馮 驥

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130103)

素環(huán)上的廣義內(nèi)導(dǎo)子*

馮 驥

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130103)

討論了素環(huán)理想上廣義內(nèi)導(dǎo)子的交換性.設(shè)R是一個(gè)素環(huán),I為R的一個(gè)非零理想,Fa,b(x)為R的一個(gè)非零廣義內(nèi)導(dǎo)子,Ib(x)為其伴隨內(nèi)導(dǎo)子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,討論滿足Fa,b(xοy)=xoy或Fa,b(xoy)+xoy=0時(shí)R的交換性.

素環(huán);廣義內(nèi)導(dǎo)子;交換性

1 研究背景

環(huán)上導(dǎo)子交換性的探究開(kāi)始于Posner[1]，1957年，他證明了非零中心化導(dǎo)子的素環(huán)一定為交換環(huán).近些年來(lái)，很多學(xué)者在Posner的啟發(fā)下繼續(xù)研究了環(huán)上導(dǎo)子的交換性問(wèn)題[2-6]，對(duì)環(huán)的研究具有重要影響.

2002年,Ashraf和Rehaman[7]證明了對(duì)任意的x,y∈U,都有d(xοy)=xοy或d(xοy)+xοy=0的情況，本文將其推廣到廣義內(nèi)導(dǎo)子上，得到若干結(jié)果.

2 相關(guān)定義及引理

定義1[8]設(shè)R是任意結(jié)合環(huán),d是環(huán)R到自身的一個(gè)加性映射.如果對(duì)任意x,y∈R均有d(xy)=d(x)y+xd(y),則稱d為環(huán)R上的導(dǎo)子.

定義2[9]設(shè)R是任意結(jié)合環(huán),g是環(huán)R到自身的一個(gè)加性映射,若存在R上的導(dǎo)子d使得對(duì)任意的x,y∈R均有g(shù)(xy)=g(x)y+xd(y),則稱g為環(huán)R上的廣義導(dǎo)子,d為g的伴隨導(dǎo)子.

定義3[10]設(shè)R是素環(huán),d是R上的一個(gè)導(dǎo)子.對(duì)一固定元素a∈R,映射Ia:R→R,Ia(x)=[x,a]是一個(gè)導(dǎo)子，稱其為R上的一個(gè)內(nèi)導(dǎo)子.一個(gè)加性映射Fa,b:R→R稱為是R上的一個(gè)廣義內(nèi)導(dǎo)子,若Fa,b(x)=ax+xb,a,b是R中的固定元素.

引理1 如果一個(gè)素環(huán)R包含一個(gè)非零的可交換的右理想,那么R也是可交換的.

引理2[11]Z為環(huán)R的中心，d為R的導(dǎo)子，則d(Z)?Z.

四個(gè)基本恒等式

[x,yz]=y[x,z]+[x,y]z,
[xy,z]=x[y,z]+[x,z]y,
xο(yz)=(xοy)z-y[x,z]=y(xοz)+[x,y]z,
(xy)οz=x(yοz)-[x,z]y=(xοz)y+x[y,z].

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)R是一個(gè)素環(huán),I為R的一個(gè)非零理想,Fa,b(x)為R的一個(gè)非零廣義內(nèi)導(dǎo)子,Ib(x)為其伴隨內(nèi)導(dǎo)子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,如果對(duì)任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)=xοy,那么R是可交換的.

證明 (1)如果Fa,b(x)=0,那么對(duì)任意的x,y∈I,都有xοy=0.

用yz代替y得xο(yz)=0，利用基本恒等式得(xοy)z-y[x,z]=0.所以y[x,z]=0x,y,z∈I.從而IR[x,z]=0x,z∈I.由于I≠0且R是一個(gè)素環(huán)，可知[x,z]=0,由引理2可知R是可交換的.

(2)如果Fa,b(x)≠0.那么對(duì)任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)=xοy.即

Fa,b(x)y+xIb(y)+Fa,b(y)x+yIb(x)=xοy

(1)

用yx代替(1)式中的y,可以得到

Fa,b(x)yx+xIb(y)x+xyIb(x)+Fa,b(y)x2+
yIb(x)x+yxIb(x)=xοyx=(xοy)x

利用(1)式可得,(xοy)Ib(x)=0.再用zy代替y,可得[x,z]yIb(x)=0,對(duì)任意的x,y,z∈I都成立,即[x,z]IRIb(x)=0.因?yàn)镽為一個(gè)素環(huán),所以[x,z]I=0或Ib(x)=0.

