冉永清 楊煜普 屈衛(wèi)東

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院自動化系系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

隨著工業(yè)過程控制系統(tǒng)的復(fù)雜化和智能化，工業(yè)過程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)維數(shù)越來越高，非線性增強(qiáng)，傳統(tǒng)的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的線性方法(如PCA)的故障檢測方法表現(xiàn)明顯不如非線性故障檢測方法(如KPCA[1,2])。這些方法在過程檢測時(shí)提取全局信息表征數(shù)據(jù)特征，然而在一些情況下，數(shù)據(jù)的局部信息具有更好的表現(xiàn)性能，比如部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失時(shí)，采用局部信息表示數(shù)據(jù)具有更好的魯棒性。非負(fù)矩陣分解(NMF)是近幾年發(fā)展起來針對非負(fù)數(shù)據(jù)處理的多元統(tǒng)計(jì)分析方法[3]，具有天然的稀疏性，能夠很好地提取數(shù)據(jù)的局部特征。但是由于NMF方法在處理非線性數(shù)據(jù)方面具有明顯不足，因此筆者引進(jìn)核非負(fù)矩陣分解方法(KNMF)[4]，結(jié)合NMF方法的特點(diǎn)和核方法的優(yōu)點(diǎn)，建立在線故障診斷模型，克服了線性方法處理非線性數(shù)據(jù)性能低的不足，同時(shí)解決了傳統(tǒng)核方法表現(xiàn)性能不佳、內(nèi)存消耗大的問題，實(shí)現(xiàn)高效和準(zhǔn)確的故障診斷。

1 核非負(fù)矩陣分解①

1.1 算法描述

KNMF通過核函數(shù)將非線性輸入空間的數(shù)據(jù)映射到線性特征空間，在特征空間內(nèi)，運(yùn)用NMF進(jìn)行特征提取和分析。令輸入空間的數(shù)據(jù)X=[X1,X2,…,Xn]∈Rm×n，通過映射函數(shù)Φ(·):Rm→F將數(shù)據(jù)映射到一個(gè)高維的特征空間F內(nèi)，令特征空間數(shù)據(jù)矩陣Φ(X)=[Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xn)]∈Rd×n，在特征空間F內(nèi)進(jìn)行NMF分解，即尋找一個(gè)基矩陣U和一個(gè)系數(shù)矩陣V，使得：

Φ(X)≈UVT

(1)

其中U∈Rd×r，d的數(shù)值非常大，r表示降維后的維數(shù)；V∈Rn×r。

假設(shè)基矩陣U的每一列滿足下列等式：

uj=Φ(x1)W1j+Φ(x2)W2j+…+Φ(xn)Wnj

(2)

則基矩陣U是特征數(shù)據(jù)Φ(X)的凸組合，即：

U=Φ(X)W

(3)

其中W∈Rn×r，并且W的每一列之和等于1。

在特征空間F中，把特征數(shù)據(jù)分解成如下形式：

Φ(X)≈Φ(X)WVT

(4)

將原NMF分解算法需要找到基矩陣U和系數(shù)矩陣V，轉(zhuǎn)化成尋找參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V。

在特征空間內(nèi)，采用歐式距離來度量特征數(shù)據(jù)矩陣Φ(X)與Φ(X)、參數(shù)矩陣W、系數(shù)矩陣V三者乘積之間的誤差，將KNMF問題轉(zhuǎn)化為求取參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V，并使以下目標(biāo)函數(shù)取得最小值：

(5)

其中K為核矩陣，K=Φ(X)TΦ(X)。

對于上述目標(biāo)函數(shù)，分別以W或V為變量的最小化問題的時(shí)候是凸函數(shù)，但是同時(shí)以W和V為變量是非凸函數(shù)，因此要找到兩個(gè)優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解是不可能的，只能給出局部最優(yōu)解。

[KWVTV-KV]⊙W=0

(6)

[VWTKW-KW]⊙V=0

(7)

根據(jù)式(6)、(7)得出參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V的更新規(guī)則：

(8)

(9)

1.2 幾何意義

KNMF算法的目標(biāo)是在特征空間內(nèi)尋找一個(gè)凸包盡可能地把所有數(shù)據(jù)都包含在內(nèi)，那么就可以根據(jù)凸包性質(zhì)，所有在凸包內(nèi)的點(diǎn)都可以通過所有凸包邊界的一個(gè)凸組合表示，故KNMF算法訓(xùn)練的目標(biāo)就是尋找到特征空間數(shù)據(jù)內(nèi)的所有凸包邊界點(diǎn)，即特征數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)成這個(gè)凸包。特征空間內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)和特征數(shù)據(jù)點(diǎn)如圖1所示。

