楊振偉，金愛兵，周 喻，嚴 瓊，王 凱，高玉娟

（1.北京科技大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083；2.北京大學(xué) 前沿交叉學(xué)科研究院，北京 100083）

1 引 言

巖石的力學(xué)特性不僅表現(xiàn)出彈性和塑性，還具有與時間相關(guān)的性質(zhì)——流變特性。隨著地下工程規(guī)模的不斷擴大以及深度的逐漸增加，巖石蠕變效應(yīng)越來越明顯，對于蠕變特性的研究也越來越受到重視。Burgers模型是常用的流變模型之一，可以反映巖石的黏彈性，很多學(xué)者在Burgers模型的基礎(chǔ)上做了改進研究[1－2]。

室內(nèi)蠕變試驗主要集中在單軸蠕變試驗[3]和不同圍壓下的三軸蠕變試驗[4－11]。熊良宵等[12]對Burgers模型進行了修正，并將之用于蠕變試驗的擬合分析。但室內(nèi)試驗往往具有操作費時費力、載荷加載時間長、試驗費用高等缺點。

近年來，許多學(xué)者通過數(shù)值模擬的方法進行巖石流變特性的研究[13－14]。Sharifzadeh等[15]在室內(nèi)三軸蠕變試驗的基礎(chǔ)上，研究了巖體的蠕變特性對于隧道變形的影響，并在有限差分程序FLAC中用Burgers模型進行模擬；張志沛等[16]利用三維有限差分程序(FLAC3D)中的Burgers模型對不同形狀的試樣進行了蠕變特性模擬分析。

上述模擬和計算均建立在連續(xù)介質(zhì)理論的基礎(chǔ)上，而巖石由于長期的地質(zhì)作用和復(fù)雜自然環(huán)境的影響，存在著明顯的不連續(xù)區(qū)域和不同程度的缺陷。此時，采用連續(xù)介質(zhì)理論的數(shù)值分析方法對巖體進行分析存在一些不足。由Cundall[17]提出的顆粒流法及PFC程序是求解非連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的一個重要數(shù)值分析方法。該程序?qū)⒔橘|(zhì)離散為大量的小顆粒單元，并通過顆粒之間的相互作用去描述、研究非連續(xù)巖石材料的力學(xué)特性。Kang等[18]基于二維顆粒流程序(PFC2D)，采用法向Hertz-Mindlin模型、切向Burgers模型進行了雙軸蠕變試驗的研究；王濤等[19]在PFC2D中開發(fā)出廣義Kelvin本構(gòu)模型，并用于工程計算。結(jié)果表明，與線彈性接觸模型相比，采用廣義Kelvin接觸模型得到的結(jié)果與由Hoek-Brown強度準則得到的結(jié)果更為接近。

本文在對三維顆粒流程序PFC3D中的Burgers本構(gòu)模型進行深入研究的基礎(chǔ)上，分析了Burgers模型中各參數(shù)對于瞬時強度特性和流變特性的影響，總結(jié)得出參數(shù)調(diào)試的方法，并結(jié)合國內(nèi)已有的室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)，進行了巖石試樣蠕變試驗的模擬和研究。

2 Burgers流變模型

2.1 基于連續(xù)介質(zhì)理論的Burgers模型

Burgers模型是由一個馬克斯偉爾體和一個開爾文體串聯(lián)而成的流變模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。根據(jù)模型組成特點，基于連續(xù)介質(zhì)理論可以分別求出模型的本構(gòu)方程、蠕變方程、卸載方程和松弛方程[20]，并繪制蠕變和卸載曲線，如圖2所示。

圖1 Burgers流變模型Fig.1 Burgers rheology model

圖2 Burgers模型流變特性曲線Fig.2 Rheological curve of Burgers model

Burgers模型本構(gòu)方程為

式中：σ為應(yīng)力；ε為應(yīng)變；Em為馬克斯偉爾體彈性系數(shù)；ηm為馬克斯偉爾體黏性系數(shù)；Ek為開爾文體彈性系數(shù)；ηk為開爾文體黏性系數(shù)。

