高俊峰 周凌柯

(南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210094)

近年來(lái)，以PCA為代表的多元統(tǒng)計(jì)過(guò)程性能監(jiān)控和故障診斷技術(shù)在化工過(guò)程中得到了成功應(yīng)用[1，2]。但此類(lèi)方法假定過(guò)程變量服從正態(tài)分布，且來(lái)自單一的穩(wěn)定工況。對(duì)于多工況過(guò)程，目前的監(jiān)測(cè)方法大多采用多模型方法[3～6]。Hwang D H和Han C H提出了一種基于多層聚類(lèi)的超級(jí)PCA模型來(lái)解決多工況下化工過(guò)程的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)問(wèn)題[3]。Lane S等提出一種通用子空間模型來(lái)監(jiān)控多工況半間歇過(guò)程[4]。Zhao S J等為多工況過(guò)程監(jiān)測(cè)開(kāi)發(fā)了多PCA/PLS模型[5,6]。這些方法的共同點(diǎn)是通過(guò)聚類(lèi)或經(jīng)驗(yàn)來(lái)劃分工況，工況數(shù)的選擇和工況界定較多地依賴(lài)于過(guò)程知識(shí)。為減輕監(jiān)測(cè)方法對(duì)過(guò)程知識(shí)的依賴(lài)，近年來(lái)高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)被應(yīng)用到多工況過(guò)程監(jiān)測(cè)中來(lái)。GMM的參數(shù)一般使用EM(Expectation Maximization)算法迭代估計(jì)，然而常規(guī)EM算法必須事先給定混合模型的分量數(shù)目，且在參數(shù)估計(jì)過(guò)程中不能自動(dòng)調(diào)整。但在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，過(guò)程工況數(shù)經(jīng)常是無(wú)法預(yù)知的，因此，近幾年許多學(xué)者采用的方法是針對(duì)不同的分量數(shù)目多次運(yùn)行EM算法，計(jì)算量較大。Ma J等指出未知分量數(shù)目的高斯混合模型建模問(wèn)題等價(jià)于最大化貝葉斯陰陽(yáng)協(xié)調(diào)函數(shù)，并從理論上分析和證明了BYY協(xié)調(diào)函數(shù)用于選取高斯分量數(shù)目的有效性[7]。

為了解決多工況故障監(jiān)控中存在的問(wèn)題，筆者建立了一個(gè)多工況混合模型。該模型首先采用常規(guī)EM算法估計(jì)各工況的GMM參數(shù)，然后采用BYY算法根據(jù)所估計(jì)出的GMM參數(shù)來(lái)判斷工況數(shù)。迭代進(jìn)行上述過(guò)程，直到GMM參數(shù)和工況數(shù)都收斂為止?；旌夏Ｐ徒⒑?，通過(guò)在其每個(gè)分量中建立PCA模型，建立了一個(gè)多工況故障監(jiān)控模型。該監(jiān)控模型通過(guò)貝葉斯方法對(duì)被監(jiān)控樣本實(shí)施自動(dòng)工況劃分。

1.1 EM算法

假設(shè)x∈Rm是一個(gè)取自多工況過(guò)程的m維樣本，那么其在有限GMM下的概率密度函數(shù)可表示為：

(1)

其中K是包含在GMM中高斯分量的個(gè)數(shù)。將混合模型所有的參數(shù)合并到向量Θ={α1,m1,Σ1,…,αK,mK,ΣK}，其中mi、Σi代表第i個(gè)高斯分量的均值向量和協(xié)方差矩陣，αi表示其在混合模型中的權(quán)重?；旌细怕蕄(x|Θ)本質(zhì)上是所有高斯分量的加權(quán)概率和。權(quán)重αi可以理解為任意樣本數(shù)據(jù)來(lái)自于第i個(gè)高斯分量的先驗(yàn)概率。各高斯分量的概率密度方程可以表示為：

(2)

假定Θ中的模型參數(shù)都是常量且沒(méi)有任何的先驗(yàn)知識(shí)，那么給定樣本數(shù)據(jù)集X={x1,x2,…,xN}，混合模型參數(shù)Θ通常可通過(guò)最大化似然方程L(Θ)求出：

(3)

然而，當(dāng)事先并不知道X中樣本數(shù)據(jù)所屬的高斯分量時(shí)，式(3)所定義的方法就會(huì)失效，而EM算法則可以通過(guò)迭代估計(jì)的方法解決上述混合模型參數(shù)估計(jì)問(wèn)題[8]。

給定混合高斯分量數(shù)K和Θ的初值Θ0，EM算法通過(guò)不斷重復(fù)E-step和M-step迭代估計(jì)Θ，直至Θ單調(diào)收斂到其最優(yōu)估計(jì)值。

E-step，給定Θ(t)，計(jì)算完全數(shù)據(jù)下的log似然函數(shù)的期望：

(4)

M-step，通過(guò)最大化似然函數(shù)Q(Θ|Θ(t))求取Θ(t+1)：

(5)

