and can supply decision assistance for logistics support staff to design a reasonable project.

repairable spare parts，Vari-Metric model，carrier-based aircraft，expected number of backorders，optimal allocation，marginal analysis method

V215

A

1002-0640（2015）09-0157-06

2014-08-05

2014-09-26

軍內(nèi)預(yù)研一般基金項目

張 帥（1984- ），男，江蘇沛縣人，博士研究生。研究方向：裝備保障理論與應(yīng)用。