蠕變方程為

式中：σ0為恒定應(yīng)力；t為加載時間。

卸載方程為

松弛方程為

2.2 基于離散單元法的Burgers模型

連續(xù)介質(zhì)理論中的Burgers模型將試樣視為連續(xù)體，模型作用的對象是整個連續(xù)的試樣。而在離散單元法中，模型作用于兩個存在接觸的實體（顆粒與顆?；蝾w粒與墻體），數(shù)值積分方案如下[21]：

（1）對于模型中的開爾文體，可得

式中：uk為開爾文體相對位移；F為接觸力，±分別表示法向和切向。

利用有限差分法，取 uk和F 的平均值，可得

式中：Δt為時間步長；t 表示當(dāng)前時步計算結(jié)果；t+1表示下一時步計算結(jié)果。

對上式進行整理，可以得到 uk的計算公式為

式中：A、B為系數(shù)，可由下式求得

（2）對于模型中的馬克斯偉爾體，可得

式中：um為馬克斯偉爾體相對位移。

利用有限差分法，取F 的平均值，可以得到：

對上式進行整理，可以得到 um的計算公式為

（3）對于全部Burgers模型，有

式中：u為Burgers模型相對位移。

顆粒之間下一時步的接觸力Ft+1可以由ut+1、ut、、Ft計算得到：

式中：C、D為系數(shù)，可有下式求得

3 PFC3D 中Burgers模型參數(shù)調(diào)試

在連續(xù)介質(zhì)理論中，Burgers模型的有4個參數(shù)，而在離散單元法中，Burgers模型所需的參數(shù)有9個，如表1所示。

表1 Burgers模型參數(shù)Table 1 Parameters of Burgers model

為了明確各個參數(shù)對于瞬時強度特性和流變特性的影響，本文采用控制變量法對各參數(shù)進行分類研究。本文通過Fishtank生成直徑為50 mm、高為100 mm的圓柱體，最小顆粒半徑Rmin=1.38 mm，最大/最小粒徑比為1.66。為了方便調(diào)試，本文中將各參數(shù)法向和切向數(shù)值設(shè)為相同，即需要調(diào)試的參數(shù)為5個，分別是：Em、ηm、Ek、ηk和f。

針對上述參數(shù)，本文進行5組對照試驗，每組試驗3次，同一組內(nèi)的試驗之間只變化一個參數(shù)，其余參數(shù)均取為相同，由此得到各參數(shù)對瞬時強度特性和流變特性的影響，每組控制試驗所取參數(shù)和瞬時強度試驗結(jié)果如表2所示。

表2 對照試驗參數(shù)取值和瞬時強度試驗結(jié)果Table 2 Parameters in controlled experiments and results of instantaneous strength tests

3.1 Burgers模型參數(shù)對瞬時強度特性的影響

利用Burgers模型進行蠕變試驗或工程計算之前，需要對模型參數(shù)進行調(diào)試，使得彈性模量、泊松比、單軸抗壓強度、黏聚力和內(nèi)摩擦角等瞬時強度特性與室內(nèi)試驗結(jié)果相符合。此時，數(shù)值試樣可體現(xiàn)真實試樣的性質(zhì)，并用于蠕變試驗或工程計算。

按照表2中所列參數(shù)取值，進行了5組瞬時強度特性對照試驗，并將各組試驗的彈性模量、泊松比和單軸抗壓強度的變化在表2中列出。根據(jù)試驗結(jié)果，將各參數(shù)影響和調(diào)試方法總結(jié)如下：

（1）由第1組對照試驗可知，隨著彈性系數(shù)Em的增加，彈性模量、泊松比和單軸抗壓強度均有所增加，說明瞬時強度特性與彈性系數(shù)Em呈正相關(guān)。彈性元件的應(yīng)力-應(yīng)變與時間無關(guān)，可產(chǎn)生瞬時應(yīng)力和瞬時應(yīng)變，馬克斯偉爾體中的彈性元件與其他部分串聯(lián)，可獨立發(fā)揮作用，對彈性模量影響較大。

