任 超 梁月吉 龐光鋒 藍(lán) 嵐

1 桂林理工大學(xué)測(cè)繪地理信息學(xué)院，桂林市建干路12號(hào)，541004 2 廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，桂林市建干路12號(hào)，541004

大壩在施工或運(yùn)行過程中會(huì)由于各種原因發(fā)生不同程度的形變，及時(shí)掌握大壩變形的演變規(guī)律并作出準(zhǔn)確預(yù)報(bào)，對(duì)大壩安全具有重大意義。大壩變形與水壓、溫度、時(shí)效因素之間具有復(fù)雜密切的關(guān)系，而這些因素往往具有較強(qiáng)的隨機(jī)性和難以解析的非線性，導(dǎo)致大壩變形較為復(fù)雜，難以直接建立較為準(zhǔn)確的變形量與影響因素之間的非線性關(guān)系模型。針對(duì)這一問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者已研究出多種模型，如時(shí)間序列模型、回歸分析模型、灰色模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)等［1］。但每一種模型都存在自身的局限性，難以全面考慮負(fù)荷的變化趨勢(shì)和影響因素，直接通過建立單一模型進(jìn)行變形預(yù)測(cè)不易得到令人滿意的結(jié)果。灰色模型提供了在貧信息情況下解決系統(tǒng)問題的新途徑，通過自身“累加生成”的特點(diǎn)，能夠?qū)?fù)雜的原始數(shù)據(jù)化為較符合客觀規(guī)律的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，但不足之處是僅適合解決呈指數(shù)增長(zhǎng)趨勢(shì)的實(shí)際問題。而實(shí)際的大壩變形規(guī)律往往與指數(shù)規(guī)律差別較大，不利于灰色模型的建立和預(yù)測(cè)，且模型參數(shù)的求解也存在一定的理論缺陷［2］。支持向量機(jī)（support vector machine，SVM）是Cortes等［3］提出的一種機(jī)器學(xué)習(xí)算法，能較好地解決小樣本、非線性和高維模式識(shí)別等實(shí)際問題，已在變形預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用。Suykens等［4］在Vapnik 統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上提出最小二乘支持向量機(jī)（least square support vector machines，LS－SVM），將SVM 的二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為求解線性方程組的問題，降低了計(jì)算的復(fù)雜性，提高了求解速度。

基于上述研究，本文提出基于灰色最小二乘支持向量機(jī)的大壩變形預(yù)測(cè)新算法，通過利用灰色預(yù)測(cè)方法中的“累加生成”原理對(duì)原始序列進(jìn)行預(yù)處理，以削弱序列中隨機(jī)擾動(dòng)因素的影響，得到規(guī)律性較強(qiáng)的新序列，進(jìn)而建立LS－SVM 預(yù)測(cè)模型。同時(shí)，考慮到LS－SVM 的參數(shù)優(yōu)化問題，采用網(wǎng)格搜索法［5］（grid search）進(jìn)行尋優(yōu)，該方法用于小樣本數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)時(shí)比遺傳算法、混沌優(yōu)化算法較有優(yōu)勢(shì)。通過兩個(gè)算例，并與灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)對(duì)比分析，驗(yàn)證該算法的可行性和有效性。

1 灰色最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型

1.1 灰色最小二乘支持向量機(jī)原理

設(shè)大壩原始位移時(shí)間序列為：

式中，n為大壩位移的監(jiān)測(cè)期數(shù)。首先對(duì)原始位移序列進(jìn)行一次累加：

得到規(guī)律性更強(qiáng)的新序列：

然后，以新序列的前m期為訓(xùn)練集，后（n－m）期為測(cè)試集，利用擬合能力更好的LS－SVM 建立預(yù)測(cè)模型。設(shè)樣本訓(xùn)練集為｛（xi，yi）｜i＝1，2，…，m｝，其中，xi∈Rn為輸入向量，yi∈R為輸出向量，用非線性映射φ（·）將樣本輸入從原空間映射到高維特征空間，構(gòu)造出LS－SVM 的回歸函數(shù)為［4，6］：