圖1 特征空間內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)和特征數(shù)據(jù)點(diǎn)

從式(3)得出，基矩陣U是特征數(shù)據(jù)Φ(X)的一個(gè)凸組合，展開式(3)，得到：

(10)

其中參數(shù)矩陣W的每一列之和為1。尋找的凸包能夠包含所有的特征數(shù)據(jù)點(diǎn)，并且每一個(gè)特征數(shù)據(jù)點(diǎn)是所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的一個(gè)凸組合，所以離特征數(shù)據(jù)點(diǎn)越近的點(diǎn)，對于構(gòu)成特征數(shù)據(jù)點(diǎn)的影響就越大，那么對應(yīng)參數(shù)矩陣W中的數(shù)值就越大。在圖1b中圓圈內(nèi)的點(diǎn)對構(gòu)成特征數(shù)據(jù)點(diǎn)的系數(shù)影響最大，在參數(shù)矩陣W中數(shù)值相對較大。這個(gè)性質(zhì)使得訓(xùn)練出來的參數(shù)矩陣W具有很好的稀疏性[5]，即在矩陣中有很多元素都是0，只有少數(shù)元素不是0。

2 基于KNMF的故障檢測模型

首先獲取實(shí)際工況中產(chǎn)生的正常數(shù)據(jù)Y,Y∈Rm×n，其中m為變量個(gè)數(shù)，n為采樣點(diǎn)數(shù)。由于每一個(gè)變量的量綱不同，先對數(shù)據(jù)做標(biāo)準(zhǔn)化處理，設(shè)處理后的數(shù)據(jù)為X,X∈Rm×n，對X運(yùn)用KNMF算法進(jìn)行訓(xùn)練，得到參數(shù)矩陣W和系數(shù)矩陣V。當(dāng)用于在線檢測時(shí)，設(shè)某一次的采樣數(shù)據(jù)為x,x∈Rm，則：

(11)

(12)

(13)

其中式(12)中的v為對應(yīng)采樣數(shù)據(jù)的重構(gòu)系數(shù)，即：

v=(WTKW)-1WTKx

K=Φ(X)TΦ(X)

(14)

Kx=Φ(X)TΦ(x)

式(12)表示特征數(shù)據(jù)在主空間的投影，式(13)表示特征數(shù)據(jù)在殘差空間的投影。

根據(jù)式(12)、(13)定義兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量K2和SPE，分別為：

K2=vTv

(15)

(16)

在特征空間F內(nèi)，K2反映了訓(xùn)練得到的模型空間內(nèi)的能量波動情況，SPE反映一個(gè)測量數(shù)據(jù)到模型空間的距離，反映測量值的偏離程度。

由于構(gòu)造的統(tǒng)計(jì)量不滿足高斯過程數(shù)據(jù)特征，所以不能運(yùn)用常用方法確定其控制限，筆者采用核密度估計(jì)方法[6]，并選取了99%的置信水平確定控制限。

3 基于KNMF的故障辨識

將上述基于KNMF的故障檢測模型運(yùn)用到實(shí)際工況中進(jìn)行在線檢測，當(dāng)檢測計(jì)算結(jié)果小于控制限時(shí)，認(rèn)為過程是正常狀態(tài)，當(dāng)超過控制限時(shí)，認(rèn)為過程是故障狀態(tài)。當(dāng)過程發(fā)生故障的時(shí)候，需要快速并準(zhǔn)確地找到故障所在，確定故障變量，從而可以快速排除故障，避免故障帶來的災(zāi)難。

當(dāng)運(yùn)用K2統(tǒng)計(jì)量和SPE統(tǒng)計(jì)量檢測到故障時(shí)，筆者采用貢獻(xiàn)圖[7]的方式，確定故障變量。對應(yīng)K2和SPE每一個(gè)變量所做貢獻(xiàn)值的計(jì)算如下：

(17)

(18)

其中，下標(biāo)j表示第j個(gè)變量，j=1,2,…,m；δj表示m×m單位矩陣的第j列。

通過式(17)、(18)可以確定發(fā)生故障時(shí)每一個(gè)變量對于此次故障的貢獻(xiàn)值，變量貢獻(xiàn)值越大越有可能發(fā)生故障，那么就越有可能就是故障發(fā)生的位置所在，在排除故障時(shí)，應(yīng)該首先檢查此位置。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

