☉山東省沂源縣青少年學生校外活動中心 耿雷生

☉山東省沂源縣實驗中學 崔春近

于平淡處現(xiàn)“波瀾”于無聲處見“驚雷”
——對一道中考題的賞析與反思

☉山東省沂源縣青少年學生校外活動中心 耿雷生

☉山東省沂源縣實驗中學 崔春近

教育部在《關(guān)于初中畢業(yè)、升學考試改革的指導意見》中明確要求，數(shù)學試題應設(shè)計一定的“開放性問題”，所以開放性的問題在各地市中考題中層出不窮，常見的題型有：給出條件，探究出各種結(jié)論；給出結(jié)論，探究結(jié)論成立的條件；方案設(shè)計題；解題策略的開放問題……2015年淄博市數(shù)學中考題第17題，是命制開放性試題上的又一次新的突破，讓人拍案叫絕、贊不絕口.筆者以此題為例，談自己的一點粗淺認識.

一、題目

（2015年淄博市中考題·17）對于兩個二次函數(shù)y1、 y2，滿足時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3，請寫出兩個符合題意的二次函數(shù)y2的解析式.（要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同）

二、題目特色賞析

本題與傳統(tǒng)的開放性題型不同，不僅僅是答案不唯一，而且兩個二次函數(shù)相加在日常練習中是沒有出現(xiàn)過的，需要考生在熟練掌握教材基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，認真讀題，細細分析，才能夠理出思緒.基礎(chǔ)較弱的學生沒有耐心讀完題，就宣告放棄了，部分中上游的學生，靈活運用所學知識的能力不夠，匆忙下筆，左碰右碰，在亂戰(zhàn)中敗下陣來.由此可見，命題人的出題角度、設(shè)計的立足點可謂別出心裁、獨具匠心，具體賞析如下.

1.立足教材，平中見奇

二次函數(shù)是初中代數(shù)的核心內(nèi)容，又是高中教材圓錐曲線的基礎(chǔ)，二次函數(shù)是中考的必考內(nèi)容，但怎樣考，從什么角度入手，怎樣創(chuàng)新，是命題人一直探索的問題.本題給出了很好的范例，題目“脫去”了給出點的坐標求二次函數(shù)解析式的“俗套”，從二次函數(shù)的定義、二次函數(shù)圖像上點的坐標與二次函數(shù)解析式的關(guān)系、二次函數(shù)與某點處具體函數(shù)值間的區(qū)別入手，從學生理解函數(shù)最薄弱的環(huán)節(jié)展開，重點考查二次函數(shù)頂點式的同時，將一元二次方程的解法融入其中.x=m時，y1=5，y2=3，所以求出m的值，這是解決本題的第一個關(guān)鍵.來源于教材最基本的知識，借助“y1+y2”這一“新”的形式，讓題目展現(xiàn)了不一樣的精彩，盡顯命題人濃厚的知識功底和數(shù)學素養(yǎng).

2.秉承傳統(tǒng)，敢于創(chuàng)新

這道題來源于九年級上冊二次函數(shù)部分，通過y1、y2兩個函數(shù)相加得到一個新的復合函數(shù)，通過創(chuàng)新變式將函數(shù)與方程的關(guān)系、拋物線的頂點式、拋物線的頂點坐標、開口方向的考查融在了一道開放題中，出題人的高明之處在于：學生讀完題之后，甚至經(jīng)過認真分析之后，還不知道這是一道開放性題目，盡管題目中給出了很多的“暗示”，如“請寫出兩個符合題意的二次函數(shù)y2的解析式”“要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同”，都說明本題的答案不唯一.仔細分析并不難的一道題目，在命題人的創(chuàng)新設(shè)計下，卻在考場中擋住了“千軍萬馬”.

3.誤區(qū)重重，精彩紛呈

中考結(jié)束后，筆者及時調(diào)查了本地區(qū)考生對本題的求解情況，根據(jù)考生的反饋，整理了6種理解的誤區(qū).

誤區(qū)1：x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，又因為y1+所以這一類學生直接把（這一類學生直接把y1看作是5，徹底混淆了函數(shù)與具體的x下的函數(shù)值之間的區(qū)別）寫在了橫線上.

誤區(qū)2：x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，又因為y1+，所以的最小值是，認定這個答案一定錯誤，就干脆放棄了.

誤區(qū)3：設(shè)=a1x2+b1x+c1，y2=a2x2+b2x+c2，然后根據(jù)題意，向兩個函數(shù)代入數(shù)，由于所設(shè)的參數(shù)太多，對于參數(shù)間的關(guān)系理不清，費了半天的功夫，卻徒勞無功.

誤區(qū)4：部分優(yōu)秀生能夠很快準確把握題意，x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，二次函數(shù)y2有最小值3，令Y= y1+y2，則x=m時，Y=8.所以所以m=0或，從而得到y(tǒng)2的頂點坐標為（0，3）或3），這部分同學離答案只有一步之遙，而他們卻開始尋找另一個條件，想把y2的解析式直接求出，根本沒有分析出這是一道開放性題目，從而走上了窮途末路.