1.2 BYY算法

如上所述，在用EM算法迭代估計(jì)混合模型參數(shù)Θ時(shí)，必須事先給定混合模型的高斯分量數(shù)K。然而，在沒(méi)有任何先驗(yàn)知識(shí)的情況下，K很難被準(zhǔn)確地給出。為了解決這個(gè)問(wèn)題，筆者在EM收斂之后，采用BYY算法估計(jì)工況數(shù)[7]。若所估計(jì)的工況數(shù)收斂，則混合模型參數(shù)估計(jì)停止。否則，以采用BYY算法估計(jì)出的混合工況數(shù)為條件重新執(zhí)行EM算法。估計(jì)混合工況數(shù)的BYY協(xié)調(diào)函數(shù)定義如下：

(6)

1.3 基于MPMM的多工況過(guò)程監(jiān)控模型

在用MPMM建立起GMM后，混合高斯分量數(shù)即為工況數(shù)，各個(gè)高斯分量對(duì)應(yīng)各個(gè)穩(wěn)定工況的分布特性。為了在所建立GMM的基礎(chǔ)上引入PCA算法，建立多工況過(guò)程監(jiān)測(cè)模型，需要對(duì)訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行工況劃分。對(duì)于訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)xn，其所屬工況為：

(7)

所有訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)工況劃分結(jié)束后，與傳統(tǒng)PCA相似，對(duì)于每一監(jiān)控樣本x，定義兩個(gè)監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量T2和SPE：

T2=xPΛkPTxT

SPE=‖(I-PPT)x‖2

(8)

(9)

其中，k是主元個(gè)數(shù)，N是訓(xùn)練樣本數(shù)。g和h的計(jì)算式為：

hg=mean(SPE)

2g2h=var(SPE)

(10)

過(guò)程監(jiān)測(cè)時(shí)，需要為每個(gè)新監(jiān)測(cè)樣本xn找到其所屬工況。筆者把xn屬于各個(gè)高斯分量的后驗(yàn)概率作為相應(yīng)的隸屬度。計(jì)算方法為：

(11)

2 仿真研究

TE過(guò)程是由Downs J J和Vogel E F于1993年提出的一個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，它被廣泛應(yīng)用于評(píng)估和比較過(guò)程監(jiān)測(cè)方法的有效性[9]。其流程如圖1所示[10]，該過(guò)程有12個(gè)操作變量和41個(gè)測(cè)量變量。在41個(gè)測(cè)量變量中，前22個(gè)是連續(xù)變量，另外19個(gè)是離散變量。本節(jié)選取16個(gè)連續(xù)變量用于過(guò)程故障監(jiān)測(cè)。

圖1 TE過(guò)程流程

在建立MPMM時(shí)，讓TE過(guò)程仿真運(yùn)行70h，采樣間隔為0.01h，產(chǎn)生一個(gè)由兩個(gè)穩(wěn)定工況構(gòu)成的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集。這兩個(gè)穩(wěn)定工況是在仿真過(guò)程中改變TE過(guò)程的反應(yīng)器壓力和反應(yīng)器液位水平得到的。在仿真開(kāi)始時(shí)，反應(yīng)器壓力和液位水平為其初始值(2 800kPa和65%)，此時(shí)TE過(guò)程處于工況1；在仿真進(jìn)行到10.033h時(shí)，降低反應(yīng)器壓力至2 705kPa，液位水平保持不變，TE過(guò)程進(jìn)入工況2。取各穩(wěn)定工況1 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)由2 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)組成的訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集，然后采用MPMM對(duì)此訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)集建模，所建模型中各高斯分量在混合模型中所占比重分別為0.508 3和0.491 7，與實(shí)際值一致。因此，所建模型很好地描述了3個(gè)工況下訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)的分布特性。

為了驗(yàn)證MPMM監(jiān)控復(fù)雜工業(yè)過(guò)程的有效性，筆者將其分別對(duì)正常和階躍擾動(dòng)兩種工業(yè)過(guò)程進(jìn)行監(jiān)測(cè)。正常過(guò)程測(cè)試樣本數(shù)據(jù)集由3個(gè)工況正常運(yùn)行條件下的采樣數(shù)據(jù)構(gòu)成，每個(gè)工況300個(gè)樣本點(diǎn)。階躍擾動(dòng)測(cè)試樣本數(shù)據(jù)集通過(guò)向工況1中引入階躍變化的故障2產(chǎn)生。故障引入的位置在第100個(gè)樣本點(diǎn)處，共有1 000個(gè)樣本點(diǎn)。故障2通過(guò)改變組分B的含量產(chǎn)生。

圖2 正常數(shù)據(jù)集的仿真結(jié)果

圖3 階躍擾動(dòng)故障2監(jiān)控結(jié)果

圖2、3所示仿真結(jié)果表明，筆者所提方法MPMM的多工況過(guò)程監(jiān)控性能遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)PCA，而且監(jiān)控延時(shí)較小。說(shuō)明MPMM可以有效且準(zhǔn)確地監(jiān)控多工況工業(yè)過(guò)程。

3 結(jié)束語(yǔ)

基于BYY算法和PCA數(shù)據(jù)降維技術(shù)，建立了一個(gè)多工況混合模型。該模型克服了采用常規(guī)EM算法建立混合模型時(shí)必須事先給出混合工況數(shù)的限制，極大地提高了模型的適用范圍。模型建立后，通過(guò)在混合模型每個(gè)分量中構(gòu)建PCA模型，建立了一個(gè)多工況故障監(jiān)控模型。最后的仿真研究證明了MPMM在多工況過(guò)程監(jiān)測(cè)中的有效性。

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