式中，φ（x）為滿足Mercer條件的核函數(shù)，w為超平面的權(quán)值向量，b為偏置項(xiàng)。

在LS－SVM 估計(jì)中，回歸問題可以等價(jià)為最小化下面泛函：

式中，γ為正則化參數(shù)，ei為誤差項(xiàng)。構(gòu)造式（5）的Lagrange函數(shù)為：

式（7）消去w和ei得到線性方程組：

由于B＝K（xi，yi）＋γ－1I為對(duì)稱的正定矩陣，利用最小二乘運(yùn)算求解式（8）可得：

求解式（6）得到LS－SVM 的估計(jì)函數(shù)為：

最后，計(jì)算累加序列的預(yù)測(cè)值ym＋j，j＝1，2，…，n－m，并對(duì)其進(jìn)行累減還原，得到原始序列的預(yù)測(cè)模型：

1.2 LS－SVM 參數(shù)的優(yōu)化

最小二乘支持向量機(jī)的性能很大程度上取決于核函數(shù)K（x，y）、核參數(shù)σ和正則化參數(shù)γ的最優(yōu)選擇。目前，核函數(shù)主要有3 類：多項(xiàng)式核函數(shù)、徑向基核函數(shù)和線性核函數(shù)，其中徑向基核函數(shù)能較好地反映模型的復(fù)雜程度，預(yù)測(cè)效果比較好。因此，選定其為L(zhǎng)S－SVM 的核函數(shù)?？紤]到參數(shù)選取問題，采用網(wǎng)格搜索法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選。其基本原理是將σ和γ在一定的范圍劃分網(wǎng)格并遍歷網(wǎng)格內(nèi)所有點(diǎn)進(jìn)行取值，對(duì)取定的σ和γ采用交叉驗(yàn)證方法［7］獲取訓(xùn)練均方誤差作為網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)，最終取訓(xùn)練集驗(yàn)證均方誤差最低的那組σ和γ作為最佳參數(shù)。該方法尋優(yōu)過程中各組參數(shù)相互解耦，較好地避免了由于參數(shù)多或參數(shù)之間可能出現(xiàn)耦合而引起的多解性問題，便于并行計(jì)算，且運(yùn)行效率較高。具體步驟如下［5］：

1）設(shè)定參數(shù)σ和γ的選擇范圍和參數(shù)步長(zhǎng)。本文尋優(yōu)過程分為粗選和精選兩步，設(shè)定σ的尋優(yōu)區(qū)間為［0 ，1010］，γ的尋優(yōu)區(qū)間為［0 ，1010］；粗選格點(diǎn)數(shù)為1010×1010，步長(zhǎng)為1；精選格點(diǎn)數(shù)為1010×1010，步長(zhǎng)為0.1。

2）由于尋優(yōu)過程是一個(gè)遍歷過程，因此，參數(shù)初始值的選取對(duì)結(jié)果沒有影響。此搜索過程選取的初始值為σ＝0，γ＝1，選擇第一個(gè)交叉驗(yàn)證網(wǎng)點(diǎn)位置，通過交叉驗(yàn)證方法獲取訓(xùn)練均方誤差（MES）作為網(wǎng)格點(diǎn)計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)，并計(jì)算所有的網(wǎng)格點(diǎn)。

3）選取均方誤差最低的一組（σ，γ）為最優(yōu)參數(shù)。若選取的參數(shù)達(dá)不到精度要求，則以選擇的參數(shù)為中心網(wǎng)格點(diǎn)，在較小的范圍內(nèi)構(gòu)建新的二維網(wǎng)格平面重新計(jì)算目標(biāo)函數(shù)，再次選取均方誤差最低的參數(shù)。如果滿足精度要求，則停止，否則繼續(xù)重復(fù)以上步驟，最終獲取精確的參數(shù)σ和γ作為最優(yōu)值。