（2）由第2組和第4組對照試驗可知，即使馬克斯偉爾體和開爾文體的黏性系數(shù)(ηk和ηm)發(fā)生較大變化，瞬時強度特性未發(fā)生明顯變化。說明黏性系數(shù)(ηk和ηm)對于瞬時強度特性的影響不大，在匹配瞬時強度特性時無需調(diào)整。黏性元件的應(yīng)力-應(yīng)變與時間相關(guān)，在瞬時強度試驗中，由于作用時間較短，應(yīng)變量較小，對接觸力的影響不大，所以黏性元件幾乎不發(fā)揮作用。

（3）由第3組對照試驗可知，當(dāng)開爾文體的彈性系數(shù)Ek發(fā)生變化時，彈性模量、泊松比和單軸抗壓強度均未發(fā)生明顯變化。說明開爾文體的彈性系數(shù)Ek對于瞬時強度特性的影響不大，在匹配瞬時強度特性時無需調(diào)整。開爾文體中的彈性元件由于與黏性體并聯(lián)，應(yīng)變受到黏性元件限制，因此，在較短時間內(nèi)無法像馬克斯偉爾彈性體那樣發(fā)揮作用。

（4）由第5組對照試驗可知，隨著摩擦因數(shù)的增大，彈性模量逐漸增加，泊松比逐漸減小，單軸抗壓強度逐漸增加。摩擦因數(shù)f 與彈性模量和單軸抗壓強度呈正相關(guān)，與泊松比呈負相關(guān)。摩擦因數(shù)通過控制接觸實體之間的相對滑動，實現(xiàn)對瞬時強度特性的影響。

綜上所述，Burgers模型中參數(shù)對瞬時特性有影響的主要是馬克斯偉爾體彈性系數(shù)Em和摩擦因數(shù)f，其余參數(shù)均未產(chǎn)生明顯影響，在參數(shù)調(diào)試過程中，只需調(diào)整參數(shù)Em和f 即可。Burgers模型中各參數(shù)對瞬時強度特性的影響關(guān)系如表3所示。

表3 Burgers模型參數(shù)對瞬時強度特性的影響Table 3 Impact of Burgers model parameters on instantaneous strength

3.2 Burgers模型參數(shù)對流變特性的影響

按照表2中所列參數(shù)取值，進行了5組流變特性對照試驗，分析如下：

（1）馬克斯偉爾體彈性系數(shù)Em

第1組對照試驗主要研究馬克斯偉爾體彈性系數(shù)Em的影響。Em取不同值時，得到蠕變曲線和卸載曲線如圖3所示。由圖可知，Em主要影響B(tài)urgers模型的瞬時應(yīng)變量和瞬時回復(fù)量。

圖3 馬克斯偉爾體彈性系數(shù)Em的影響Fig.3 Axial strain with time for impact of Maxwell’s elastic coefficient Em

在應(yīng)力施加的瞬間，試樣產(chǎn)生瞬時應(yīng)變，Em越大，瞬時應(yīng)變的數(shù)值就越小。在卸載階段，瞬時回復(fù)量與加載時瞬時應(yīng)變量相同。

（2）馬克斯偉爾體黏性系數(shù)ηm

第2組對照試驗主要研究馬克斯偉爾體黏性系數(shù)ηm的影響。ηm取不同值時，得到蠕變曲線和卸載曲線如圖4所示。由圖可知，ηm主要影響B(tài)urgers模型的起始蠕變率、起始蠕變量、穩(wěn)定蠕變率和殘余應(yīng)變。

在應(yīng)力施加的瞬間，3次試驗的瞬時應(yīng)變相同，但隨著ηm的增大，起始蠕變率和穩(wěn)定蠕變率均減小，蠕變曲線逐漸趨于平緩。在卸載過程中，ηm對于瞬時回復(fù)無影響，但對殘余應(yīng)變的影響比較顯著，隨著ηm的增大，殘余應(yīng)變逐漸減小。

圖4 馬克斯偉爾體黏性系數(shù)ηm的影響Fig.4 Axial strain with time for impact of Maxwell’s viscosity coefficient ηm

