陳亞東，戴華林

(天津城建大學(xué) a. 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院；b. 計(jì)算中心，天津 300384)

信息科學(xué)與技術(shù)

基于短時(shí)Fourier變換的瑞雷面波相速度提取

陳亞東a，戴華林b

(天津城建大學(xué) a. 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院；b. 計(jì)算中心，天津 300384)

瑞雷面波勘探的主要思想是利用瑞雷面波的頻散特性來(lái)反映淺層地質(zhì)問題.在分析常規(guī)Fourier變換提取瑞雷面波相速度的局限性的基礎(chǔ)上，提出采用短時(shí)Fourier變換方法對(duì)實(shí)際資料進(jìn)行處理，結(jié)果表明：短時(shí)Fourier變換提取瑞雷面波相速度的方法具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性，有很好的應(yīng)用效果和發(fā)展前景.

瑞雷面波；頻散特性；時(shí)-頻分析；短時(shí)Fourier變換

瑞雷面波勘探主要是根據(jù)瑞雷面波的頻散特性，通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的分析，并進(jìn)一步反演，以獲得淺層、超淺層的地質(zhì)結(jié)構(gòu)及介質(zhì)物理參數(shù)．近些年來(lái)，該方法發(fā)展迅速，方興未艾，廣泛應(yīng)用于交通、水電、橋梁和地基勘察等方面，已逐步發(fā)展成為一套獨(dú)立的、完整的勘探方法[1]．瑞雷面波勘探的基本工具是常規(guī)Fourier變換，但這種方法只能反映信號(hào)的整體特性，不能反映信號(hào)的局部特征，尤其是不能同時(shí)觀測(cè)信號(hào)在時(shí)間域和頻率域的變化情況．這在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾：時(shí)域和頻域的局部化矛盾．筆者提出采用短時(shí)Fourier變換方法，以實(shí)現(xiàn)對(duì)瑞雷面波相速度的有效提?。?/p>

1 瑞雷面波勘探的理論基礎(chǔ)

瑞雷面波勘探最根本的依據(jù)就是瑞雷面波在層狀介質(zhì)中傳播時(shí)具有頻散特性．彈性波理論證明，在自由空間和彈性半無(wú)限介質(zhì)中，瑞雷面波傳播時(shí)的法向應(yīng)力和切向應(yīng)力都為零，此時(shí)，瑞雷面波無(wú)頻散特性，但這只是理想狀態(tài)．在實(shí)際中，地表總有一層薄的疏松覆蓋層，這就導(dǎo)致了法向應(yīng)力不再為零，而切向應(yīng)力仍為零．正是由于法向應(yīng)力的改變，使得瑞雷面波在層狀介質(zhì)中傳播時(shí)的速度發(fā)生了變化[2]，表達(dá)式為

從式(1)可以看出，瑞雷面波的相速度VR是頻率ω的函數(shù)，因此疏松層的存在導(dǎo)致了瑞雷面波的頻散．瑞雷面波的頻散特性為人們提供了提取瑞雷面波相速度的可能性，進(jìn)而，不同相速度的單色波，看到的是不同深度的介質(zhì)性質(zhì)，組合起來(lái)，即可以清晰地得到近地表附近的介質(zhì)分布情況．因此，工程中利用瑞雷面波進(jìn)行淺層、超淺層勘探有著積極的意義．

2 瑞雷面波相速度的提取方法

2.1 常規(guī)Fourier變換方法

將接收到的信號(hào)進(jìn)行一系列的譜分析，得到兩信號(hào)的自功率譜、互功率譜及相干函數(shù)；由互功率譜得到兩信號(hào)在波傳播過程中由于時(shí)間滯后所產(chǎn)生的相位差，即求得實(shí)測(cè)的頻散曲線，再由成層地基動(dòng)力學(xué)理論及反分析法，求得剪切波速度和深度的關(guān)系．其計(jì)算過程簡(jiǎn)述如下[3]．

(1)時(shí)間域向頻率域的轉(zhuǎn)換，即得到N道信號(hào)X1(t),X2(t),X3(t),…,Xn(t)的頻譜[4]