2 模型預(yù)測(cè)流程

圖1 模型預(yù)測(cè)流程圖Fig.1 Flow chart of model prediction

3 算例分析

3.1 算例一

以文獻(xiàn)［7］中某大壩徑向變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。該大壩共布設(shè)C06和C11兩個(gè)監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)點(diǎn)，在大壩中部及其兩側(cè)分別布設(shè)3 個(gè)監(jiān)測(cè)變形點(diǎn)OP03、OP04與OP05。各監(jiān)測(cè)點(diǎn)的切向與徑向定義為切向（t）和徑向（r）坐標(biāo)系。為充分反映大壩變形特征，本文采用位于拱壩圓弧頂部監(jiān)測(cè)點(diǎn)OP03徑向的變化數(shù)據(jù)（2001－12－31～2002－01－20），徑向正軸方向指向雅礱江上游方向，如圖2所示。

圖2 大壩變形徑向位移序列Fig.2 Deformation of the dam radial displacement sequence

由圖2可看出，該大壩位移序列總體呈增長(zhǎng)趨勢(shì)，只有第6期、第9期和第20期有所下降，波動(dòng)性較弱，大壩最大變形值為18 mm，最小為10 mm，差值為8 mm。采用灰色預(yù)測(cè)方法中的“累加生成”原理對(duì)序列進(jìn)行一次累加得到如圖3所示的結(jié)果。由圖3可見，經(jīng)一次累加生成的新序列曲線較為光滑，變化規(guī)律更為明顯，有利于模型的建立和分析。

為驗(yàn)證本文提出的基于灰色最小二乘支持向量機(jī)在大壩變形預(yù)測(cè)中的可行性，建立3種方案進(jìn)行算例分析比較：方案1——灰色GM（1，1）；方案2——單一LS－SVM 預(yù)測(cè)模型；方案3——灰色最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型。各方案采用前12期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模訓(xùn)練，后8期作為測(cè)試樣本。經(jīng)網(wǎng)格搜索法得到，方案2 的最優(yōu)參數(shù)σ為45.265，γ為425 316.516；方案3的最優(yōu)核參數(shù)為10 648.167，正則化參數(shù)為6 540 666.247。3種方案的預(yù)測(cè)結(jié)果見表1。

由表1可知，方案1預(yù)測(cè)不穩(wěn)定，預(yù)測(cè)值和實(shí)際值偏差比較大，最大殘差達(dá)到－1.85mm。方案2和方案3優(yōu)于方案1，而方案3的預(yù)測(cè)結(jié)果最好，殘差最小值為0.02mm，最大值僅為0.39mm。

圖3 一次疊加結(jié)果Fig.3 The results of a superposition

3.2 算例二

以文獻(xiàn)［8］中某大壩水平位移變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例（2003－01－06～2003－01－26）。該大壩共布設(shè)7個(gè)水平位移監(jiān)測(cè)點(diǎn)，由于各點(diǎn)變化規(guī)律大致相同，本文僅選擇D4點(diǎn)進(jìn)行分析，如圖4所示。

圖4 大壩變形水平位移序列Fig.4 Deformation of the dam horizontal displacement sequence

從圖4可看出，該大壩水平位移序列的第1～5期和第8～14 期變化都比較平緩，而第6、7期和第15～21期波動(dòng)大。顯然，如果用傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型，難以真實(shí)反映大壩變形的規(guī)律。對(duì)大壩原始位移序列進(jìn)行一次累加得到如圖5所示的結(jié)果。由圖5可知，對(duì)于波動(dòng)性較強(qiáng)、不穩(wěn)定的大壩位移序列，經(jīng)一次累加后變得較為光滑，有效減弱了原始序列的隨機(jī)性，使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵的規(guī)律能夠充分顯露出來(lái)，突出了大壩變形規(guī)律。

表1 各模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比／mmTab.1 The contrast of each model calculation results／mm

