梁　濤，陳佳林，鐘雷聲

(1．海軍裝備部裝備采購(gòu)中心，北京100071；

2．海軍裝備研究院，上海 200436)

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基于VSIE的電磁散射問(wèn)題的有效分析

梁濤1，陳佳林2，鐘雷聲2

(1．海軍裝備部裝備采購(gòu)中心，北京100071；

2．海軍裝備研究院，上海 200436)

摘要體面積分方程方法在金屬介質(zhì)混合結(jié)構(gòu)電磁散射問(wèn)題的求解方面具有較大優(yōu)勢(shì)，將重疊型區(qū)域分解法(ODDM)引入體面積分方程方法(VSIE)，實(shí)現(xiàn)了基于重疊型區(qū)域分解法的體面積分方程方法，為進(jìn)一步提高效率，引入多層快速多極子方法(MLFMA)，實(shí)現(xiàn)兩種快速算法在VSIE上的結(jié)合。通過(guò)幾個(gè)算例，驗(yàn)證了這種算法占用內(nèi)存小、迭代速度快，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，具有分析復(fù)雜目標(biāo)電磁散射問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞體面積分方程方法；電磁散射；重疊型區(qū)域分解法；多層快速多極子方法

0引言

體面積分方程(VSIE)的求解基于矩量法(MoM)，矩量法在分析電磁輻射或散射問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用[1]。矩量法所產(chǎn)生的矩陣是滿(mǎn)陣，存儲(chǔ)量的量級(jí)是矩陣階數(shù)的平方O(N2)，直接法求逆的計(jì)算量是矩陣階數(shù)的立方，即O(N3)，迭代求解的計(jì)算量是O(N2)[2]。對(duì)于電大尺寸目標(biāo)而言，無(wú)論是存儲(chǔ)量還是計(jì)算量上，現(xiàn)有計(jì)算機(jī)資源都難以滿(mǎn)足需求。重疊型區(qū)域分解法將整個(gè)求解域劃分為幾個(gè)子域，并通過(guò)循環(huán)求解子區(qū)域來(lái)得到整個(gè)區(qū)域的解。由于每次只求解一個(gè)子區(qū)，因而能節(jié)省計(jì)算資源。多層快速多極子算法(MLFMA)[3-5]是一種在多個(gè)層級(jí)分組，層間嵌套，逐層遞推來(lái)實(shí)現(xiàn)的快速多極子算法。多層快速多極子方法能將計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)量及計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)一步降低到O(NlogN)[6-8]。本文將重疊型區(qū)域分解法(ODDM)和多層快速多極子方法(MLFMA)同時(shí)加入體面積分方程法中，得到了改進(jìn)算法(VSIE-ODDM-MLFMA)，數(shù)值算例結(jié)果證明了該方法的正確性和有效性，具有分析復(fù)雜目標(biāo)電磁散射問(wèn)題的能力。

1公式推導(dǎo)

1.1　VSIE概述

VSIE的基本思想是利用面等效原理和體等效原理把金屬面用面電流代替，介質(zhì)體用體電流代替，兩個(gè)獨(dú)立的等效電流同時(shí)滿(mǎn)足面積分方程和體積分方程，然后用矩量法來(lái)求解。面積分方程作用在金屬區(qū)域，而體積分方程作用在介質(zhì)區(qū)域[9，10]。對(duì)面積分方程進(jìn)行離散的基函數(shù)為RWG基函數(shù)[1]，對(duì)體積分方程進(jìn)行離散的基函數(shù)為SWG基函數(shù)[11]。在金屬介質(zhì)混合結(jié)構(gòu)的電磁散射問(wèn)題中，體面積分方程的復(fù)合形式可表示為：

(1)

(2)

可對(duì)式(1)和式(2)進(jìn)行基函數(shù)離散，然后利用矩量法進(jìn)行求解。

1.2　ODDM的基本原理

若將整個(gè)求解區(qū)域分為若干個(gè)子區(qū)域，則對(duì)應(yīng)的阻抗矩陣Z也被分為若干個(gè)子矩陣，然后分別求解子矩陣方程，再通過(guò)迭代求解得到整個(gè)區(qū)域的解，這便是區(qū)域分解法的思想基礎(chǔ)[12，13]。由于每次只對(duì)一個(gè)子矩陣進(jìn)行求解，所以降低了內(nèi)存消耗。

