黃文鋒, 鄒孔慶,2, 孫建鵬, 王美芹

(1合肥工業(yè)大學(xué)，安徽 合肥 230009；2中鐵四局集團(tuán)鋼結(jié)構(gòu)有限公司，安徽 合肥 230022；3西安建筑科技大學(xué)，陜西 西安 710055)

普立特懸索橋位于云南省宣威市境內(nèi)，橫跨深度近400m的普立大溝，是普宣公路全線關(guān)鍵控制性工程之一．設(shè)計(jì)采用主橋960 m的雙塔單跨懸索橋，主橋跨徑布置為166+628+166 m．主纜橫向布置兩根，主纜橫橋向中心間距為26 m．上部結(jié)構(gòu)主橋采用628 m單跨簡支鋼箱加勁梁懸索橋，普立岸主墩塔高154.3 m，宣威岸主塔高162.2 m，主纜邊跨均為166 m，索塔采用直塔柱門式框架結(jié)構(gòu)，基礎(chǔ)采用群樁基礎(chǔ)，普立岸采用隧道錨，宣威岸采用重力錨．下部結(jié)構(gòu)采用等截面鋼筋混凝土矩形墩、群樁基礎(chǔ)，普立岸采用重力式橋臺，宣威岸采用肋板式橋臺，橋型布置如圖1所示．

圖1 普立特懸索橋橋型布置圖Fig.1 PLT suspension bridge

大跨度橋梁屬于輕柔結(jié)構(gòu)．其風(fēng)致振動會給過往車輛及行人安全帶來很大影響，容易引起橋梁結(jié)構(gòu)局部構(gòu)件的疲勞問題[1]，有必要對其風(fēng)致抖振問題進(jìn)行研究．橋梁在隨機(jī)風(fēng)荷載作用下的響應(yīng)計(jì)算主要包括頻域法和時域法兩類．頻域分析方法較為簡單，但其需要計(jì)入一定數(shù)量的模態(tài)，得到的響應(yīng)值為數(shù)字特征，并且只能進(jìn)行線性分析．而時域法一般將結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元法離散后進(jìn)行時程分析，可以得到其各種響應(yīng)的時程，計(jì)算結(jié)果較為清晰簡單，同時可以深入理解各種非線性因素對大跨度橋梁空氣動力特性的影響．國內(nèi)外一些學(xué)者對大跨度橋梁結(jié)構(gòu)非線性抖振時域分析都進(jìn)行了較為深入的研究[2]．但時域分析的不足之處在于公式分析求解難度較大，采用數(shù)值分析需要較高的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，耗時．但隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，這些問題基本上都可以解決，抖振響應(yīng)時域分析法已經(jīng)成為橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)研究的重要課題[3]．

進(jìn)行時域分析的核心是得到荷載時程，因而抖振力的隨機(jī)模擬成為首先要解決的問題，目前采用的方法通常是根據(jù)已知的脈動風(fēng)功率譜模擬得到對應(yīng)的風(fēng)速時程，再由準(zhǔn)定常理論將風(fēng)速轉(zhuǎn)化抖振力時程，編寫相應(yīng)的循環(huán)加載抖振力數(shù)據(jù)的程序，并在ANSYS的MATRIX27單元加入氣動剛度矩陣和氣動阻尼矩陣考慮自激力作用[4]，最后利用ANSYS軟件循環(huán)讀入相應(yīng)數(shù)據(jù)到橋梁結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)上，求解動力方程，獲取橋梁時域內(nèi)的抖振響應(yīng)分析結(jié)果．本文對云南普立特大橋的抖振響應(yīng)的時域分析采用了與上述相同的分析方法．

1 脈動風(fēng)模擬

本研究借鑒 George Deodatis 的諧波合成法模擬了云南普立特大橋處的空間脈動風(fēng)場[5,6]．在該橋梁有限元模型上共設(shè)置n個風(fēng)荷載施加點(diǎn)，對應(yīng)的形成 n維零均值平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程向量 f(t)，如下所示：

其中，N為充分大的正整數(shù)；Δω為頻率增量，等于ωup/N，ωup為截止圓頻率，當(dāng) ω＞ωup時，S0(ω)=0；Фml為均勻分布于[0,2π]區(qū)間的隨機(jī)相位角；Hjm(ωml)為矩陣 H(ω)正的元素，H(ω)是 S0(ω)的 Cholesky 分解，其中 S0(ω)、H(ω)如下式（3）及（4）所示；θjm(ωml)為 Hjm(ωml)的復(fù)角．

綜上所述，已知 S0(ω)，適當(dāng)選擇 N、ωup、Δt就可以獲得好的隨機(jī)過程樣本；同時采用FFT（傅里葉變換技術(shù)）技術(shù)，大大提高了該類方法的計(jì)算效率.