TE過程是基于實(shí)際工業(yè)過程的仿真案例[7]。它由連續(xù)攪拌式反應(yīng)釜及氣液分離塔等多個(gè)設(shè)備組成。訓(xùn)練集包含500個(gè)樣本數(shù)據(jù)，測試集由前160個(gè)正常數(shù)據(jù)和后800個(gè)故障數(shù)據(jù)構(gòu)成。圖2是TE過程結(jié)構(gòu)圖，表1是KNMF算法與傳統(tǒng)算法故障檢測率的比較。

圖2 TE過程結(jié)構(gòu)

表1 KNMF算法與PCA、KPCA和NMF的故障檢測率比較 %

從表1可以看出，基于核方法(KPCA和KNMF)的檢測效果在某些故障檢測方面優(yōu)于線性方法(PCA和NMF)，而KNMF方法與KPCA方法在故障檢測方面各有優(yōu)勢。

圖3給出了故障IDV(14)各個(gè)方法的故障檢測圖。

圖3 故障IDV(14)發(fā)生時(shí)，KNMF與PCA、KPCA和NMF的檢測率對比

IDV(14)表示的是反應(yīng)器冷卻水閥門的變化情況，當(dāng)故障IDV(14)發(fā)生時(shí)，那些與反應(yīng)器相關(guān)的變量都會產(chǎn)生影響，如反應(yīng)器中的溫度(變量9)、冷卻水的流速(變量32)和反應(yīng)器冷卻水出口溫度(變量21)。當(dāng)故障IDV(14)發(fā)生的時(shí)候，各個(gè)變量的貢獻(xiàn)值如圖4所示。從貢獻(xiàn)圖來看，這3個(gè)變量的貢獻(xiàn)值明顯很大，而其他變量貢獻(xiàn)值相比之下基本可以忽略，這與分析結(jié)果完全相符，這就驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖4 IDV(14)發(fā)生時(shí)，受影響的主要變量和所有變量的貢獻(xiàn)值

5 結(jié)束語

筆者提出的基于核非負(fù)矩陣分解方法(KNMF)的故障檢測方法，解決了傳統(tǒng)方法處理非線性方法的不足，同時(shí)得到的W或V具有天然稀疏性，減少內(nèi)存消耗，克服了其他核方法消耗內(nèi)存大的不足，在一定程度上能夠加快運(yùn)算速度。設(shè)計(jì)了監(jiān)控統(tǒng)計(jì)量K2和SPE，適用于在線故障檢測，并且建立了完整的故障診斷模型。當(dāng)檢測到故障的同時(shí)，給出可能引起此故障的變量。最后將KNMF算法運(yùn)用于TE平臺進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明了基于KNMF的方法在故障檢測方面的可行性和有效性。在今后的工作中，可進(jìn)一步完善故障診斷模型，提高故障檢測速度和精度，提高故障辨識的準(zhǔn)確性。

[1] Fan L P,Yu H B,Yuan D C.Monitoring of SBR Process Using Kernel Principal Component Analysis[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2006,27(3):249～253.

[2] 范玉剛，李平，宋執(zhí)環(huán).基于特征樣本的KPCA在故障診斷中的應(yīng)用[J].控制與決策,2005,20(12):1415～1418,1422.

[3] An S, Yun J M, Choi S. Multiple Kernel Nonnegative Matrix Factorization[C].2011 IEEE International Conference on Acoustics,Speech and Signal Processing(ICASSP).Prague：IEEE,2011:1976～1979.

[4] Lee H,Cichocki A,Choi S.Kernel Nonnegative Matrix Factorization for Spectral EEG Feature Extraction[J].Neurocomputing,2009,72(13):3182～3190.

[5] Hoyer P O.Non-negative Matrix Factorization with Sparseness Constraints[J].The Journal of Machine Learning Research,2004,5:1457～1469.

[6] Botev Z I,Kroese D P.The Generalized cross Entropy Method, with Applications to Probability Density Estimation[J].Methodology and Computing in Applied Probability,2011,13(1):1～27.

[7] Yoon S,MacGregor J F.Fault Diagnosis with Multivariate Statistical Models Part I: Using Steady State Fault Signatures[J].Journal of Process Control,2001,11(4):387～400.