孫明軒，余軒峰，孔　穎

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

終態(tài)神經(jīng)計(jì)算：有限時(shí)間收斂性與相關(guān)應(yīng)用

孫明軒，余軒峰，孔穎

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

摘要：為了改進(jìn)動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂性能，引入終態(tài)吸引概念，提出終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及終態(tài)計(jì)算方法.對(duì)矩陣微分方程的終態(tài)吸引性進(jìn)行分析，結(jié)果表明：該方法可保證網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間收斂于零.終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可應(yīng)用于求解時(shí)變矩陣求逆以及冗余機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃，仿真算例針對(duì)一平面機(jī)械臂，末端執(zhí)行器完成一個(gè)封閉軌跡后，關(guān)節(jié)角回到初始位置，實(shí)現(xiàn)可重復(fù)運(yùn)動(dòng).仿真結(jié)果驗(yàn)證了終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的有效性.

關(guān)鍵詞：有限時(shí)間收斂；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；時(shí)變矩陣；冗余機(jī)械臂；軌跡規(guī)劃

Terminal neural computing：finite-time convergence

and the related applications

SUN Mingxuan, YU Xuanfeng, KONG Ying

(College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Abstract:This paper suggests the use of terminal neural networks for computing, in order to improve the convergence performance of asymptotically convergent ones. The terminal attraction of the matrix differential equations are analyzed, and the results show that the method can ensure the networks converge to zero in finite time. The terminal neural networks can be applied to solving the time-varying matrix inversion and the trajectory planning of redundant manipulators. A simulation example for a planar manipulator, where the end-effector completes a closed path and the joint variables can return to their initial values, makes the motion repeatable. The simulation results verify the validity of the terminal neural network method.

Keywords:finite time convergence; neural networks; time-varying matrices; redundant manipulators; trajectory planning

矩陣方程求解是一類重要的矩陣分析與計(jì)算問題[1]，有著非常廣泛的應(yīng)用背景.因其串行處理的本質(zhì)，目前已經(jīng)提出的大量數(shù)值算法并非十分有效(特別當(dāng)求解時(shí)變矩陣時(shí)).動(dòng)態(tài)神經(jīng)計(jì)算具有高速并行處理能力，能夠?qū)崿F(xiàn)實(shí)時(shí)計(jì)算[2-4]，特別是在處理時(shí)變矩陣問題時(shí)能達(dá)到較好的效果[5].機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃是機(jī)器人學(xué)中一個(gè)重要的課題[6-7].實(shí)際中，機(jī)械臂末端執(zhí)行器除完成規(guī)定的任務(wù),還需躲避障礙、回避關(guān)節(jié)極限等，冗余機(jī)械臂具有更多的自由度，其運(yùn)動(dòng)規(guī)劃容易滿足更多作業(yè)要求，可采用遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法解決這樣的冗余度解析問題[8-9].近年來，Zhang等[10]巧妙地提出了有效的動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，處理冗余機(jī)械臂的重復(fù)軌跡規(guī)劃任務(wù).

目前提出的動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法多采用漸近動(dòng)態(tài)特性，在時(shí)間趨于無窮時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)變量收斂于零.相比于漸近動(dòng)態(tài)特性，終態(tài)收斂動(dòng)態(tài)特性具有有限時(shí)間收斂性[11]，不僅能夠改進(jìn)收斂速度，而且可以提高收斂精度.Zak等[12]將終態(tài)吸引特性用作激活函數(shù)，提出了有限收斂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并用于解決時(shí)變矩陣計(jì)算問題[13].我們知道，通常的激活函數(shù)具有更廣的應(yīng)用背景.因此，筆者提出一種終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，其動(dòng)態(tài)特性具有終態(tài)收斂性質(zhì)，它的激活函數(shù)可以是通常的激活函數(shù)；并將其應(yīng)用解決時(shí)變矩陣求逆與冗余機(jī)械臂的重復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃.主要工作包括：提出終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及其加速形式；將終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用于矩陣求逆；將終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用于冗余機(jī)械臂重復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃.

