束方平，張毅，朱建青*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009，2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

基于分?jǐn)?shù)階模型的Lagrange系統(tǒng)的積分因子與守恒量

束方平1，張毅2，朱建青1*

（1.蘇州科技學(xué)院數(shù)理學(xué)院，江蘇蘇州215009，2.蘇州科技學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇蘇州215011）

為了進(jìn)一步研究基于分?jǐn)?shù)階模型的力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，該文將積分因子方法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)，建立了尋找分?jǐn)?shù)階模型下Lagrange系統(tǒng)守恒量的一種新方法。首先，尋求分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)存在守恒量的必要條件和建立系統(tǒng)積分因子與守恒量的關(guān)系；其次，定義并給出用于確定積分因子的分?jǐn)?shù)階廣義Killing方程；最后，得到基于分?jǐn)?shù)階模型的Lagrange系統(tǒng)的守恒量。文末舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

分?jǐn)?shù)階模型；Lagrange系統(tǒng)；積分因子；守恒量

自然界許多物理系統(tǒng)因其特殊的材料和化學(xué)特性而展現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)行為[1]，事實(shí)上，實(shí)際系統(tǒng)大多是分?jǐn)?shù)階的[2]，因此，利用分?jǐn)?shù)階模型來(lái)描述自然界和工程實(shí)際中的各種現(xiàn)象更為準(zhǔn)確。分?jǐn)?shù)階微積分的研究擴(kuò)展了人們的思路，填補(bǔ)了傳統(tǒng)意義下微積分表示的缺陷。近年來(lái)分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，如物理學(xué)、金融學(xué)、水文學(xué)、高分子聚合物理、生物學(xué)、混沌動(dòng)力學(xué)、控制理論等[3]。將分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用于力學(xué)系統(tǒng)建模問題要追溯到Riewe[4-5]的工作，他建立了力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程和Hamilton正則方程。分?jǐn)?shù)階變分問題的對(duì)稱性與守恒量的研究是分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)重要方面。Frederico和Torres基于變分原理引進(jìn)分?jǐn)?shù)階守恒量的概念，首先研究了分?jǐn)?shù)階變分問題的不變性，給出分?jǐn)?shù)階Noether理論[6]。Atanackovi[7]等人研究了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義下的不變性和Noether理論，并指出Frederico和Torres分?jǐn)?shù)階守恒量定義的不清晰性。

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

左Remiann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下[15-16]右Remiann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義如下

其中，f為區(qū)間[t1，t2]上的連續(xù)可微函數(shù)，Γ（*）為Gamma函數(shù)，n-1≤α＜n。若導(dǎo)數(shù)α為整數(shù)時(shí)這些導(dǎo)數(shù)就成為

Remiann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的合成有如下關(guān)系

2 分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)及其積分因子

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs（s=1，…，n）來(lái)確定?；赗emiann-Lionville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即Lagrange函數(shù)為[7]

分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)可表示為

定義1函數(shù)稱為分?jǐn)?shù)階模型下Lagrange系統(tǒng)（7）的分?jǐn)?shù)階守恒量，當(dāng)且僅當(dāng)沿著運(yùn)動(dòng)方程（7）的解曲線恒成立

定義2如果不變式

恒等變?yōu)?/p>

其中，ξ0，G和μs為的函數(shù)，則稱為分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（7）的積分因子。

3 守恒定理

聯(lián)合式（7）和式（10），有

定理1如果函數(shù)ξs是分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)（7）的積分因子，那么系統(tǒng)存在守恒量（第一積分），形如

特別地，如果分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)消失，則可得到經(jīng)典Lagrange系統(tǒng)的守恒量

對(duì)于Lagrange系統(tǒng)（7），如果函數(shù)ξs是其積分因子，那么每一組函數(shù)ξs，ξ0，G和μs一定滿足必要條件（11），將方程（11）展開有