圖5 一次疊加結(jié)果Fig.5 The results of a superposition

同算例一，建立3種方案進(jìn)行比較。采用前12期監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模訓(xùn)練，后9期作為測(cè)試樣本。3種方案的預(yù)測(cè)結(jié)果見表2。同理得到，方案2的最優(yōu)參數(shù)σ為108.526，γ為25 412.613；方案3的最優(yōu)核參數(shù)為7 256.758，正則化參數(shù)為5 625 282.435。預(yù)測(cè)結(jié)果見表2。

從表2可看出，方案1和方案2預(yù)測(cè)不穩(wěn)定，部分預(yù)測(cè)值和實(shí)際值偏差比較大，方案1最大殘差達(dá)到－2.11 mm，方案2 殘差最大為－1.43 mm。方案3殘差最小值為0.01 mm，最大值僅為0.53mm?？梢姡瑢?duì)于波動(dòng)較大和不穩(wěn)定的大壩變形序列，灰色GM（1，1）的預(yù)測(cè)結(jié)果已遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離監(jiān)測(cè)值，單一最小二乘支持向量機(jī)的部分預(yù)測(cè)結(jié)果也不夠穩(wěn)定，而灰色最小二乘支持向量機(jī)模型的預(yù)測(cè)效果較好，能夠保證較優(yōu)的局部預(yù)測(cè)值。

為進(jìn)一步綜合評(píng)定本文算法的性能，采用均方根誤差和平均絕對(duì)誤差兩項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)定（表3）。

表3 各模型精度對(duì)比／mmTab.3 The contrast of each model precision／mm

由表3 可知，灰色GM（1，1）的預(yù)測(cè)精度較低，兩個(gè)算例的均方根誤差分別為1.01 mm 和1.27mm，單一最小二乘支持向量機(jī)表現(xiàn)出較好的預(yù)測(cè)精度，優(yōu)于灰色GM（1，1）。而本文算法的預(yù)測(cè)精度明顯較高，均方根誤差分別為0.20mm和0.18mm，平均絕對(duì)誤差分別僅為0.16mm 和0.13mm?？梢?，灰色最小二乘支持向量機(jī)預(yù)測(cè)模型在一定程度上保證了較好的全局預(yù)測(cè)精度。綜上，新算法通過采用灰色原理對(duì)原始序列進(jìn)行預(yù)處理，能有效削弱原始序列的隨機(jī)性并增加規(guī)律性，利用最小二乘支持向量機(jī)優(yōu)良的學(xué)習(xí)性能，能緊跟數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。同時(shí)，對(duì)于不同尺度變化的大壩變形預(yù)測(cè)，效果都比較好。新算法無(wú)論是預(yù)測(cè)結(jié)果還是預(yù)測(cè)精度，都優(yōu)于灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)，能在一定程度上有效解決復(fù)雜的大壩變形問題，當(dāng)直接建立LSSVM 預(yù)測(cè)模型無(wú)法滿足精度要求時(shí)，可以采用此算法。

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)大壩變形具有隨機(jī)性和非線性等特點(diǎn)，本文將灰色理論和最小二乘支持向量機(jī)相結(jié)合引入到大壩變形短期預(yù)測(cè)。經(jīng)理論和算例分析，并與灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)對(duì)比表明，傳統(tǒng)的灰色GM（1，1）預(yù)測(cè)模型由于自身存在的理論缺陷，預(yù)測(cè)效果和實(shí)際偏差較大，難以解決復(fù)雜的變形問題；單一最小二乘支持向量機(jī)的預(yù)測(cè)效果和實(shí)際值較為接近，體現(xiàn)出LS－SVM在解決小樣本、貧信息和多維數(shù)的復(fù)雜非線性問題中的優(yōu)勢(shì)；而本文新算法不僅引入灰色預(yù)測(cè)方法獨(dú)特的數(shù)據(jù)生成方式，增加原始數(shù)據(jù)的規(guī)律性，減少數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，且充分發(fā)揮了LS－SVM 強(qiáng)大的非線性映射能力，預(yù)測(cè)精度優(yōu)于灰色GM（1，1）和單一最小二乘支持向量機(jī)。同時(shí)，采用網(wǎng)格搜索方法可快速地選取LS－SVM 的最佳參數(shù)。

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