1動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

首先，引入如下記法：對(duì)于時(shí)變矩陣A(t)=(Aij(t))∈Rn×n，Aij(·):R+→R為矩陣A(t)的第i行第j列的元素，1≤i,j≤n，記；為矩陣A(t)的導(dǎo)數(shù)，可表示為；為矩陣A(t)在區(qū)間[a,b]上的積分，并定義t.

考慮由下述矩陣微分方程描述的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(1)

其中：γ>0為可調(diào)整參數(shù)；E(t)∈Rn×n為時(shí)變矩陣；S(·):Rn×n→Rn×n為激活函數(shù)，定義為S(E(t))=S(Eij(t)).

-γEij(t)S(Eij(t))

其中⊙表示Hadamard積.因此，為了保證E(t)收斂性，須E(t)⊙S(E(t))是正定的[5].這樣，任何嚴(yán)格單調(diào)增奇函數(shù)可作為激活函數(shù)，滿足S(-·)=-S(·).應(yīng)該指出的是，激活函數(shù)的不同選擇會(huì)導(dǎo)致不同的收斂速率.

進(jìn)一步地，考慮下述矩陣微分方程描述的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(2)

式中α>0.當(dāng)α=1時(shí)，式(2)退化為式(1)所表示的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；Li等[11-12]將(·)α作為一類激活函數(shù)，筆者則是將式(2)作為一類動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(實(shí)際上，它是終態(tài)吸引動(dòng)態(tài)系統(tǒng))，它的激活函數(shù)可以是通常的形式，且該形式下的激活函數(shù)具有更廣的應(yīng)用范圍.

為了保證E(t)收斂性，須E(t)⊙S(Eα(t))是正定的.因此，激活函數(shù)S(·)仍可取嚴(yán)格單調(diào)遞增奇函數(shù)，而冪次α的選擇需按照以下取法：

1) 當(dāng)E(t)≥Λ時(shí)，取α=q1/p1，q1和p1為正奇數(shù)，且滿足q1≥p1.

2) 當(dāng)E(t)<Λ時(shí)，取α=q2/p2，q2和p2為正奇數(shù)，且滿足q2

這里，Λ為每個(gè)元素均取值1的矩陣.

下面給出更為一般形式的終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即

(3)

式中：γ,α1,α2>0，q1和p1，q2和p2均為正奇數(shù)，滿足q1≥p1，q2

為表述簡(jiǎn)潔起見，以下簡(jiǎn)單地將激活函數(shù)取作線性函數(shù)形式，即，S(E)=E；且僅考慮q1=p1，q2=q，p2=p的情形.關(guān)于通常形式激活函數(shù)的研究結(jié)果將另文發(fā)表.

2有限時(shí)間收斂性

取線性激活函數(shù)S(E)=E，式(1)所示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可表達(dá)為

E(t)=E(0)e-γt

(4)

由式(4)知：當(dāng)t→∞，若E(0)≠0，則E(t)漸近收斂于0.因此，式(1)為漸近收斂的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，稱為漸近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(簡(jiǎn)寫為ANN).顯然，ANN網(wǎng)絡(luò)收斂至平衡態(tài)E(t)=0(即原點(diǎn))需要無限長(zhǎng)時(shí)間.

為了改進(jìn)收斂速率，筆者通過引入終態(tài)吸引子，提出終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(簡(jiǎn)寫為TNN)，能夠?qū)崿F(xiàn)有限時(shí)間收斂性能，下面給出具體的分析結(jié)果.考慮下述矩陣微分方程

(5)

其中：q和p為正奇數(shù)，且滿足q

由式(5)知：

對(duì)上式進(jìn)行積分

從而任意初始狀態(tài)E(0)(>0)收斂于平衡態(tài)E(t)=0的時(shí)間為

(6)

由于引入了冪次q/p<1，右端函數(shù)在原點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為無窮大，越接近原點(diǎn)，E(t)的收斂速度越快.由式(6)知：終端時(shí)刻不但與所選取的參數(shù)有關(guān)，也與初值E(0)有關(guān)，E(0)越遠(yuǎn)離原點(diǎn)，終端時(shí)刻越長(zhǎng)，然而，也因?yàn)閮绱蝢/p<1，由式(5)描述的TNN，在遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，其收斂速度甚至比ANN的收斂速度慢.為此，采用如下改進(jìn)形式的TNN網(wǎng)絡(luò)，即

(7)

其中：β1=γα1；β2=γα2.易知，β1>0，β2>0，這是式(3)的一種簡(jiǎn)單形式.