針對大跨度橋梁而言，整個主梁基本處于同一高度，可近似認(rèn)為沿主梁布置的n個模擬點(diǎn)具有相同的平均風(fēng)速和水平脈動功率譜．

其中：Δjm為 j、m 兩點(diǎn)間距離；Coh(Δjm,ω)為相干函數(shù)．

考慮到橋面上模擬點(diǎn)為等間距布置(除主梁離橋墩較近的點(diǎn)，但距離相差不大)，間距為Δ，則有Coh(Δjm,ω)采用 Davenport相干函數(shù).

對主塔而言自然風(fēng)的風(fēng)速正交譜很弱，一般可忽略，故沿主塔高度上各點(diǎn)的互功率譜表達(dá)式為(j≠m)：

2 抖振力計(jì)算

模擬得到脈動風(fēng)速時程后，就可將其轉(zhuǎn)化為作用于結(jié)構(gòu)上的風(fēng)荷載時程．通常將風(fēng)致風(fēng)荷載分為三部分：平均風(fēng)引起的靜風(fēng)力、脈動風(fēng)引起的抖振力和氣動耦合產(chǎn)生的自激力，其中靜風(fēng)力計(jì)算公式可參見文獻(xiàn) [7]，自激力計(jì)算公式見下文，抖振力的計(jì)算公式參見文獻(xiàn)[8]，具體來說脈動風(fēng)作用下橋梁單位展長的抖振力計(jì)算公式如下所示：

其中：Lb(t)、Db(t)、Mb(t)分別為在初始風(fēng)軸坐標(biāo)系下的氣動升力、阻力及扭矩；ρ為空氣密度；U為設(shè)計(jì)基準(zhǔn)風(fēng)速；B為橋梁主梁的計(jì)算寬度；u(t)、w(t)分別為順風(fēng)向及垂直向脈動風(fēng)速；CD、CL、CM和DC′、LC′、MC′分別為主梁初始風(fēng)攻角方向上的氣動阻力、升力和扭矩系數(shù)及其導(dǎo)數(shù)．為便于在有限元中實(shí)現(xiàn)，常將抖振力轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)集中力，采用集中法，將單元上的三分力堆積到節(jié)點(diǎn)上，以集中力的形式施加到有限元模型上，其風(fēng)軸坐標(biāo)系的抖振力的轉(zhuǎn)換節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系關(guān)系如下所示：

其中：Fy、Fz、FM分別為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系下的抖振力項(xiàng)，α0為初始風(fēng)攻角.

對于主塔和橋墩，僅考慮其抖振阻力的作用，單位長度上的主塔抖振阻力的表達(dá)式為

其中，Bz為橋塔和橋墩在迎風(fēng)面的投影面積；CD為主塔的阻力系數(shù)．

為便于計(jì)算，通常將實(shí)際非線性的抖振力進(jìn)行準(zhǔn)定常假設(shè)下的線性化處理，忽略其中小量的耦合作用，雖然對結(jié)構(gòu)計(jì)算精度有所影響，但對一般橋梁而言計(jì)算精度是滿足要求的．

3 自激力計(jì)算

自激力是風(fēng)場和彈性體之間的相互作用．為方便在 ANSYS中實(shí)現(xiàn)，此處采用曾憲武等人在Miyat[9]準(zhǔn)定常氣動模型基礎(chǔ)上，通過進(jìn)行雙泰勒級數(shù)展開導(dǎo)出的 12階氣動剛度矩陣和氣動阻尼矩陣來表達(dá)自激力[10]．