若子區(qū)域沒(méi)有重疊部分，則得到的分塊矩陣相互之間無(wú)公共元素。從電流角度來(lái)看，分區(qū)邊界有奇異效應(yīng)出現(xiàn)，這樣會(huì)導(dǎo)致算法效率不高，甚至不收斂。為抑制電流的奇異性，Brennan等[14]將子區(qū)域邊界附近區(qū)域作為該子區(qū)的緩沖區(qū)，并將緩沖區(qū)與子區(qū)域作為整個(gè)求解區(qū)域來(lái)計(jì)算電流，然后舍棄緩沖區(qū)電流并保留子區(qū)域的電流，最后循環(huán)求解得到整個(gè)區(qū)域電流，這就是ODDM的原理。

1.3　VSIE-ODDM方法推導(dǎo)

用介質(zhì)體極化電流JV和金屬面電流密度JS表示式(1)和式(2)中的磁矢量位與電標(biāo)量位，得到以JV和JS為自變量的入射場(chǎng)表達(dá)式。為便于推導(dǎo)VSIE-ODDM的遞推公式，采用算子F簡(jiǎn)化該表達(dá)式，上兩式可重新寫(xiě)作：

(3)

(4)

為了建立子區(qū)域之間積分迭代公式，定義2個(gè)關(guān)于JV和JS的線(xiàn)性算子，對(duì)于體積分式(3)有：

(5)

(6)

(7)

同理，定義和面積分方程(4)有關(guān)的2個(gè)算子TM(r,J)和KM(r,J)，則可獲得混合結(jié)構(gòu)中的面積分方程的重疊型區(qū)域分解迭代公式為：

(8)

(9)

1.4　VSIE-ODDM-MLFMA方法

在區(qū)域分解法中將整個(gè)求解區(qū)域劃分為迭代區(qū)和入射區(qū)，而在多層快速多極子的方法[2,15]中，又對(duì)整個(gè)求解區(qū)域進(jìn)行了分層分組，因此對(duì)這兩種方法進(jìn)行結(jié)合時(shí)，必須同時(shí)考慮求解區(qū)域的劃分和分組問(wèn)題。

如果在多層快速多極子方法的某一層中，某個(gè)組至少存在一個(gè)基函數(shù)單元位于第i個(gè)迭代(入射)區(qū)中，那么就說(shuō)該組屬于第i個(gè)迭代(入射)區(qū)。因此值得注意的是有的組既屬于迭代區(qū)又屬于入射區(qū)。在ODDM-MLFMA中，必須根據(jù)以上原則分別建立迭代區(qū)和入射區(qū)的八叉樹(shù)，方法是通過(guò)逐層剔除入射區(qū)上的元素來(lái)獲得迭代區(qū)的八叉樹(shù)，因此迭代區(qū)的八叉樹(shù)和入射區(qū)的八叉樹(shù)是整個(gè)區(qū)域八叉樹(shù)的分支。

在此基礎(chǔ)上，便可方便地在ODDM的基礎(chǔ)上運(yùn)用MLFMA。與MLFMA相比，ODDM-MLFMA聚合、轉(zhuǎn)移、配置的對(duì)象發(fā)生變化。

2數(shù)值算例

算例1計(jì)算一個(gè)介質(zhì)涂敷球結(jié)構(gòu)。金屬球半徑為0.342 3λ0，涂層厚度為0.101 7λ0，相對(duì)介電常數(shù)為εr=2，平面波為垂直照射到結(jié)構(gòu)上。將目標(biāo)分成4個(gè)區(qū)域，分別對(duì)介質(zhì)和金屬進(jìn)行四面體與三角形網(wǎng)格離散，其中SWG基函數(shù)的個(gè)數(shù)為14 332，RWG基函數(shù)的個(gè)數(shù)為963。

VSIE-ODDM-MLFMA和Mie級(jí)數(shù)計(jì)算所得的雙站RCS的比較結(jié)果如圖1所示。從圖1中可以看出VSIE-ODDM-MLFMA計(jì)算金屬介質(zhì)混合結(jié)構(gòu)的結(jié)果和解析解是比較吻合的，說(shuō)明了程序的有效性。

圖1　涂敷球的雙站RCS

算例2計(jì)算一個(gè)上表面覆蓋一層金屬平板的介質(zhì)長(zhǎng)方體，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為1.6，目標(biāo)結(jié)構(gòu)尺寸如圖2所示。

圖2　金屬介質(zhì)混合結(jié)構(gòu)

利用區(qū)域分解法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，將目標(biāo)沿x軸平均分為兩個(gè)區(qū)域，產(chǎn)生的SWG基函數(shù)的個(gè)數(shù)為4 323，RWG基函數(shù)個(gè)數(shù)為636，所以總共的基函數(shù)個(gè)數(shù)為4 959。仿真結(jié)果如圖3所示。