式(7)又可寫成

(8)

記Y(t)=E1-q/p(t)，則

將式(8)代入，可得

(9)

求解一階線性矩陣微分方程式(9),得

在時(shí)刻tf，令Y(tf)=0，則

這樣，從任意初始狀態(tài)E(0)(>0)到達(dá)平衡態(tài)E(t)=0所需的時(shí)間為

(10)

與式(6)相比較，適當(dāng)設(shè)定β1，β2，p，q，可使網(wǎng)絡(luò)在更短時(shí)間到達(dá)平衡態(tài).當(dāng)E(t)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，β1E(t)是決定收斂時(shí)間的主要影響因素，當(dāng)E(t)接近平衡狀態(tài)E(t)=0時(shí)，則β2Eq/p(t)變?yōu)橹饕绊懸蛩?因此，TNN網(wǎng)絡(luò)式(6)能夠加速收斂，使得E(t)更快收斂.

3時(shí)變矩陣求逆

給定滿秩的時(shí)變矩陣A(t)∈Rn×n，X*(t)∈Rn×n是A(t)的逆矩陣，即X*(t)=A-1(t)，t∈[0,+∞).由逆矩陣定義為

A(t)X*(t)=In

(11)

其中In為n×n單位矩陣.考慮矩陣求逆問題，X*(t)=A-1(t)為未知矩陣，對(duì)于每個(gè)固定的時(shí)刻t，可通過直接求解式(11)獲得.

與梯度法不同，Zhang[5]提出動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，巧妙地解決了時(shí)變矩陣求逆問題，其中，動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)如式(1)所描述.容易證明，當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，其網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)收斂于零，進(jìn)而，X(t)收斂于逆矩陣X*(t).利用前節(jié)所述終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決時(shí)變矩陣求逆問題，經(jīng)過有限時(shí)間，使得X(t)收斂于X*(t).

定義矩陣誤差函數(shù)為

E(t)=A(t)X(t)-In

(12)

求取已知矩陣的逆矩陣的目的可表述為，選取適當(dāng)?shù)恼`差動(dòng)態(tài)方程，使得誤差E(t)收斂于0.特別地，采用終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，取式(5)所示的誤差動(dòng)態(tài)方程，它可進(jìn)一步寫成

(13)

同理，采用加速終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，取式(7)所示的誤差動(dòng)態(tài)方程，它又可寫成

-γ(β1(A(t)X(t)-In)+β2(A(t)X(t)-In)q/p)

(14)

考慮如下時(shí)變矩陣

(15)

容易給出其逆矩陣

(16)

初始誤差X(0)可任意選取，這里取作

應(yīng)用兩種終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，均能使X(t)收斂到逆矩陣的理論值，即A-1(t).同時(shí)，加速因子γ可加快收斂速度.為了便于與ANN方法進(jìn)行比較，兩種終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法均采用相同的仿真數(shù)據(jù).

1) 終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(5)

采用終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(5)，以式(13)構(gòu)建如圖1所示仿真模型.仿真中，取q=3，p=5.γ=1時(shí)，仿真結(jié)果如圖2所示.從圖2中可以看出：由給定的初態(tài)出發(fā)，X(t)均收斂于逆矩陣A-1(t)，圖中顯示了X(t)的四種狀態(tài)X11，X12，X21和X22對(duì)應(yīng)的實(shí)際值與期望值的對(duì)比曲線，且后文圖中出現(xiàn)四種狀態(tài)的地方代表的含義相同.圖3所示為γ=10時(shí)的狀態(tài)X(t)，顯然，其收斂速率明顯比γ=1時(shí)快.對(duì)于漸近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在相同初態(tài)下進(jìn)行仿真，獲得的結(jié)果見圖4，可以看出：由給定的初態(tài)出發(fā)，X(t)漸近收斂于逆矩陣A-1(t).