誤區(qū)5：部分優(yōu)秀學生僅僅抓住“x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3”這一句話，而x=0時，y1=5，y2=3正好符合y1+y2=8，所以x=0時，y2有最小值3，可以讓y2=x2+3，對于另一個則認為只要a不同就可以了，忽視了括號內(nèi)的要求.（要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同）

誤區(qū)6：分析出x=0時，y2有最小值3，就認為二次項的系數(shù)可以任意取值，有個別同學取a=2，例如：讓y2=2x2+ 3，這一部分同學只研究y2，忽略了驗證y1也是二次函數(shù)，還有個別同學忙著高興自己找到了y2的對稱軸是y軸，而忽視了y2的開口應該向上.

4.能力立意，引領(lǐng)教學

命題人云鵬老師曾多次強調(diào)要重視教材研究，倡導命題的開放取向，這道創(chuàng)新型中考開放性題目，為一線教師下一步的創(chuàng)新教學指明了方向，也能夠促使教師在日常教學中研究培養(yǎng)學生的學習習慣與思維能力，對師生轉(zhuǎn)變教與學的方式發(fā)揮了較好的導向作用.

一道好的中考題，就是一面“鏡子”，就是下一步教學的“指向標”.本題進一步引導教師不能僅僅局限在教材基本知識的傳授講解上，而應該在知識的融合和變式教學中下大力氣，讓數(shù)學真正“活”起來；在問題探究中，使問題的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)得到揭示（像本題中函數(shù)圖像上點的坐標與函數(shù)的關(guān)系），吃透概念，把握住本質(zhì)，讓學生做到以不變應萬變，才能夠讓學生在有限的解題教學中達成“做一題，會一類，通一片”的教學追求.

三、正確解法

由誤區(qū)4中的部分內(nèi)容可得y2的頂點坐標為（0，3）或則y2=ax2+3或（a為不等于2的正值即可）.

四、幾點反思

1.準確把握數(shù)學基礎(chǔ)知識，深化理解數(shù)學的本質(zhì)

部分教師，對于教材中基礎(chǔ)知識的重視程度不夠，片面地認為：沒有必要在基礎(chǔ)知識上“浪費”太多的時間，片面地追求“難”題、“偏”題，試想沒有好的“根基”，如何談“高層建筑”？哪一道中考難題不是取材于教材中的基礎(chǔ)知識？有大學教授曾建議：“中學數(shù)學教學應該重視教材的開發(fā)與利用，重數(shù)學本質(zhì)的揭示與思維過程的暴露，重知識的形成過程與知識間的邏輯關(guān)系，重數(shù)學概念的理解和內(nèi)化，重數(shù)學思想方法的總結(jié)和提煉.”

2.注重整合教材，構(gòu)建立體的知識框架

曾聽過一節(jié)“求二次函數(shù)解析式”的復習課，教師按部就班地展示一組常規(guī)的題目，通過練習強化了學生對三種解析式求法的掌握，如果是新授課后的一節(jié)復習鞏固課，還可以理解，但作為一節(jié)面臨中考的課來講解，就顯得平淡低效了.復習教材的基礎(chǔ)知識是必須的，但如果僅僅停留在基礎(chǔ)知識的復習上，缺少對知識的再認識，沒有整合再生，就不能完善學生的認知結(jié)構(gòu)，元認識能力也得不到提升.有一位數(shù)學教師出過這樣一道題：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標是（2，5），還經(jīng)過點（1，0），試用三種方法求二次函數(shù)的解析式.此題目就很好地整合了教材中求二次函數(shù)解析式的三種辦法，學生比較容易想到用頂點式求解，而如何用一般式和交點式，又是對學生靈活運用所學知識的一次檢驗.將二次函數(shù)的開口方向、頂點坐標公式、對稱軸、一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系等知識融在了一道求二次函數(shù)解析式的題目中，“小”題目，發(fā)揮“大”作用.許多教師談到學生解題能力的提升，都認為不是靠大量的重復機械的訓練形成的，而如何設(shè)計思維含量高的題目，為學生構(gòu)建立體知識框架，是教師主導作用的重要體現(xiàn).

3.注重學生的思維提升，注重變式創(chuàng)新

不少一線的數(shù)學教師在教材的“表面”處理上，很“深”，很“透”，對于一些常規(guī)題目反復演練，但在變式創(chuàng)新上做的不夠，致使學生在遇到“新”題目背景的時候，就找不到解題思路了.只有教師自己具有變式創(chuàng)新的意識，才能在學生的思維最近發(fā)展區(qū)域內(nèi)提出具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學問題，引發(fā)學生實質(zhì)性的思考；才能設(shè)計出激起學生探究欲望，激起思維碰撞“火花”的問題，讓學生分析完題目后，有一種“哦，原來如此”的“新”感覺.筆者認為，教師創(chuàng)新意識的轉(zhuǎn)變，每一節(jié)變式的創(chuàng)新教學課，都能夠化為學生內(nèi)在的力量，為學生在數(shù)學學習上的進步與提高搭建橋梁.

五、寫在最后

命題組用開放題型，是想告訴廣大備考的師生，從開放題走向“開放的數(shù)學教學”.每位教師都是富含寶藏的礦山、技藝高超的園丁，應著力引領(lǐng)學生去學“活”的數(shù)學，而不是死記概念、公式的數(shù)學，力爭讓每一名學生都根據(jù)自己的性格特點，在數(shù)學上得到個性的發(fā)展.Z