令I(lǐng)1={[x,z]I=0,x,z∈U},I2={Ib(x)=0,x∈I}.那么I1和I2都是I的子群.并且I1∪I2=I.所以I=I1或I=I2.如果I=I2,那么對(duì)所有的x∈I都有Ib(x)=0,與假設(shè)相矛盾,因此I=I1.那么對(duì)所有的x,z∈I,都有[x,z]I=0,即[x,z]RI=0.由于I≠0,故[x,z]=0,對(duì)所有的x,z∈I都成立.由引理2可知R是可交換的.

定理2 設(shè)R是一個(gè)素環(huán),I為R的一個(gè)非零理想,Fa,b(x)為R的一個(gè)廣義內(nèi)導(dǎo)子,Ib(x)為其伴隨內(nèi)導(dǎo)子,其中a,b是R中的固定元素,并有Fa,b(x)=0或Ib(x)≠0,如果對(duì)任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)+xοy=0,那么R是可交換的.

證明 (1)如果Fa,b(x)=0,那么對(duì)任意的x,y∈I,都有xοy=0.

用yz代替y得xο(yz)=0，利用基本恒等式得(xοy)z-y[x,z]=0.所以y[x,z]=0x,y,z∈I.從而IR[x,z]=0x,z∈I.由于I≠0且R是一個(gè)素環(huán)，可知[x,z]=0,由引理2可知R是可交換的.

(2)當(dāng)Fa,b(x)≠0時(shí),對(duì)任意的x,y∈I,都有Fa,b(xοy)+xοy=0.

即

Fa,b(x)y+xIb(y)+Fa,b(y)x+yIb(x)+xοy=0

(2)

用yx代替(2)式中的y,可以得到

Fa,b(x)yx+xIb(y)x+xyIb(x)+Fa,b(y)x2+
yIb(x)x+yxIb(x)+xοyx=0
Fa,b(x)yx+xIb(y)x+xyIb(x)+Fa,b(y)x2+
yIb(x)x+yxIb(x)+(xοy)x=0

利用(2)式可得,(xοy)Ib(x)=0.同定理1的證明可得R是可交換的.

[1]PosnerE.C.DerverationsinPrimeRings[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1957,8:1093-1100.

[2]AwtarR.LiestructureinPrimeRingswithDerivations[J].Publ.Math.Debrecen,1984,31:209-215.

[3]BellHE,DaifMN.OnCommutativityandStrongCommutativityPreservingMaps[J].Canad.Math.Bull,1994,37:443-447.

[4]BellHE,MartindaleWS.CentralizingMappingsofSemiprimeRings[J].Canad.Math.Bull,1987,30:92-101.

[5]DaifMN,BellHE.RemarksonDerivationsonSemiprimeRings[J].InternalJ.Math.andMath.Sci.,1992,15:205-206.

[6]DengQ,AshrafM.OnStrongCommutativityPreservingMappings[J].ResultsinMath,1996,30:259-263.

[7]AshrafM,RehamanN.Oncommutativityofringswithderivations[J].ResultsinMath,2002,42:3-8.

[8]徐曉偉,牛鳳文.廣義導(dǎo)子值的冪性質(zhì)[D].長(zhǎng)春:吉林大學(xué),2006.

[9]Bre?arM.OntheDistanceoftheCompositionofTwoDerivationstotheGeneralizedDerivations[J].GlasgowMath.J,1991,33:89-93.

[10]吳偉.素環(huán)理想上的廣義導(dǎo)子[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,6(4):293-295.

[11]王宇,張秀英.素環(huán)上中心化廣義導(dǎo)子[J].東北師大學(xué)報(bào),2001,2(33):116-118.

(責(zé)任編輯:陳衍峰)

Generalized Inner Derivations on Prime Rings

FENG Ji

(SchoolofMathematics,JilinNormalUniversity,Changchun,Jilin130103,China)

This paper studys the commutativity of rings with generalized inner derivations on the ideals. Suppose thatRisaprimering,IisanonzeroidealofRandFa,b(x)isanonzerogeneralizedinnerderivationofR.EitherFa,b(x)=0orIb(x)≠0,inthepaperisinvestigatedthecommutativityoftheringsatisfyinganyoneoftheproperties:Fa,b(xοy)=xoy;Fa,b(xoy)+xoy=0,forallx,y∈I.

prime ring; generalized inner derivation; commutativity

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2015.04.012

2014-11-16

吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)目“素環(huán)上的導(dǎo)子和三角代數(shù)上的Jordan映射”(201215220)

馮驥,女,吉林通化人,吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院在讀碩士．

O

A

1008-7974(2015)02-0032-02