圖1　以式(13)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型求解逆矩陣的框圖Fig.1　The diagram of neural network module (13) for matrix inversion

圖2　γ取1時(shí)的終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(5)Fig.2　Terminal neural network (5) with γ=1

圖3　γ取10時(shí)的終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(5)Fig.3　Terminal neural network (5) with γ=10

圖5　γ取不同值TNN和ANN的誤差比較Fig.5　Comparison of error by using ANN and TNN (5) with different γ

2) 終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

圖6　γ取1時(shí)的終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)式(7)Fig.6　Terminal neural network (7) with γ=1

4冗余機(jī)械臂的重復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃

考慮笛卡爾空間機(jī)械臂終端軌跡m維向量r(t)和機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間n維向量θ(t)，其關(guān)系可表示為

r(t)=f(θ(t))

(17)

映射關(guān)系式(17)是非線性的，且具有復(fù)雜的表達(dá)形式(特別是對(duì)于高自由度的機(jī)械臂).式(17)通常要轉(zhuǎn)換成速度模式進(jìn)行求解，轉(zhuǎn)換后的關(guān)系可表示為

(18)

圖7　γ取不同值時(shí)，三種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差比較Fig.7　Comparison of error by the three neural networks with different γ

針對(duì)冗余機(jī)械臂而言，對(duì)于給定的末端執(zhí)行器的工作路徑，實(shí)時(shí)計(jì)算所對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)向量可行路徑的問題稱為冗余機(jī)械臂的逆解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，由于其存在多余的自由度，因而該逆解問題存在無窮多組解，且能實(shí)現(xiàn)躲避障礙、躲避奇異點(diǎn)以及避免關(guān)節(jié)超限等.

充分考慮機(jī)械臂的冗余特性，已經(jīng)提出了眾多方案來求解該逆解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題.其中，偽逆型方法是求解該問題的一種常用方法，該方法在求解過程中會(huì)考慮不同的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，例如關(guān)節(jié)速度范數(shù)最小化和目標(biāo)任務(wù)最優(yōu)控制等.然而，該方法存在一些不足，例如，矩陣偽逆的高計(jì)算負(fù)荷會(huì)導(dǎo)致高計(jì)算復(fù)雜度，且偽逆型方法并不能實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的可重復(fù)運(yùn)動(dòng).

對(duì)于冗余機(jī)械臂，式(18)可能存在多解或無窮多解.且由于偽逆方法求解式(18)存在的不足，使得末端執(zhí)行器沿封閉路徑運(yùn)行并不能保證關(guān)節(jié)最終沿封閉路徑運(yùn)行，對(duì)于重復(fù)運(yùn)動(dòng)控制而言，這種形式的關(guān)節(jié)角初始偏移是不可接受的.

一般地，存在許多因素影響冗余機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃，例如末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)需求，關(guān)節(jié)的物理限制等，這些因素使得當(dāng)選取偽逆型方法求解機(jī)械臂逆解運(yùn)動(dòng)學(xué)問題時(shí)，并不能實(shí)現(xiàn)該運(yùn)動(dòng)學(xué)控制可重復(fù)(當(dāng)末端執(zhí)行器執(zhí)行一個(gè)特殊任務(wù)時(shí)，不能使得機(jī)械臂的初始配置與最終配置相一致).

與常用的偽逆型求解方案不同，本小節(jié)引用了一種冗余機(jī)械臂的在線重復(fù)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃最優(yōu)方案，該方案充分考慮偽逆型方法存在的缺陷，可以有效的解決一個(gè)運(yùn)行周期結(jié)束關(guān)節(jié)角發(fā)生偏移的問題(關(guān)節(jié)角偏移是指當(dāng)末端執(zhí)行器跟蹤一個(gè)閉環(huán)路徑以后，關(guān)節(jié)變量并不能回到初始設(shè)定的值)，實(shí)現(xiàn)冗余機(jī)械臂的可重復(fù)運(yùn)動(dòng).