(2)自功率譜、互功率譜和相位差的求?。孟噜彽赖念l譜可求出Xn-1(t)、Xn(t)的自功率譜

因此，Xn(t)、X(n-1)(t)的互功率譜Sn(n-1)(f)可計(jì)算求得

由互功率譜式(4)可求出相位差Δφ．

(3)相速度的確定．利用公式

可計(jì)算出離散點(diǎn)f的瑞雷面波平均速度，其中，VR為瑞雷面波平均速度；f為頻率；Δx為相鄰道之間的距離，一般情況下，Δx應(yīng)小于一個(gè)波長(zhǎng)．

(4)深度-速度函數(shù)的確定．在國(guó)內(nèi)外的瑞雷面波勘探中，確定深度和速度一般采用所謂的半波長(zhǎng)解釋法[5]，即勘探深度是波長(zhǎng)的一半，即

(5)繪制頻散曲線．根據(jù)以上分析計(jì)算，即可得到深度-速度函數(shù)(H-VR)，進(jìn)一步可以得到測(cè)試點(diǎn)的頻散曲線，如圖1所示．實(shí)際資料見圖1a．該記錄為12道，1,024個(gè)采樣點(diǎn)，道間距為2,m，采樣周期為0.000,5,s，偏移距為零；首先對(duì)原始記錄進(jìn)行濾波，去除反射波的干擾，圖1b為濾波后結(jié)果；再將信號(hào)從時(shí)間域轉(zhuǎn)換到頻率域，得到信號(hào)的f-k圖，在有效頻率范圍內(nèi)拾取每一f極大值及相應(yīng)的k值，即頻散曲線的屏幕拾取，見圖1c；據(jù)此計(jì)算相速度，最后繪制頻散曲線圖1d．

圖1 常規(guī)Fourier變換處理實(shí)際資料

由此可見該方法存在以下缺陷：①利用互相關(guān)譜求相位差，受到Fourier 變換本身的局限，由于Fourier變換的相位變化范圍為［-π,π］之間，這要求兩個(gè)檢波點(diǎn)距離不得大于接收到的波的最小波長(zhǎng)，否則計(jì)算所得相位差可能與實(shí)際相差2π的整數(shù)倍，這就造成Fourier 變換提取的相位差可能是不真實(shí)的；②對(duì)于頻率很低的單色波，在滿足上述檢波器距離的要求下，其相位差可能很小，甚至趨于零，而相位差Δφ在式(5)中作為分母，這樣，一個(gè)極小的誤差Δφ都會(huì)帶來(lái)極大的速度誤差．

2.2 短時(shí)Fourier變換方法

針對(duì)常規(guī)Fourier變換本身的局限性，人們相繼提出了短時(shí)Fourier變換、小波分析以及Gabor展開等[6]．與常規(guī)Fourier變換不同，短時(shí)Fourier變換可

以同時(shí)獲得時(shí)間(空間)域和頻率域的分辨率，它既可以確定信號(hào)的頻率成分，又可以確定某一頻率在時(shí)間域的分布規(guī)律．其基本思想是將非平穩(wěn)信號(hào)看成分段平穩(wěn)信號(hào)，那么通過在原始信號(hào)上加固定窗，然后由窗口在原始信號(hào)上用平移的方法，就可以得到原始信號(hào)的時(shí)頻譜[7]．

對(duì)于一個(gè)給定時(shí)間寬度的窗函數(shù)r(t)，沿時(shí)間軸滑動(dòng)，則信號(hào)s(t＇)的短時(shí)Fourier變換定義為[8]

式中：“*”表示復(fù)共軛；r(t)是有限支集的函數(shù)．在這個(gè)變換中，e-j2πft＇起著頻限的作用，r(t)起著時(shí)限的作用．隨著時(shí)間t的變化，r(t)所確定的“時(shí)間窗”在t軸上移動(dòng)，使s(t')“逐漸”進(jìn)行分析．由式(7)可以看出，正是窗函數(shù)r(t)的時(shí)(間)移(位)和頻(率)移(位)使短時(shí)Fourier變換具有了局域特性，它既是時(shí)間的函數(shù)，又是頻率的函數(shù)．式(7)即為信號(hào)s(t＇)的時(shí)頻分布函數(shù)，利用這個(gè)時(shí)頻分布函數(shù)，可以輕松地求得瑞雷面波的相速度．

