廣西省賀州富川民族中學(xué) 唐文鑫

探究線性規(guī)劃中疑難問題的突破策略

廣西省賀州富川民族中學(xué) 唐文鑫

線性規(guī)劃是一種科學(xué)的數(shù)學(xué)運(yùn)算法，可用于商業(yè)、工業(yè)、交通等各種經(jīng)濟(jì)活動(dòng)領(lǐng)域，屬于運(yùn)籌學(xué)的重要分支。然而線性規(guī)劃也是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，其概念具有較為抽象性，條件無法辨別清晰、步驟復(fù)雜、運(yùn)算麻煩等，這些因素均對線性規(guī)劃的解答帶來了一定困難。本文對幾類主要的疑難問題進(jìn)行總結(jié)，并給出了相應(yīng)的突破策略。

線性規(guī)劃 疑難問題 突破策略

線性規(guī)劃實(shí)在線性約束條件下求解最值的數(shù)學(xué)問題，在運(yùn)算過程中約束條件、目標(biāo)函數(shù)以及決策變量是最主要的三個(gè)因素，然而在實(shí)際運(yùn)算過程中卻存在較多疑難點(diǎn)。學(xué)生認(rèn)為整點(diǎn)問題、直線平移、條件轉(zhuǎn)化等均為線性規(guī)劃中比較突出的幾個(gè)困難點(diǎn)，本文對這些疑難問題進(jìn)行了歸納總結(jié)，并提出了集中突破方法。

一、線性規(guī)劃中的疑難問題

線性規(guī)劃常見的疑難問題通常出現(xiàn)在對題目的理解、方法的轉(zhuǎn)化、方程的解答以及綜合運(yùn)算方法的掌握程度等方面，學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)能力不足且基礎(chǔ)運(yùn)算能力不夠熟練時(shí)往往會對線性規(guī)劃的題目無從下手，找不出問題的關(guān)鍵，無法對各種約束條件進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換，造成了解題困難。

二、線性規(guī)劃疑難問題的突破策略

1.靈活變換，摸索規(guī)律。絕對值不等式的變換作為不等式變換中的難點(diǎn)也給學(xué)生的解題帶來了較大的阻礙，對|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)可通過分類、換元或數(shù)形結(jié)合的方法來探索其數(shù)學(xué)規(guī)律，找到解題關(guān)鍵。

例1，解答不等式||x+3|-|x-3||＞3。對該式進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，如何去掉絕對值是解題的關(guān)鍵。一般的處理方法有：分區(qū)間去絕對值；平方法去絕對值。

解法2：原式兩邊同時(shí)平方得：（|x+3|-|x-3|）2＞9，即2x2+9＞2|x2-9|，再將兩邊同時(shí)平方，同時(shí)在進(jìn)行因式分解，可得x2＞9/4，最終可得x＞3/2或x＜-3/2。

2.把握細(xì)節(jié)，正確作圖。精準(zhǔn)的作圖可以幫助學(xué)生快速解答線性規(guī)劃中的問題，在平面作圖中的難點(diǎn)較為復(fù)雜的約束條件。

例2，求解z=600x+1000y的最大值。10x+4y≤300，5x+4y≤200，4x+9y≤360，x≥0，y≥0。

首先，做出直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O。其次，當(dāng)10x+4y=300時(shí)，有C、E兩點(diǎn)；當(dāng)5x+4y=200時(shí)，有G、F兩點(diǎn)；當(dāng)4x+9y=360時(shí)，有D、H兩點(diǎn)。OHMKC的面積為可行區(qū)域，如圖1所示。最后，做出直線600x+1000y=0，如原點(diǎn)的虛線，將其平移至與M點(diǎn)交接處，即該點(diǎn)與原點(diǎn)距離最大處，此時(shí)可得M即為z的最大值。

3.逐步解答，思路清晰。整點(diǎn)問題是線性規(guī)劃中的重難點(diǎn)之一，解題過程必須要思路清晰，步驟明確，逐一解答，才能正確解題。

例3，某商店同時(shí)銷售電熱水器和太陽能熱水器兩種產(chǎn)品，市場出現(xiàn)供不應(yīng)求的現(xiàn)狀，請根據(jù)該店的員工工資，成本等情況確定月采購量，并求出最大利潤。

解：電熱水器設(shè)為x變量，太陽能熱水器為y變量，月總利潤為z。

表1 該商店的實(shí)際情況

圖2

M（36/5,38/5）為Z的最大值點(diǎn)，可得Zmax=10320，然而該解并不是整數(shù)最優(yōu)解。因此，必須進(jìn)一步求解。方法一：網(wǎng)格平移法。將圖形的所有整數(shù)點(diǎn)在圖形中標(biāo)出，并做成表格，移動(dòng)l圖線，可發(fā)現(xiàn)在（8，6）點(diǎn)的位置時(shí)，l在y軸上的截距最大，可得Zmax=10000元。方法二：特值檢驗(yàn)法。該類方法主要是通過將接近可行域右上側(cè)且接近邊界的所有整點(diǎn)值列舉出來分別檢驗(yàn)，最后可得在（8，6）點(diǎn)時(shí)，Zmax=10000元。

綜上所述，線性規(guī)劃在解題過程中的疑難問題大多是因概念模糊，思路不清，方法掌握不熟練，本文針對常見的不等式轉(zhuǎn)化、平面圖形以及整點(diǎn)求解分別進(jìn)行了例題的解析，總結(jié)出了突破該類疑難問題的突破策略，通過明確的解題思路幫助學(xué)生不斷提高解題能力。

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ISSN2095-6711/Z01-2015-07-0050