為了使得關(guān)節(jié)能夠重復(fù)運(yùn)動(dòng)，應(yīng)使得關(guān)節(jié)的初態(tài)位置和當(dāng)前位置之間的差最小，可利用的性能指標(biāo)[9]為

(19)

其中：c=θ(t)-θ(0)，θ(0)為關(guān)節(jié)角的初始值；參數(shù)μ>0，用來引入當(dāng)前關(guān)節(jié)角和初始關(guān)節(jié)角的差值的影響，且在硬件條件允許的前提下設(shè)計(jì)的越大越好(或者為了實(shí)現(xiàn)較理想的仿真效果應(yīng)設(shè)計(jì)適當(dāng)大小).這樣，冗余機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)規(guī)劃任務(wù)可以表達(dá)為下述二次規(guī)劃

(20)

W(t)y(t)=v(t)

(21)

其中

(22)

這里，I為具有相應(yīng)維數(shù)單位矩陣，且

(23)

(24)

可以看出：應(yīng)用拉格朗日乘子法，二次規(guī)劃問題的求解變?yōu)槭?21)的求解.所以采用同樣的性能指標(biāo)式(18)，是為了比較終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與漸近神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在同時(shí)應(yīng)用于所述規(guī)劃問題時(shí)的求解效果.

下面分別利用ANN和TNN神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行三連桿平面機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)規(guī)劃.雅可比矩陣為

其中

B=2πcos(0.5πt/T)cos(0.5πt/T)

圖8　三連桿平面機(jī)械臂的沿圓路徑軌跡Fig.8　Trajectories of the three-link planar robot arm when its end-effector tracking an circular path

運(yùn)行結(jié)果見圖8~11所示.圖8為三連桿平面機(jī)械臂在二維平面中的運(yùn)動(dòng)軌跡，它按照逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，且起始位置正好是該圓軌跡的最右端.這里只給出了TNN模型下的關(guān)節(jié)和終端軌跡.由仿真結(jié)果知：實(shí)際軌跡與期望軌跡的誤差為10-3數(shù)量級(jí).圖9，10所示的是TNN模型下機(jī)械臂關(guān)節(jié)角和關(guān)節(jié)角速度在一個(gè)周期內(nèi)的變化情況.ANN模型下的三個(gè)關(guān)節(jié)角度和速度歸零的精度分別為10-3和10-4數(shù)量級(jí)，而TNN模型下為10-4和10-5數(shù)量級(jí).圖11為ANN和TNN模型下E(t)在一個(gè)周期內(nèi)的變化，從圖11中可以看出：使用終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，E(t)的收斂速度明顯變快了，同時(shí)收斂精度也較高，可達(dá)10-7，而使用ANN方法收斂精度則為10-6.仿真結(jié)果表明了所提TNN方法是有效的.

圖9　使用終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)關(guān)節(jié)角在一個(gè)周期內(nèi)的變化Fig.9　Joint angles during a period when using the terminal neural network model

圖10　使用終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法時(shí)關(guān)節(jié)角速度在一個(gè)周期內(nèi)的變化Fig.10　Joint velocities during a period when using the terminal neural network model

圖11　使用兩種不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)E(t)在一個(gè)周期內(nèi)的變化Fig.11　The E(t) during a period when using both ANN and TNN (5) neural networks models

5結(jié)論

依照動(dòng)態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，引入終態(tài)吸引概念，筆者提出了終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，它可使得網(wǎng)絡(luò)變量有限時(shí)間收斂于零.在終端動(dòng)態(tài)方程中增加一附加項(xiàng)，使得網(wǎng)絡(luò)收斂速度得到進(jìn)一步提高.與漸近網(wǎng)絡(luò)相比，收斂速度和精度兩方面均得到改善.終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可應(yīng)用于矩陣求逆和二次規(guī)劃問題，并給出了具體仿真算例.數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了終態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解矩陣求逆和二次規(guī)劃問題的有效性.

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(責(zé)任編輯：劉巖)

中圖分類號(hào)：TP13

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-4303(2015)03-0311-07

作者簡(jiǎn)介：孫明軒(1962—)，男，安徽固鎮(zhèn)人，教授，博士，研究方向?yàn)閷W(xué)習(xí)控制，E-mail：mxsun@zjut.edu.cn.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(60874041,61174034)

收稿日期：2014-12-23