(1)對(duì)相距為Δx的N個(gè)檢波器接收到的信號(hào)作時(shí)-頻分析，可以得到N個(gè)時(shí)頻分布圖．

(2)對(duì)于每一個(gè)固定頻率f，分別在每個(gè)時(shí)頻分布圖上尋找該頻率能量極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t1,t2,…，tN，進(jìn)而可以計(jì)算出該頻率在相鄰兩個(gè)時(shí)頻分布圖上的時(shí)間差Δt=tn-tn-1(0＜n≤N)，這個(gè)時(shí)差就是該頻率以其相速度在相鄰兩個(gè)檢波器之間傳播形成的時(shí)間差．

(3)相速度的計(jì)算．利用公式[9]

可計(jì)算出每一固定頻率f在相鄰兩道傳播的相速度．對(duì)于實(shí)測(cè)的信號(hào)，可能有N道記錄，可以對(duì)其作統(tǒng)計(jì)分析，得到相速度的統(tǒng)計(jì)量．

(4)頻散曲線的繪制．根據(jù)第(3)步的計(jì)算結(jié)果，可以繪出瑞雷面波相速度隨頻率的變化曲線，如圖2所示．對(duì)上述實(shí)際記錄選取其中第7道和第9道短時(shí)Fourier變換，得到的時(shí)頻分布見圖2a、圖2b．在兩道信號(hào)的時(shí)頻圖上尋找相同頻率的極值點(diǎn)位置，如圖2a和圖2b中14,Hz的極點(diǎn)(即圖中白色十字游標(biāo)中心位置)分別位于96，102,ms位置上，則該頻率的單色波傳播在兩個(gè)道間形成的時(shí)差為6,ms，相速度為2/0.006＝333.4,m/s．對(duì)每一道數(shù)據(jù)作短時(shí)Fourier變換，得出相速度隨頻率變化的統(tǒng)計(jì)量，進(jìn)而繪制頻散曲線圖2c．

顯然，短時(shí)Fourier變換處理結(jié)果比常規(guī)Fourier變換的精度要高，漏掉的巖層被顯示出來(lái)．由于短時(shí)Fourier變換縱橫坐標(biāo)控制精確，其穩(wěn)定性強(qiáng)，該方法在瑞雷面波相速度提取中必將有廣闊的應(yīng)用前景．

圖2 短時(shí)Fourier變換處理實(shí)際資料

3 結(jié) 論

短時(shí)Fourier變換克服了常規(guī)Fourier變換利用互相關(guān)譜法求相位差，進(jìn)而再求相速度的缺陷．短時(shí)Fourier變換求取相速度的精度取決于時(shí)間分辨率，而對(duì)于合格的面波勘探資料，完全可以保證短時(shí)Fourier變換的時(shí)間分辨率，從而得到的是確切的相速度．因此，該方法可以極大地提高瑞雷面波相速度

提取的穩(wěn)定性和可靠性，從而提高工程勘探地基土分層的準(zhǔn)確性．

［1］ 楊成林. 瑞雷波勘探[M]. 北京：地質(zhì)出版社，1993.

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The Rayleigh Surface Wave Phase Velocity Extraction Based on Short-time Fourier Transform

CHEN Ya-donga，DAI Hua-linb
(a. School of Computer and Information Engineering；b. Computing Center，Tianjin Chengjian University，Tianjin 300384，China)

The main idea of Rayleigh wave exploration is making use of frequency dispersion of Rayleigh wave to reveal geology structure of low layer. Based on the limitation analysis of extraction of the Rayleigh wave speed by conventional Fourier transform,authors present a new use actual data processing method based on the short-time Fourier transform. The results show that the extraction of the Rayleigh wave speed by short-time Fourier transform is high accuracy and reliability,which has a good application effect and development prospects.

Rayleigh wave；frequency dispersion；time-frequency analysis；short-time Fourier transform

P631.4

A

2095-719X(2015)04-0299-04

2014-12-02；

2015-04-20

天津市自然科學(xué)基金(10JCYBJC00600)

陳亞東（1974—），女，內(nèi)蒙赤峰人，天津城建大學(xué)副教授，碩士．