其中：()yt˙、()zt˙、θ˙分別為主梁截面處的速度和角速度；ml為主梁的特性長度．

從而，單位展長主梁截面上的自激力表示為

式中：K0、C0為單位展長氣動剛度、阻尼矩陣，其具體表達(dá)式見曾憲武等人的研究[11]；δ(t)、(t)δ˙為單元位移向量以及速度向量．

利用 ANSYS的自定義單元 Matrix27[4]，可以直接定義質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣，各矩陣的參數(shù)作為實(shí)常數(shù)來輸入，氣動自激力屬于非保守力，采用的是非對稱矩陣．氣動剛度矩陣和阻尼矩陣要分別建立單元，不能共用一個Matrix27單元．主梁跨中區(qū)域施加各參數(shù)值為端部四個單元（分別為兩個氣動剛度矩陣和氣動阻尼矩陣）的兩倍．

4 抖振響應(yīng)分析

4.1 建模及風(fēng)荷載

對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散，有主纜、吊索、主塔、加勁主梁、橋墩等組成．主纜和吊索采用Link8單元模擬，主塔和橋墩采用Beam4單元模擬，加勁主梁采用Beam4單元模擬，主梁與主塔連接采用彈簧-阻尼單元Combin14和Mass21．利用ANSYS軟件建立了其三維有限元模型，全橋模型共有908個節(jié)點(diǎn)，869個單元，其中主纜單元164個，吊索單元102個，主塔和橋墩單元336個，主梁單元152個，其它的均為質(zhì)量元．主梁采用空間魚刺模型，剛性魚骨刺橫梁和主塔通過主纜連接橫梁.此全橋空間有限元模型如圖2所示．在懸索橋結(jié)構(gòu)的仿真模擬中, 主梁節(jié)點(diǎn)和吊索吊點(diǎn)采用剛性連接模擬，橋塔與主纜間采用剛性連接，主梁與橋塔采用彈性連接順橋向采用有阻尼約束方式模擬，全橋結(jié)構(gòu)的邊界條件為兩個橋塔的底部完全固結(jié)，主纜在兩側(cè)錨定固結(jié)，在塔頂固結(jié)對于大跨度懸索橋而言，以恒載下的非線性靜力分析為基礎(chǔ)，動力響應(yīng)是以恒載變形后的狀態(tài)下分析的，目的是驗(yàn)證結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)時的幾何位置是否合理．

圖2 全橋有限元模型Fig.2 Finite element model of PLT suspension bridge

對大跨度懸索橋進(jìn)行動力特性分析得到其前十階振型如表1所示．由表可知，普立特懸索橋的基本周期為8 s左右，表現(xiàn)為主梁側(cè)向漂移和反對稱豎彎，頻率主要分布在0.12～1 Hz內(nèi)，其分布較為密集，同時橋塔振動為主的振型出現(xiàn)較晚如橋塔反對稱側(cè)彎在31階發(fā)生，頻率約為0.84 Hz，故橋梁的動力特性主要表現(xiàn)為前幾階振型．

表1 橋梁的自振頻率及振型Table 1 Frequencies and modes of bridge

利用前述介紹的脈動風(fēng)速的諧波合成法，采用Matlab編制相應(yīng)脈動風(fēng)模擬程序，對本橋主要的模擬參數(shù)如表 2所示．相干函數(shù) Cohij(ω)如圖 3所示．從圖中可以看出，相關(guān)函數(shù)對其頻率的敏感度較強(qiáng)，當(dāng)空間間距一定時，頻率越小，其相關(guān)函數(shù)越大.

表2 脈動風(fēng)場模擬主要參數(shù)Table 2 Main parameters for fluctuating wind simulation

圖3 空間相干函數(shù)Cohij(ω)Fig.3 Spatial coherence function Cohij(ω)

模擬得到的主梁順風(fēng)向及垂直向脈動風(fēng)速時程結(jié)果如圖4所示．模擬得到的垂直向脈動風(fēng)速功率譜與目標(biāo)譜的對比如圖 5所示．通過對比可知，數(shù)值模擬得到的風(fēng)場與目標(biāo)吻合較好，驗(yàn)證了模擬方法和所編寫模擬程序的可靠性及有效性．

圖4 主梁跨中點(diǎn)模擬得到的順風(fēng)向、垂直向脈動風(fēng)速時程Fig.4 Time history of simulated longitudinal and vertical fluctuating wind speeds at middle point of the main span

圖5主梁跨中點(diǎn)垂直向脈動風(fēng)速功率譜對比Fig.5 Comparison of fluctuating wind spectrum at the middle point of main span