利用方程（7），式（14）可進(jìn)一步寫成

可見，如果函數(shù)組ξs，ξ0，G和μs滿足必要條件（16），那么沿著Lagrange系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌線，該函數(shù)組使式（12）的右邊成為一個(gè)常數(shù)。于是有

定理2如果函數(shù)組ξs，ξ0，G和μs滿足必要條件（16），那么Lagrange系統(tǒng)（7）存在守恒量（12）。

積分方程（16）或利用其他方法可以求得函數(shù)組ξs，ξ0，G和μs對(duì)應(yīng)于方程（16）的任意一個(gè)特解或函數(shù)解，由定理2可以得到Lagrange系統(tǒng)（7）的一個(gè)守恒量。

利用上述定理來(lái)尋求Lagrange系統(tǒng)的守恒量關(guān)鍵在于找到函數(shù)組ξs，ξ0，G，μs。由于函數(shù)ξs，ξ0，G不依賴于，將方程（16）展開，令含項(xiàng)的系數(shù)和不含項(xiàng)的系數(shù)分別為零，得到的線性偏微分方程為

式（17）和（18）是關(guān)于（2n+2）個(gè)未知函數(shù)ξs，ξ0，G，μs的（n+1）個(gè)方程，稱為廣義Killing方程。由于方程數(shù)目小于未知函數(shù)的數(shù)目，故廣義Killing方程的解不是唯一的，通過(guò)適當(dāng)選取ξs，τ，G，μs可得到不同的守恒量。

4 算例

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Lagrange函數(shù)

其中，ω為常數(shù)。

系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

廣義Killing方程（17）、（18）給出

方程組（21）-（22）有解

根據(jù)定理1和定理2，相應(yīng)于函數(shù)組（23）-（24）系統(tǒng)存在如下守恒量

當(dāng)α→1時(shí)，式（25）、（26）就成為

5 結(jié)語(yǔ)

尋求系統(tǒng)的守恒量是分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)研究的一個(gè)重要方面。1984年，Djuki提出利用積分因子方法來(lái)構(gòu)造完整非保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的守恒量，該方法類似于構(gòu)造保守系統(tǒng)能量積分的經(jīng)典Lagrange方法，即通過(guò)運(yùn)動(dòng)微分方程乘以適當(dāng)?shù)姆e分因子的方法來(lái)直接構(gòu)造系統(tǒng)的守恒量。該文是對(duì)積分因子方法應(yīng)用的進(jìn)一步研究，將積分因子方法應(yīng)用于構(gòu)造分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)的守恒量，提供了尋求分?jǐn)?shù)階Lagrange系統(tǒng)守恒量的一個(gè)新途徑。

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Integrating factors and conserved quantities for Lagrange systems based on fractional order model

SHU Fangping1，ZHANG Yi2，ZHU Jianqing1
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Civil Engineering，SUST，Suzhou 215011，China）

In order to further study the conserved quantities of mechanical systems based on fractional order model,we applied the method of integrating factors to the fractional order Lagrange system and proposed a new method for finding the conserved quantities of Lagrange systems based on fractional order model.First,we studied the necessary conditions for the existence of the conserved quantities of the fractional order Lagrange systems and the relation between the conserved quantities and the integrating factors.Second,the fractional order generalized Killing equations used to determine the integrating factors were presented.Finally,we obtained the conserved quantities of the Lagrange systems based on fractional order model.Besides,an example was given to illustrate the application of the results.

fractional order model；Lagrange system；integrating factor；conserved quantity

O316MR（2000）Subject Classification：00A69

A

1672－0687（2015）02－0001－05

責(zé)任編輯：謝金春

2014－10－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272227）

束方平（1989-），女，江蘇鹽城人，碩士研究生，研究方向：力學(xué)中的數(shù)學(xué)方法。

*通信聯(lián)系人：朱建青（1962-），男，教授，碩士生導(dǎo)師，E－mail：zjq@mail.usts.edu.com。