崔益鳳

教是為了不教.數(shù)學(xué)解題思想策略是教師落實(shí)“教是為了不教”要求的重要內(nèi)容之一.新課改強(qiáng)調(diào)，學(xué)習(xí)主體要領(lǐng)悟并運(yùn)用解決問題方法策略進(jìn)行高效、深入的運(yùn)用和實(shí)踐.筆者對當(dāng)前初中數(shù)學(xué)階段解題思想策略進(jìn)行了梳理匯總，發(fā)現(xiàn)經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)解題思想策略為數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化、函數(shù)、方程等.下面主要論述常見解題數(shù)學(xué)思想策略在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合解題思想策略在問題教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)問題案例通過精確性的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行展示，借助形象性的圖形符號進(jìn)行補(bǔ)充.數(shù)形結(jié)合解題思想就是運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科所具有的精確性和直觀性等特點(diǎn)，通過以數(shù)補(bǔ)形，以形補(bǔ)數(shù)，實(shí)現(xiàn)問題案例的有效解答.

問題1：如圖所示，四邊形ABCD是梯形，其中AD∥BC，已知AD、BC的長度分別為a、b（a

點(diǎn)評：上述問題解答過程中，僅通過對問題條件內(nèi)容的分析，解決問題較困難，需要借助于所提供的平面圖形符號，通過數(shù)形結(jié)合的解題思想策略，找尋問題解答的切入點(diǎn).通過分析，可以發(fā)現(xiàn)，要求出相關(guān)數(shù)據(jù)，需要進(jìn)行圖形構(gòu)建，延長BA、CD相交于點(diǎn)O，利用三角形相似及列方程的形式，從而求出所需要求的數(shù)值.

問題2：如圖所示，在△ABC中，∠BCA=90°，EF⊥AB于點(diǎn)F，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BEF=∠CDG，BF=DG，如果BC=12，AD=5，求CE的長度.

分析：如果知道BE的長度，問題解答就可以變得輕松簡單，通過對問題條件及圖形符號的分析可以發(fā)現(xiàn)，要求BE的長度，通過條件可以知道，應(yīng)該借助于直角三角形的全等的判定定理，得到Rt△BEF≌Rt△DAG，這可以求得AD=BE=5，從而求出CE的長度.

評注：解答求證此類圖形符號類的問題案例時(shí)，應(yīng)在充分掌握問題條件內(nèi)容基礎(chǔ)上，根據(jù)所提供的圖形符號，進(jìn)行認(rèn)真觀察分析，找尋問題條件揭示的條件及隱含的等量關(guān)系進(jìn)行解答.

二、分類討論解題思想策略在問題教學(xué)中的運(yùn)用

分類討論解題思想策略，對學(xué)習(xí)對象思維嚴(yán)密性、縝密性特性培養(yǎng)具有促進(jìn)和提升作用.學(xué)習(xí)對象在問題解答過程中，對出現(xiàn)多個(gè)結(jié)果時(shí)，應(yīng)根據(jù)問題要求分別甄別和判斷，選定最精當(dāng)、最適宜的條件內(nèi)容.

問題3：有一個(gè)半徑為r的圓上有點(diǎn)A，B，C等三個(gè)點(diǎn)，已知直線AD⊥直線BC，垂足為點(diǎn)D，直線BE⊥直線AC，垂足為點(diǎn)E，同時(shí)直線AD與直線BE解析：通過問題條件內(nèi)容的分析，在作出如圖1，2圖形基礎(chǔ)上，觀察發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)∠ABC處在圓中的位置各不相同，有兩種不同情況.要求∠ABC所對的弧長時(shí)，就需要根據(jù)不同情況進(jìn)行分類討論.根據(jù)同角的余角相等求出∠H=∠C，再根據(jù)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似求出△ACD和△BHD的2倍求出∠ABC所對的弧長所對的圓心角，然后利用弧長公式列式計(jì)算即可得解.

圖1 圖2

評注：本題考查了弧長的計(jì)算，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，求解時(shí)需要根據(jù)∠ABC的不同情況進(jìn)行討論，解答中判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵.

三、轉(zhuǎn)化解題思想策略在問題教學(xué)中的運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)問題教學(xué)活動中，轉(zhuǎn)化解題思想策略運(yùn)用相對較廣泛，其運(yùn)用的前提，就是要準(zhǔn)找知識點(diǎn)之間的深刻聯(lián)系，通過某一“載體”或條件，進(jìn)行有效轉(zhuǎn)換，使問題由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，由繁瑣變?yōu)楹喴祝瑢?shí)現(xiàn)問題有效解答.

問題4：如圖所示，小明要從A地到B地游玩，需要經(jīng)過公路的C地，已知圖中AC的長度為10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，現(xiàn)在由于道路改造原因，準(zhǔn)備在A點(diǎn)和B點(diǎn)之間之間修一條筆直的公路.（1）試求出改直的公路AB的長度；（2）那么小明走經(jīng)過改直后的公路比原來的路線縮短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

分析：將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)問題案例解答中經(jīng)常使用的一種方法.通過問題條件可以知道，要求改直的公路AB的長度，需要進(jìn)行構(gòu)造法，作CH⊥AB于H.此時(shí)在Rt△ACH中，結(jié)合三角函數(shù)內(nèi)容，求得CH，AH，在Rt△BCH中，求得BH，再根據(jù)AB=AH+BH，即可求解；第二小題要求出縮短的距離，可以根據(jù)Rt△BCH三角函數(shù)求得BC的長度，再根據(jù)AC+BC﹣AB列式計(jì)算，從而求得少走的距離.

點(diǎn)評：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，主要是三角函數(shù)的基本概念及運(yùn)算，關(guān)鍵把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計(jì)算.

四、方程解題思想策略在問題教學(xué)中的運(yùn)用

方程解題思想策略，就是針對數(shù)學(xué)問題案例，特別是當(dāng)出現(xiàn)問題案例中出現(xiàn)已知量與未知量之間具有錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系前提下，借助于列方程或方程組的方式，構(gòu)建有關(guān)的方程，通過運(yùn)用解方程的形式解答問題.

分析：上述問題案例解題時(shí)需要運(yùn)用二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識內(nèi)容，解題時(shí)可以根據(jù)點(diǎn)C的位置分情況確定出對稱軸解析式，然后設(shè)出拋物線解析式，構(gòu)建方程組，再將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入求解即可.

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，難點(diǎn)在于分情況確定出對稱軸解析式并討論求解.

需要注意的是，在實(shí)際運(yùn)用過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)幾個(gè)解題思想策略同時(shí)運(yùn)用的情況，學(xué)生要根據(jù)問題條件及解題要求進(jìn)行有效運(yùn)用，深入實(shí)踐.