（3）開爾文體彈性系數(shù)Ek

第3組對照試驗主要研究開爾文體彈性系數(shù)Ek的影響。Ek取不同值時，得到蠕變曲線和卸載曲線如圖5所示。由圖可知，Ek主要影響B(tài)urgers模型的起始蠕變量和彈性后效回復(fù)量。

圖5 開爾文體彈性系數(shù)Ek的影響Fig.5 Axial strain with time for impact of Kelvin’s elastic coefficient Ek

在應(yīng)力加載瞬間，瞬時應(yīng)變均相同，起始蠕變率和穩(wěn)定蠕變率也幾乎相同，但由起始蠕變過渡到穩(wěn)定蠕變的時間不同，從而導(dǎo)致起始蠕變量不同。在卸載過程中，瞬時彈性回復(fù)幾乎相同，彈性后效回復(fù)量隨著Ek的增大而減小，最終殘余應(yīng)變也幾乎相同，3次試驗曲線逐漸趨于相同。

（4）開爾文體黏性系數(shù)ηk

第4組對照試驗研究開爾文體黏性系數(shù)ηk的影響。ηk取不同值時，得到蠕變曲線和卸載曲線如圖6所示。由圖可知，ηk主要影響B(tài)urgers模型起始蠕變率和彈性后效回復(fù)率。

圖6 開爾文體黏性系數(shù)ηk的影響Fig.6 Axial strain with time for impact of Kelvin’s viscosity coefficient ηk

在蠕變試驗過程中，瞬時應(yīng)變量和穩(wěn)定蠕變率均相同，起始蠕變率卻受到開爾文體黏性系數(shù)ηk的影響，ηk的取值越大，起始蠕變率越慢，最終達到穩(wěn)定蠕變的時間越長。在卸載階段，彈性后效回復(fù)率變化很大，ηk越大，彈性后效蠕變速率越慢，最終達到殘余應(yīng)變的時間越長。

（5）摩擦因數(shù)f

第5組對照試驗主要研究摩擦因數(shù)f 的影響。f取不同值時，得到蠕變曲線和卸載曲線如圖7所示。由圖可知，f 主要影響B(tài)urgers模型的瞬時應(yīng)變量和瞬時回復(fù)量。

圖7 摩擦因數(shù)f 的影響Fig.7 Axial strain with time for impact of friction factor f

在加載過程中，瞬時應(yīng)變量隨著摩擦因數(shù)的增大而減小，在蠕變過程中，3次試驗的曲線平行，說明起始蠕變段和穩(wěn)定蠕變階段不受f 影響。卸載階段，瞬時回復(fù)量與相應(yīng)的瞬時應(yīng)變量相同。

綜合以上5組對照試驗，可以得到Burgers模型各參數(shù)對于試樣流變特性的影響，見表4。

表4 Burgers模型參數(shù)對流變特性的影響Table 4 Impact of Burgers model parameters on rheological properties

4 Burgers模型應(yīng)用實例

4.1 工程背景

貴州開磷集團下屬的多個礦山開采深度相繼進入600 m以下。何濤[22]以深部紅頁巖為研究對象，進行了瞬時強度特性試驗和室內(nèi)蠕變試驗，分析了試樣所具有的黏彈性特征，并選用Burgers模型進行擬合分析，所得相關(guān)性系數(shù)較高，從而驗證了Burgers模型用于紅頁巖等軟巖流變特性模擬的合理性。

不足之處在于，每次試驗選取不同參數(shù)分別擬合，得到的單個試驗擬合效果較好，但與實際情況不符，同一巖石試樣在不同試驗中所選取參數(shù)應(yīng)相同。

本文應(yīng)用三維顆粒流程序(PFC3D)進行單軸和三軸蠕變試驗，在PFC3D中Burgers模型作為用戶自定義模型被調(diào)用，可以用來模擬軟巖的流變特性。對同一巖石試樣，每次試驗均選取相同細觀參數(shù)進行計算。