4.2 計(jì)算結(jié)果分析

脈動風(fēng)速時程模擬完成后，采用基于準(zhǔn)定常理論的抖振力計(jì)算公式，就可以將風(fēng)速時程轉(zhuǎn)化為作用于橋梁的等效抖振力時程，此過程通過在Matlab軟件中生成數(shù)據(jù)文本并考慮節(jié)點(diǎn)的等效迎風(fēng)面積，并利用ANSYS中的APDL進(jìn)行二次開發(fā)即可實(shí)現(xiàn)，其中主梁在風(fēng)軸坐標(biāo)系下的氣動三分力系數(shù)如圖 6所示．結(jié)構(gòu)的自激力分析采用 ANSYS自帶的MATRIX27單元輸入其氣動剛度矩陣和氣動阻尼矩陣的參數(shù)完成．計(jì)算中分別考慮了-12°～12°共25種工況，此處僅以0°工況為例進(jìn)行結(jié)果分析．將得到的抖振力時程施加于該橋的有限元模型，編寫相應(yīng)的循環(huán)加載批量數(shù)據(jù)和后處理程序，計(jì)算時間取1000s，分別計(jì)算了考慮與不考慮自激力作用時該橋的抖振響應(yīng)，結(jié)果如圖7所示．計(jì)算中考慮結(jié)構(gòu)的幾何非線性的因素，對此橋而言，幾何非線性主要來源于纜索的垂度效應(yīng)、結(jié)構(gòu)初應(yīng)力和結(jié)構(gòu)大變形三個因素的影響，采取措施是在ANSYS中打開幾何大變形開關(guān)（Nlgeon，on）、應(yīng)力剛化（Stess stiffening）、更變坐標(biāo)（upcood，1，on），并采用的Newmark-β方法計(jì)算橋梁的抖振響應(yīng)．

圖6 普立特懸索橋氣動三分力系數(shù)Fig.6 Aerodynamic coefficients of Pu Li Te bridge

圖7 考慮和不考慮自激力作用下主梁跨中點(diǎn)的抖振響應(yīng)Fig.7 Buffeting responses at the middle point of main span with and without considering self-excited forces

由圖可知，不考慮自激力作用時，主梁跨中節(jié)點(diǎn)處的垂直向、橫橋向及扭轉(zhuǎn)向抖振位移均以零為均值上下波動．通過對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)可知橫橋向位移響應(yīng)的均方差為6.12 cm比垂直向位移響應(yīng)的均方差5.08 cm大20%左右．考慮自激力作用時，垂直向位移響應(yīng)均值有下降的趨勢，振動幅度也略有下降，此時自激力起到微弱的正阻尼作用．橫橋向及扭轉(zhuǎn)向位移響應(yīng)均值均略有上升的趨勢，但整體振動幅度變化不是很明顯．總之，對本橋考慮了自激力作用后，較為明顯的作用是改變了橋梁振動的平衡位置，但自激力所起的正阻尼作用效果不明顯．

6 結(jié)論

本文根據(jù)普立特大跨度懸索橋的結(jié)構(gòu)形式特點(diǎn)，結(jié)合脈動風(fēng)相關(guān)特性，利用Deodatis的諧波合成法，很方便的對普立特大跨度懸索橋的脈動風(fēng)場進(jìn)行了模擬，并對模擬效果進(jìn)行了檢驗(yàn)，驗(yàn)證了所采用模擬方法和所編模擬程序的可靠性及有效性．

通過利用ANSYS軟件完成了脈動風(fēng)作用下普立特大跨度懸索橋橋梁考慮與不考慮自激力作用時的抖振響應(yīng)計(jì)算．通過研究發(fā)現(xiàn)，考慮與不考慮自激力時計(jì)算得到的該橋抖振響應(yīng)的振動幅度變化不大，主要作用在于改變了橋梁振動響應(yīng)的平衡位置，自激力在局部方向(垂直向)的響應(yīng)起到正阻尼的作用，另外，橫橋向橋梁抖振位移響應(yīng)的均方差比垂直向大20%左右．整體來看，從橋梁抖振位移響應(yīng)時程可以獲取比較全面的結(jié)構(gòu)抖振力變形信息，為類似橋梁的抗風(fēng)設(shè)計(jì)提供參考．

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