在VSIE-ODDM-MLFMA計(jì)算中，只經(jīng)過(guò)5次外迭代就達(dá)到收斂精度，收斂精度為9.001×10-4，而VSIE-ODDM經(jīng)過(guò)第5次外迭代后所到達(dá)的收斂精度為1.006×10-3，比VSIE-ODDM-MLFMA略慢。在內(nèi)存方面，VSIE-ODDM-MLFMA所占的內(nèi)存僅占VSIE-ODDM所需內(nèi)存的20.4%，表明了采用MLFMA后在節(jié)省內(nèi)存方面的效果明顯，如表1所示。

圖3　金屬介質(zhì)混合結(jié)構(gòu)的雙站RCS

迭代次數(shù)VSIE-ODDMVSIE-ODDM-MLFMA12345610.3382.714×10-24.321×10-31.006×10-33.396×10-410.3362.820×10-24.178×10-39.001×10-4/

算例3計(jì)算平面FSS陣列結(jié)構(gòu)，F(xiàn)SS單元為方環(huán)，方環(huán)外邊長(zhǎng)D1=7 mm，內(nèi)邊長(zhǎng)D2=6 mm，方環(huán)周期為8 mm，陣列總大小為7×7。加載介質(zhì)底板，介質(zhì)長(zhǎng)與寬都是56 mm，厚度0.5 mm，相對(duì)介電常數(shù)εr=3.0，求解頻率在14 GHz，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。

圖4　7×7平面FSS方環(huán)陣列及其單元示意圖

目標(biāo)分成4個(gè)非均勻區(qū)域，對(duì)介質(zhì)和金屬分別采用四面體和三角形剖分。SWG基函數(shù)的個(gè)數(shù)為30 213，RWG基函數(shù)的個(gè)數(shù)為1 372。垂直入射TM極化時(shí)其RCS計(jì)算結(jié)果與FEKO結(jié)果對(duì)比如圖5，結(jié)果未歸一化。

從圖5可以看出，VSIE-ODDM-MLFMA分析FSS散射特性的結(jié)果與FEKO分析結(jié)果非常吻合，體現(xiàn)了該算法具有準(zhǔn)確分析復(fù)雜目標(biāo)電磁散射問(wèn)題的能力。

(a) φ=90°

(b) φ=0°圖5　7×7平面FSS方環(huán)陣列雙站RCS仿真結(jié)果

3結(jié)束語(yǔ)

本文將重疊型區(qū)域分解法和多層快速多極子算法成功引入體面積分方程方法，解決了硬件資源不足的問(wèn)題，提高了求解效率，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，證明了該算法的可行性和有效性，具備分析復(fù)雜目標(biāo)電磁散射問(wèn)題的能力。

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梁濤男，(1976—)，碩士，工程師。主要研究方向：航空電子。

陳佳林男，(1986—)，博士，工程師。主要研究方向：航空電子。

Efficient Analysis of Electromagnetic Scattering

Problems Based on VSIE Method

LIANG Tao1,CHEN Jia-lin2，ZHONG Lei-sheng2

(1．ProcurementCenterofNavalArmamentDepartment,Beijing100071，China;

2．NavalAcademyofArmament,Shanghai200436,China)

AbstractThe volume-surface integral equation (VSIE) method has the advantage in solving electromagnetic scattering problems involving complex metal and dielectric mixed structure.In this paper,a method combining VSIE with overlapped domain decomposition method (ODDM) is used to analyze electromagnetic scattering problems successfully and efficiently.To further improve efficiency,multilevel fast multipole algorithm (MLFMA) is adopted,and then a novel VSIE-ODDM-MLFMA is proposed.Numerical results show that the proposed method has low memory requirement,fast convergence,and accurate simulation result.It is obvious that the proposed method has the ability to analyze the electromagnetic scattering problems of complex targets.

Key wordsvolume-surface integral equation；electromagnetic scattering；overlapped domain decomposition method；multilevel fast multipole algorithm

作者簡(jiǎn)介

收稿日期：2013-03-12

中圖分類(lèi)號(hào)TN801

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

文章編號(hào)1003-3106(2015)06-0063-04

doi:10.3969/j.issn.1003-3106.2015.06.17

引用格式：梁濤，陳佳林，鐘雷聲.基于VSIE的電磁散射問(wèn)題的有效分析[J].無(wú)線(xiàn)電工程，2015，45(6)：63-66.