4.2 顆粒流試樣生成

在PFC3D中，利用墻體的概念來模擬介質(zhì)的邊界。試樣生成主要包括以下4個階段：

（1）生成指定數(shù)量和大小的顆粒；

（2）通過循環(huán)消除試樣內(nèi)部的非均勻應(yīng)力；

（3）消除懸浮顆粒。本文中，將與周圍顆粒接觸數(shù)量小于3個的顆粒定義為懸浮顆粒。這些顆粒的存在導(dǎo)致試樣內(nèi)部產(chǎn)生“空區(qū)”，并影響模型的受力狀態(tài)，造成計算結(jié)果的失真，因此，需要消除；

（4）賦予黏結(jié)屬性，最終生成試樣，本文中顆粒之間賦予平行黏結(jié)。

4.3 瞬時強度試驗

試樣生成后，調(diào)用Burgers模型，代替默認的線性模型，并賦予參數(shù)，通過調(diào)用Fishcall函數(shù)，在計算過程中，如果有新的接觸產(chǎn)生，則將其賦予Burgers模型及參數(shù)值。根據(jù)本文第3節(jié)中的參數(shù)調(diào)試方法，經(jīng)調(diào)試后，所采用的顆粒細觀力學(xué)參數(shù)如表5所示。顆粒流試樣和單軸壓縮試驗所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖8所示。

表5 數(shù)值試樣細觀力學(xué)參數(shù)Table 5 Mesomechanical parameters of numerical samples

圖8 顆粒流試樣和應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.8 Particle flow specimen and stress-strain curve

在進行三軸壓縮試驗時，分別將圍壓設(shè)置為1、2、5、10 MPa，壓縮至試件破壞。根據(jù)三軸試驗結(jié)果，繪制摩爾圓和強度包絡(luò)線，最終確定試樣的內(nèi)摩擦角和黏聚力。

最終所得數(shù)值試樣的瞬時強度參數(shù)與室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)對比如表6所示。通過與室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)對比可以看出，數(shù)值試樣與真實試樣試驗結(jié)果較為吻合，可以用來進行蠕變試驗。

表6 紅頁巖室內(nèi)試驗強度特性Table 6 Instantaneous properties of red shale in laboratory

4.4 單軸蠕變試驗

（1）分級增量加載試驗

通過刪去試樣側(cè)墻，實現(xiàn)單軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)，采用伺服機制將軸向壓力分別設(shè)置為7.5、10.0、12.5、17.5 MPa。分級增量加載試驗軸向應(yīng)變呈臺階狀，蠕變過程中的軸向應(yīng)變?nèi)鐖D9所示。由圖可知，各級應(yīng)力水平下蠕變速率和蠕變量隨著應(yīng)力增大而增大。

將數(shù)值試驗與室內(nèi)蠕變試驗結(jié)果進行對比分析，數(shù)值試樣在壓縮試驗的前期，應(yīng)力-應(yīng)變表現(xiàn)出線性關(guān)系，如圖8所示。但實際巖石試樣往往存在一定的微裂隙，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是非線性的，如圖10所示。應(yīng)力-應(yīng)變曲線可劃分為5個階段[20]：①微裂隙壓密階段(OA 段)；②彈性變形階段(AB 段)；③裂隙發(fā)生和拓展階段(BC 段)；④裂隙不穩(wěn)定發(fā)展直到破裂階段(CD 段)；⑤破裂后階段(DE 段)。

圖9 分級增量加載試驗軸向應(yīng)變Fig.9 Axial strains with time at staged increment loading tests

圖10 室內(nèi)單軸壓縮試驗應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.10 Stress-strain curve of uniaxial compression test in laboratory

針對微裂隙壓密階段(OA 段)，趙東寧等[23]提出，變形可以分為由微裂隙被壓密產(chǎn)生的變形和試樣的壓縮彈性變形兩部分，其中前者占主導(dǎo)，并給出軸向應(yīng)變ε3計算公式為

式中：ε1為微裂隙被壓密產(chǎn)生的變形；ε2為試樣本身受壓產(chǎn)生的彈性壓縮變形，可由下式計算：

式中：σ1為試樣被壓密時的壓密強度；E為試樣彈性模量。

在微裂隙壓密階段，可通過消除微裂隙壓密應(yīng)變ε1的方法，得到等效線彈性巖石試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。將巖石試樣的線彈性階段AB 反向延長與坐標軸交于O′點，曲線O′AB 可認為是對壓密后等效線彈性試樣的壓縮。將數(shù)值試驗結(jié)果與消除裂隙壓密應(yīng)變ε1之后的結(jié)果進行擬合，如圖11所示。由圖可知，數(shù)值試驗結(jié)果與等效線彈性階段擬合效果良好。（2）分級增量循環(huán)加、卸載試驗

圖11 數(shù)值試驗結(jié)果與室內(nèi)試驗數(shù)據(jù)對比圖Fig.11 Axial strains with time from results of numerical tests and creep tests in laboratory

在分級增量循環(huán)加、卸載試驗中，軸向壓力分別設(shè)置為7.5、10.0、12.5、17.5 MPa。每級應(yīng)力水平加載一定時間后，將軸向壓力卸載至0，持續(xù)一段時間，再進行下一級加載，試驗中的軸向應(yīng)變?nèi)鐖D12所示。由圖可知，軸向應(yīng)變呈鋸齒狀，且蠕變量隨著應(yīng)力水平的增大而增大。從起始蠕變過渡到穩(wěn)定蠕變的時間逐漸增長。

圖12 分級增量循環(huán)加卸載軸向應(yīng)變Fig.12 Axial strains with time at staged increment cyclic loading and unloading experiments

4.5 三軸壓縮蠕變試驗

采用自編伺服機制，控制軸向和側(cè)向應(yīng)力水平，進行三軸蠕變試驗，為深入研究三軸蠕變試驗特性，分別進行了固定圍壓和固定軸壓兩組試驗，加載方式為分級增量加載。

（1）固定圍壓

將圍壓設(shè)置為5 MPa，軸壓取不同應(yīng)力值時，軸向應(yīng)變-徑向應(yīng)變曲線如圖13所示。

圖13 圍壓5 MPa軸向應(yīng)變和徑向應(yīng)變Fig.13 Axial and lateral strains with time at confining stress 5 MPa

由圖可知，三軸蠕變試驗中軸向應(yīng)變也呈臺階狀，但各應(yīng)力水平應(yīng)變值均小于單軸壓縮蠕變試驗值。徑向應(yīng)變也有相同蠕變趨勢，每個應(yīng)力水平加載瞬間產(chǎn)生瞬時應(yīng)變，試樣徑向擴大，然后在蠕變作用下逐漸收縮。

（2）固定軸壓

將軸壓固定為20 MPa，圍壓取不同值時，軸向和徑向蠕變曲線如圖14所示。從圖中可以看出，每級應(yīng)力加載瞬間，試樣軸向伸長，徑向收縮。而隨著時間的推移，軸向逐漸收縮，徑向卻一直收縮。在每一級應(yīng)力水平加載瞬間軸向伸長，徑向收縮。圍壓達到20 MPa時，徑向應(yīng)變已經(jīng)超過軸向應(yīng)變。

圖14 固定軸壓20 MPa的軸向和徑向應(yīng)變Fig.14 Axial and lateral strains with time at axial stress 20 MPa

5 結(jié) 論

（1）數(shù)值試樣的瞬時強度主要影響因素為馬克斯偉爾體彈性系數(shù)Em和摩擦因數(shù)f：彈性模量和單軸抗壓強度與Em和f 均呈正相關(guān)；泊松比與Em呈正相關(guān)，與f 呈負相關(guān)；其余參數(shù)未產(chǎn)生明顯影響。

（2）巖體流變特性受Burgers模型的彈性系數(shù)(Em和Ek)、黏性系數(shù)(ηk和ηk)及摩擦因素f 共同影響，巖體流變特性與各參數(shù)均呈負相關(guān)。

（3）模擬結(jié)果與室內(nèi)單軸蠕變試驗結(jié)果對比表明，PFC3D中通過Fishtank生成的Burgers模型對單軸蠕變試驗中的等效線彈性段模擬效果良好。

（4）通過固定軸壓和固定圍壓兩種方式，開展了三軸壓縮蠕變試驗，得到的蠕變曲線與理論曲線具有相同趨勢，驗證了Burgers模型在三軸蠕變試驗?zāi)M中的適用性。

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